Algebra Beispiele

$f (x) = 3 x^{4} + 3 x^{3} - x^{2} - 12 x - 12$

Schritt 1

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ .

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Schritt 1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12$

$q = \pm 1, \pm 3$

Schritt 1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm \frac{1}{3}, \pm 2, \pm \frac{2}{3}, \pm 3, \pm 4, \pm \frac{4}{3}, \pm 6, \pm 12$

Schritt 2

Wende die synthetische Division auf $\frac{3 x^{4} + 3 x^{3} - x^{2} - 12 x - 12}{x - 2}$ an mit $x = 2$ .

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Schritt 2.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$2$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

Schritt 2.2

Die erste Zahl im Dividenden $(3)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$2$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

	$3$

Schritt 2.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(3)$ mit dem Divisor $(2)$ und schreibe das Ergebnis von $(6)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(3)$ .

$2$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$6$
	$3$

Schritt 2.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$2$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$6$
	$3$	$9$

Schritt 2.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(9)$ mit dem Divisor $(2)$ und schreibe das Ergebnis von $(18)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 1)$ .

$2$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$6$	$18$
	$3$	$9$

Schritt 2.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$2$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$6$	$18$
	$3$	$9$	$17$

Schritt 2.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(17)$ mit dem Divisor $(2)$ und schreibe das Ergebnis von $(34)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 12)$ .

$2$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$6$	$18$	$34$
	$3$	$9$	$17$

Schritt 2.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$2$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$6$	$18$	$34$
	$3$	$9$	$17$	$22$

Schritt 2.9

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(22)$ mit dem Divisor $(2)$ und schreibe das Ergebnis von $(44)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 12)$ .

$2$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$6$	$18$	$34$	$44$
	$3$	$9$	$17$	$22$

Schritt 2.10

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$2$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$6$	$18$	$34$	$44$
	$3$	$9$	$17$	$22$	$32$

Schritt 2.11

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$3 x^{3} + 9 x^{2} + (17) x + 22 + \frac{32}{x - 2}$

Schritt 2.12

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$3 x^{3} + 9 x^{2} + 17 x + 22 + \frac{32}{x - 2}$

Schritt 3

Da $2 > 0$ und alle Vorzeichen in der unteren Zeile der synthetischen Division positiv sind, ist $2$ eine obere Schranke für die reellen Wurzeln der Funktion.

Obere Schranke: $2$

Schritt 4

Wende die synthetische Division auf $\frac{3 x^{4} + 3 x^{3} - x^{2} - 12 x - 12}{x + 2}$ an mit $x = - 2$ .

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Schritt 4.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$- 2$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

Schritt 4.2

Die erste Zahl im Dividenden $(3)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$- 2$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

	$3$

Schritt 4.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(3)$ mit dem Divisor $(- 2)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 6)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(3)$ .

$- 2$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 6$
	$3$

Schritt 4.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 2$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 6$
	$3$	$- 3$

Schritt 4.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 3)$ mit dem Divisor $(- 2)$ und schreibe das Ergebnis von $(6)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 1)$ .

$- 2$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 6$	$6$
	$3$	$- 3$

Schritt 4.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 2$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 6$	$6$
	$3$	$- 3$	$5$

Schritt 4.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(5)$ mit dem Divisor $(- 2)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 10)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 12)$ .

$- 2$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 6$	$6$	$- 10$
	$3$	$- 3$	$5$

Schritt 4.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 2$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 6$	$6$	$- 10$
	$3$	$- 3$	$5$	$- 22$

Schritt 4.9

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 22)$ mit dem Divisor $(- 2)$ und schreibe das Ergebnis von $(44)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 12)$ .

