Algebra Beispiele

${(\sqrt{2} + i \sqrt{2})}^{3}$

Schritt 1

Wende den binomischen Lehrsatz an.

${\sqrt{2}}^{3} + 3 {\sqrt{2}}^{2} (i \sqrt{2}) + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Schritt 2

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1

Schreibe ${\sqrt{2}}^{3}$ als $\sqrt{2^{3}}$ um.

$\sqrt{2^{3}} + 3 {\sqrt{2}}^{2} (i \sqrt{2}) + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Schritt 2.1.2

Potenziere $2$ mit $3$ .

$\sqrt{8} + 3 {\sqrt{2}}^{2} (i \sqrt{2}) + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Schritt 2.1.3

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 2.1.3.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$\sqrt{4 (2)} + 3 {\sqrt{2}}^{2} (i \sqrt{2}) + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Schritt 2.1.3.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\sqrt{2^{2} \cdot 2} + 3 {\sqrt{2}}^{2} (i \sqrt{2}) + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Schritt 2.1.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$2 \sqrt{2} + 3 {\sqrt{2}}^{2} (i \sqrt{2}) + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Schritt 2.1.5

Multipliziere ${\sqrt{2}}^{2}$ mit $\sqrt{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1.5.1

Bewege $\sqrt{2}$ .

$2 \sqrt{2} + 3 (\sqrt{2} {\sqrt{2}}^{2}) i + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Schritt 2.1.5.2

Mutltipliziere $\sqrt{2}$ mit ${\sqrt{2}}^{2}$ .

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Schritt 2.1.5.2.1

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$2 \sqrt{2} + 3 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{2}) i + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Schritt 2.1.5.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 \sqrt{2} + 3 {\sqrt{2}}^{1 + 2} i + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Schritt 2.1.5.3

Addiere $1$ und $2$ .

$2 \sqrt{2} + 3 {\sqrt{2}}^{3} i + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Schritt 2.1.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{3}$ als $\sqrt{2^{3}}$ um.

$2 \sqrt{2} + 3 \sqrt{2^{3}} i + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Schritt 2.1.7

Potenziere $2$ mit $3$ .

$2 \sqrt{2} + 3 \sqrt{8} i + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Schritt 2.1.8

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 2.1.8.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$2 \sqrt{2} + 3 \sqrt{4 (2)} i + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Schritt 2.1.8.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$2 \sqrt{2} + 3 \sqrt{2^{2} \cdot 2} i + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Schritt 2.1.9

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$2 \sqrt{2} + 3 (2 \sqrt{2}) i + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Schritt 2.1.10

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Schritt 2.1.11

Wende die Produktregel auf $i \sqrt{2}$ an.

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i + 3 \sqrt{2} (i^{2} {\sqrt{2}}^{2}) + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Schritt 2.1.12

Multipliziere $\sqrt{2}$ mit ${\sqrt{2}}^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1.12.1

Bewege ${\sqrt{2}}^{2}$ .

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i + 3 ({\sqrt{2}}^{2} \sqrt{2}) i^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Schritt 2.1.12.2

Mutltipliziere ${\sqrt{2}}^{2}$ mit $\sqrt{2}$ .

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Schritt 2.1.12.2.1

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i + 3 ({\sqrt{2}}^{2} {\sqrt{2}}^{1}) i^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Schritt 2.1.12.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i + 3 {\sqrt{2}}^{2 + 1} i^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Schritt 2.1.12.3

Addiere $2$ und $1$ .

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i + 3 {\sqrt{2}}^{3} i^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Schritt 2.1.13

Schreibe ${\sqrt{2}}^{3}$ als $\sqrt{2^{3}}$ um.

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i + 3 \sqrt{2^{3}} i^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Schritt 2.1.14

Potenziere $2$ mit $3$ .

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i + 3 \sqrt{8} i^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Schritt 2.1.15

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 2.1.15.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i + 3 \sqrt{4 (2)} i^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Schritt 2.1.15.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i + 3 \sqrt{2^{2} \cdot 2} i^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Schritt 2.1.16

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i + 3 (2 \sqrt{2}) i^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Schritt 2.1.17

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i + 6 \sqrt{2} i^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Schritt 2.1.18

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i + 6 \sqrt{2} \cdot - 1 + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Schritt 2.1.19

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i - 6 \sqrt{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Schritt 2.1.20

Wende die Produktregel auf $i \sqrt{2}$ an.