$- 2$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 6$	$6$	$- 10$	$44$
	$3$	$- 3$	$5$	$- 22$

Schritt 4.10

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 2$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 6$	$6$	$- 10$	$44$
	$3$	$- 3$	$5$	$- 22$	$32$

Schritt 4.11

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$3 x^{3} + - 3 x^{2} + (5) x - 22 + \frac{32}{x + 2}$

Schritt 4.12

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$3 x^{3} - 3 x^{2} + 5 x - 22 + \frac{32}{x + 2}$

Schritt 5

Da $- 2 < 0$ und die Vorzeichen in der unteren Zeile der synthetischen Division alternieren, ist $- 2$ eine untere Schranke für die reellen Wurzeln der Funktion.

Untere Schranke: $- 2$

Schritt 6

Wende die synthetische Division auf $\frac{3 x^{4} + 3 x^{3} - x^{2} - 12 x - 12}{x - 3}$ an mit $x = 3$ .

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Schritt 6.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$3$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

Schritt 6.2

Die erste Zahl im Dividenden $(3)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$3$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

	$3$

Schritt 6.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(3)$ mit dem Divisor $(3)$ und schreibe das Ergebnis von $(9)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(3)$ .

$3$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$9$
	$3$

Schritt 6.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$3$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$9$
	$3$	$12$

Schritt 6.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(12)$ mit dem Divisor $(3)$ und schreibe das Ergebnis von $(36)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 1)$ .

$3$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$9$	$36$
	$3$	$12$

Schritt 6.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$3$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$9$	$36$
	$3$	$12$	$35$

Schritt 6.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(35)$ mit dem Divisor $(3)$ und schreibe das Ergebnis von $(105)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 12)$ .

$3$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$9$	$36$	$105$
	$3$	$12$	$35$

Schritt 6.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$3$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$9$	$36$	$105$
	$3$	$12$	$35$	$93$

Schritt 6.9

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(93)$ mit dem Divisor $(3)$ und schreibe das Ergebnis von $(279)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 12)$ .

$3$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$9$	$36$	$105$	$279$
	$3$	$12$	$35$	$93$

Schritt 6.10

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$3$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$9$	$36$	$105$	$279$
	$3$	$12$	$35$	$93$	$267$

Schritt 6.11

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$3 x^{3} + 12 x^{2} + (35) x + 93 + \frac{267}{x - 3}$

Schritt 6.12

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$3 x^{3} + 12 x^{2} + 35 x + 93 + \frac{267}{x - 3}$

Schritt 7

Da $3 > 0$ und alle Vorzeichen in der unteren Zeile der synthetischen Division positiv sind, ist $3$ eine obere Schranke für die reellen Wurzeln der Funktion.

Obere Schranke: $3$

Schritt 8

Wende die synthetische Division auf $\frac{3 x^{4} + 3 x^{3} - x^{2} - 12 x - 12}{x + 3}$ an mit $x = - 3$ .

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Schritt 8.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$- 3$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

Schritt 8.2

Die erste Zahl im Dividenden $(3)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$- 3$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

	$3$

Schritt 8.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(3)$ mit dem Divisor $(- 3)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 9)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(3)$ .

$- 3$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 9$
	$3$

Schritt 8.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 3$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 9$
	$3$	$- 6$

Schritt 8.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 6)$ mit dem Divisor $(- 3)$ und schreibe das Ergebnis von $(18)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 1)$ .

$- 3$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 9$	$18$
	$3$	$- 6$

Schritt 8.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 3$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 9$	$18$
	$3$	$- 6$	$17$

Schritt 8.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(17)$ mit dem Divisor $(- 3)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 51)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 12)$ .

$- 3$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 9$	$18$	$- 51$
	$3$	$- 6$	$17$

Schritt 8.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 3$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 9$	$18$	$- 51$
	$3$	$- 6$	$17$	$- 63$

Schritt 8.9

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 63)$ mit dem Divisor $(- 3)$ und schreibe das Ergebnis von $(189)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 12)$ .

$- 3$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 9$	$18$	$- 51$	$189$
	$3$	$- 6$	$17$	$- 63$

Schritt 8.10

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 3$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 9$	$18$	$- 51$	$189$
	$3$	$- 6$	$17$	$- 63$	$177$

Schritt 8.11

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$3 x^{3} + - 6 x^{2} + (17) x - 63 + \frac{177}{x + 3}$

Schritt 8.12

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$3 x^{3} - 6 x^{2} + 17 x - 63 + \frac{177}{x + 3}$

Schritt 9

Da $- 3 < 0$ und die Vorzeichen in der unteren Zeile der synthetischen Division alternieren, ist $- 3$ eine untere Schranke für die reellen Wurzeln der Funktion.

Untere Schranke: $- 3$

Schritt 10

Wende die synthetische Division auf $\frac{3 x^{4} + 3 x^{3} - x^{2} - 12 x - 12}{x - 4}$ an mit $x = 4$ .

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Schritt 10.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$4$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

Schritt 10.2

Die erste Zahl im Dividenden $(3)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$4$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

	$3$

Schritt 10.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(3)$ mit dem Divisor $(4)$ und schreibe das Ergebnis von $(12)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(3)$ .

$4$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$12$
	$3$

Schritt 10.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$4$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$12$
	$3$	$15$

Schritt 10.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(15)$ mit dem Divisor $(4)$ und schreibe das Ergebnis von $(60)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 1)$ .

$4$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$12$	$60$
	$3$	$15$

Schritt 10.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$4$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$12$	$60$
	$3$	$15$	$59$

Schritt 10.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(59)$ mit dem Divisor $(4)$ und schreibe das Ergebnis von $(236)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 12)$ .

$4$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$12$	$60$	$236$
	$3$	$15$	$59$

Schritt 10.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$4$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$12$	$60$	$236$
	$3$	$15$	$59$	$224$

Schritt 10.9

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(224)$ mit dem Divisor $(4)$ und schreibe das Ergebnis von $(896)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 12)$ .

$4$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$12$	$60$	$236$	$896$
	$3$	$15$	$59$	$224$

Schritt 10.10

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$4$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$12$	$60$	$236$	$896$
	$3$	$15$	$59$	$224$	$884$

Schritt 10.11

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$3 x^{3} + 15 x^{2} + (59) x + 224 + \frac{884}{x - 4}$

Schritt 10.12

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$3 x^{3} + 15 x^{2} + 59 x + 224 + \frac{884}{x - 4}$

Schritt 11

Da $4 > 0$ und alle Vorzeichen in der unteren Zeile der synthetischen Division positiv sind, ist $4$ eine obere Schranke für die reellen Wurzeln der Funktion.

Obere Schranke: $4$

Schritt 12

Wende die synthetische Division auf $\frac{3 x^{4} + 3 x^{3} - x^{2} - 12 x - 12}{x + 4}$ an mit $x = - 4$ .

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Schritt 12.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$- 4$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

Schritt 12.2

Die erste Zahl im Dividenden $(3)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$- 4$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

	$3$

Schritt 12.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(3)$ mit dem Divisor $(- 4)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 12)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(3)$ .

$- 4$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 12$
	$3$

Schritt 12.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 4$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 12$
	$3$	$- 9$

Schritt 12.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 9)$ mit dem Divisor $(- 4)$ und schreibe das Ergebnis von $(36)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 1)$ .

$- 4$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 12$	$36$
	$3$	$- 9$

Schritt 12.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 4$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 12$	$36$
	$3$	$- 9$	$35$

Schritt 12.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(35)$ mit dem Divisor $(- 4)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 140)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 12)$ .

$- 4$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 12$	$36$	$- 140$
	$3$	$- 9$	$35$

Schritt 12.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 4$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 12$	$36$	$- 140$
	$3$	$- 9$	$35$	$- 152$

Schritt 12.9

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 152)$ mit dem Divisor $(- 4)$ und schreibe das Ergebnis von $(608)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 12)$ .

$- 4$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 12$	$36$	$- 140$	$608$
	$3$	$- 9$	$35$	$- 152$

Schritt 12.10

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 4$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 12$	$36$	$- 140$	$608$
	$3$	$- 9$	$35$	$- 152$	$596$

Schritt 12.11

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$3 x^{3} + - 9 x^{2} + (35) x - 152 + \frac{596}{x + 4}$

Schritt 12.12

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$3 x^{3} - 9 x^{2} + 35 x - 152 + \frac{596}{x + 4}$

Schritt 13

Da $- 4 < 0$ und die Vorzeichen in der unteren Zeile der synthetischen Division alternieren, ist $- 4$ eine untere Schranke für die reellen Wurzeln der Funktion.

Untere Schranke: $- 4$

Schritt 14

Wende die synthetische Division auf $\frac{3 x^{4} + 3 x^{3} - x^{2} - 12 x - 12}{x + \frac{4}{3}}$ an mit $x = - \frac{4}{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$- \frac{4}{3}$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

Schritt 14.2

Die erste Zahl im Dividenden $(3)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$- \frac{4}{3}$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

	$3$

Schritt 14.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(3)$ mit dem Divisor $(- \frac{4}{3})$ und schreibe das Ergebnis von $(- 4)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(3)$ .

$- \frac{4}{3}$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 4$
	$3$

Schritt 14.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- \frac{4}{3}$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 4$
	$3$	$- 1$

Schritt 14.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 1)$ mit dem Divisor $(- \frac{4}{3})$ und schreibe das Ergebnis von $(\frac{4}{3})$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 1)$ .

$- \frac{4}{3}$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 4$	$\frac{4}{3}$
	$3$	$- 1$

Schritt 14.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- \frac{4}{3}$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 4$	$\frac{4}{3}$
	$3$	$- 1$	$\frac{1}{3}$

Schritt 14.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(\frac{1}{3})$ mit dem Divisor $(- \frac{4}{3})$ und schreibe das Ergebnis von $(- \frac{4}{9})$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 12)$ .

$- \frac{4}{3}$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 4$	$\frac{4}{3}$	$- \frac{4}{9}$
	$3$	$- 1$	$\frac{1}{3}$

Schritt 14.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- \frac{4}{3}$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 4$	$\frac{4}{3}$	$- \frac{4}{9}$
	$3$	$- 1$	$\frac{1}{3}$	$- \frac{112}{9}$

Schritt 14.9

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- \frac{112}{9})$ mit dem Divisor $(- \frac{4}{3})$ und schreibe das Ergebnis von $(\frac{448}{27})$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 12)$ .

$- \frac{4}{3}$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 4$	$\frac{4}{3}$	$- \frac{4}{9}$	$\frac{448}{27}$
	$3$	$- 1$	$\frac{1}{3}$	$- \frac{112}{9}$

Schritt 14.10

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- \frac{4}{3}$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 4$	$\frac{4}{3}$	$- \frac{4}{9}$	$\frac{448}{27}$
	$3$	$- 1$	$\frac{1}{3}$	$- \frac{112}{9}$	$\frac{124}{27}$

Schritt 14.11

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$3 x^{3} + - 1 x^{2} + (\frac{1}{3}) x - \frac{112}{9} + \frac{\frac{124}{27}}{x + \frac{4}{3}}$

Schritt 14.12

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$3 x^{3} - x^{2} + \frac{x}{3} - \frac{112}{9} + \frac{124}{9 (3 x + 4)}$

Schritt 15

Da $- \frac{4}{3} < 0$ und die Vorzeichen in der unteren Zeile der synthetischen Division alternieren, ist $- \frac{4}{3}$ eine untere Schranke für die reellen Wurzeln der Funktion.

Untere Schranke: $- \frac{4}{3}$

Schritt 16

Wende die synthetische Division auf $\frac{3 x^{4} + 3 x^{3} - x^{2} - 12 x - 12}{x - 6}$ an mit $x = 6$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 16.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$6$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

Schritt 16.2

Die erste Zahl im Dividenden $(3)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$6$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

	$3$

Schritt 16.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(3)$ mit dem Divisor $(6)$ und schreibe das Ergebnis von $(18)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(3)$ .

$6$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$18$
	$3$

Schritt 16.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$6$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$18$
	$3$	$21$

Schritt 16.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(21)$ mit dem Divisor $(6)$ und schreibe das Ergebnis von $(126)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 1)$ .

$6$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$18$	$126$
	$3$	$21$

Schritt 16.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$6$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$18$	$126$
	$3$	$21$	$125$

Schritt 16.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(125)$ mit dem Divisor $(6)$ und schreibe das Ergebnis von $(750)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 12)$ .

$6$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$18$	$126$	$750$
	$3$	$21$	$125$

Schritt 16.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$6$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$18$	$126$	$750$
	$3$	$21$	$125$	$738$

Schritt 16.9

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(738)$ mit dem Divisor $(6)$ und schreibe das Ergebnis von $(4428)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 12)$ .

$6$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$18$	$126$	$750$	$4428$
	$3$	$21$	$125$	$738$

Schritt 16.10

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$6$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$18$	$126$	$750$	$4428$
	$3$	$21$	$125$	$738$	$4416$

Schritt 16.11

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$3 x^{3} + 21 x^{2} + (125) x + 738 + \frac{4416}{x - 6}$

Schritt 16.12

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$3 x^{3} + 21 x^{2} + 125 x + 738 + \frac{4416}{x - 6}$

Schritt 17

Da $6 > 0$ und alle Vorzeichen in der unteren Zeile der synthetischen Division positiv sind, ist $6$ eine obere Schranke für die reellen Wurzeln der Funktion.

Obere Schranke: $6$

Schritt 18

Wende die synthetische Division auf $\frac{3 x^{4} + 3 x^{3} - x^{2} - 12 x - 12}{x + 6}$ an mit $x = - 6$ .

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Schritt 18.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$- 6$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

Schritt 18.2

Die erste Zahl im Dividenden $(3)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$- 6$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

	$3$

Schritt 18.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(3)$ mit dem Divisor $(- 6)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 18)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(3)$ .

$- 6$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 18$
	$3$

Schritt 18.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 6$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 18$
	$3$	$- 15$

Schritt 18.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 15)$ mit dem Divisor $(- 6)$ und schreibe das Ergebnis von $(90)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 1)$ .

$- 6$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 18$	$90$
	$3$	$- 15$

Schritt 18.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 6$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 18$	$90$
	$3$	$- 15$	$89$

Schritt 18.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(89)$ mit dem Divisor $(- 6)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 534)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 12)$ .

$- 6$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 18$	$90$	$- 534$
	$3$	$- 15$	$89$

Schritt 18.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 6$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 18$	$90$	$- 534$
	$3$	$- 15$	$89$	$- 546$

Schritt 18.9

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 546)$ mit dem Divisor $(- 6)$ und schreibe das Ergebnis von $(3276)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 12)$ .

$- 6$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 18$	$90$	$- 534$	$3276$
	$3$	$- 15$	$89$	$- 546$

Schritt 18.10

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 6$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 18$	$90$	$- 534$	$3276$
	$3$	$- 15$	$89$	$- 546$	$3264$

Schritt 18.11

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$3 x^{3} + - 15 x^{2} + (89) x - 546 + \frac{3264}{x + 6}$

Schritt 18.12

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$3 x^{3} - 15 x^{2} + 89 x - 546 + \frac{3264}{x + 6}$

Schritt 19

Da $- 6 < 0$ und die Vorzeichen in der unteren Zeile der synthetischen Division alternieren, ist $- 6$ eine untere Schranke für die reellen Wurzeln der Funktion.

Untere Schranke: $- 6$

Schritt 20

Wende die synthetische Division auf $\frac{3 x^{4} + 3 x^{3} - x^{2} - 12 x - 12}{x - 12}$ an mit $x = 12$ .

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Schritt 20.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$12$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

Schritt 20.2

Die erste Zahl im Dividenden $(3)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$12$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

	$3$

Schritt 20.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(3)$ mit dem Divisor $(12)$ und schreibe das Ergebnis von $(36)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(3)$ .

$12$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$36$
	$3$

Schritt 20.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$12$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$36$
	$3$	$39$

Schritt 20.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(39)$ mit dem Divisor $(12)$ und schreibe das Ergebnis von $(468)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 1)$ .

$12$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$36$	$468$
	$3$	$39$

Schritt 20.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$12$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$36$	$468$
	$3$	$39$	$467$

Schritt 20.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(467)$ mit dem Divisor $(12)$ und schreibe das Ergebnis von $(5604)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 12)$ .

$12$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$36$	$468$	$5604$
	$3$	$39$	$467$

Schritt 20.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$12$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$36$	$468$	$5604$
	$3$	$39$	$467$	$5592$

Schritt 20.9

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(5592)$ mit dem Divisor $(12)$ und schreibe das Ergebnis von $(67104)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 12)$ .

$12$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$36$	$468$	$5604$	$67104$
	$3$	$39$	$467$	$5592$

Schritt 20.10

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$12$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$36$	$468$	$5604$	$67104$
	$3$	$39$	$467$	$5592$	$67092$

Schritt 20.11

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$3 x^{3} + 39 x^{2} + (467) x + 5592 + \frac{67092}{x - 12}$

Schritt 20.12

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$3 x^{3} + 39 x^{2} + 467 x + 5592 + \frac{67092}{x - 12}$

Schritt 21

Da $12 > 0$ und alle Vorzeichen in der unteren Zeile der synthetischen Division positiv sind, ist $12$ eine obere Schranke für die reellen Wurzeln der Funktion.

Obere Schranke: $12$

Schritt 22

Wende die synthetische Division auf $\frac{3 x^{4} + 3 x^{3} - x^{2} - 12 x - 12}{x + 12}$ an mit $x = - 12$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 22.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$- 12$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

Schritt 22.2

Die erste Zahl im Dividenden $(3)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$- 12$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

	$3$

Schritt 22.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(3)$ mit dem Divisor $(- 12)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 36)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(3)$ .

$- 12$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 36$
	$3$

Schritt 22.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 12$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 36$
	$3$	$- 33$

Schritt 22.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 33)$ mit dem Divisor $(- 12)$ und schreibe das Ergebnis von $(396)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 1)$ .

$- 12$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 36$	$396$
	$3$	$- 33$

Schritt 22.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 12$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 36$	$396$
	$3$	$- 33$	$395$

Schritt 22.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(395)$ mit dem Divisor $(- 12)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 4740)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 12)$ .

$- 12$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 36$	$396$	$- 4740$
	$3$	$- 33$	$395$

Schritt 22.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 12$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 36$	$396$	$- 4740$
	$3$	$- 33$	$395$	$- 4752$

Schritt 22.9

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 4752)$ mit dem Divisor $(- 12)$ und schreibe das Ergebnis von $(57024)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 12)$ .

$- 12$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 36$	$396$	$- 4740$	$57024$
	$3$	$- 33$	$395$	$- 4752$

Schritt 22.10

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 12$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 36$	$396$	$- 4740$	$57024$
	$3$	$- 33$	$395$	$- 4752$	$57012$

Schritt 22.11

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$3 x^{3} + - 33 x^{2} + (395) x - 4752 + \frac{57012}{x + 12}$

Schritt 22.12

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$3 x^{3} - 33 x^{2} + 395 x - 4752 + \frac{57012}{x + 12}$

Schritt 23

Da $- 12 < 0$ und die Vorzeichen in der unteren Zeile der synthetischen Division alternieren, ist $- 12$ eine untere Schranke für die reellen Wurzeln der Funktion.

Untere Schranke: $- 12$

Schritt 24

Bestimme die oberen und unteren Grenzen.

Obere Schranken: $2, 3, 4, 6, 12$

Untere Schranken: $- 2, - 3, - 4, - \frac{4}{3}, - 6, - 12$

Schritt 25