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i - 6 \sqrt{2} + i^{3} {\sqrt{2}}^{3}$

Schritt 2.1.21

Faktorisiere $i^{2}$ aus.

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i - 6 \sqrt{2} + i^{2} \cdot i {\sqrt{2}}^{3}$

Schritt 2.1.22

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i - 6 \sqrt{2} - 1 \cdot i {\sqrt{2}}^{3}$

Schritt 2.1.23

Schreibe $- 1 i$ als $- i$ um.

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i - 6 \sqrt{2} - i {\sqrt{2}}^{3}$

Schritt 2.1.24

Schreibe ${\sqrt{2}}^{3}$ als $\sqrt{2^{3}}$ um.

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i - 6 \sqrt{2} - i \sqrt{2^{3}}$

Schritt 2.1.25

Potenziere $2$ mit $3$ .

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i - 6 \sqrt{2} - i \sqrt{8}$

Schritt 2.1.26

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 2.1.26.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i - 6 \sqrt{2} - i \sqrt{4 (2)}$

Schritt 2.1.26.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i - 6 \sqrt{2} - i \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

Schritt 2.1.27

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i - 6 \sqrt{2} - i (2 \sqrt{2})$

Schritt 2.1.28

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i - 6 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2}$

Schritt 2.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 2.2.1

Subtrahiere $6 \sqrt{2}$ von $2 \sqrt{2}$ .

$6 \sqrt{2} i - 4 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2}$

Schritt 2.2.2

Stelle die Faktoren von $6 \sqrt{2} i$ um.

$6 i \sqrt{2} - 4 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2}$

Schritt 2.2.3

Subtrahiere $2 i \sqrt{2}$ von $6 i \sqrt{2}$ .

$4 i \sqrt{2} - 4 \sqrt{2}$

Schritt 2.2.4

Stelle $4 i \sqrt{2}$ und $- 4 \sqrt{2}$ um.

$- 4 \sqrt{2} + 4 i \sqrt{2}$

Schritt 3

Das ist die trigonometrische Form einer komplexen Zahl, wobei $| z |$ der Betrag und $θ$ der Winkel, der in der komplexen Ebene entsteht, ist.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Schritt 4

Der Betrag einer komplexen Zahl ist der Abstand vom Ursprung in der komplexen Zahlenebene.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , wobei $z = a + b i$

Schritt 5

Ersetze die tatsächlichen Werte von $a = - 4 \sqrt{2}$ und $b = 4 \sqrt{2}$ .

$| z | = \sqrt{{(4 \sqrt{2})}^{2} + {(- 4 \sqrt{2})}^{2}}$

Schritt 6

Ermittle $| z |$ .

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Schritt 6.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.1.1

Wende die Produktregel auf $4 \sqrt{2}$ an.

$| z | = \sqrt{4^{2} {\sqrt{2}}^{2} + {(- 4 \sqrt{2})}^{2}}$

Schritt 6.1.2

Potenziere $4$ mit $2$ .

$| z | = \sqrt{16 {\sqrt{2}}^{2} + {(- 4 \sqrt{2})}^{2}}$

Schritt 6.2

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 6.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$| z | = \sqrt{16 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(- 4 \sqrt{2})}^{2}}$

Schritt 6.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{16 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(- 4 \sqrt{2})}^{2}}$

Schritt 6.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$| z | = \sqrt{16 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + {(- 4 \sqrt{2})}^{2}}$

Schritt 6.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$| z | = \sqrt{16 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + {(- 4 \sqrt{2})}^{2}}$

Schritt 6.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$| z | = \sqrt{16 \cdot 2 + {(- 4 \sqrt{2})}^{2}}$

Schritt 6.2.5

Berechne den Exponenten.

$| z | = \sqrt{16 \cdot 2 + {(- 4 \sqrt{2})}^{2}}$

Schritt 6.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.3.1

Mutltipliziere $16$ mit $2$ .

$| z | = \sqrt{32 + {(- 4 \sqrt{2})}^{2}}$

Schritt 6.3.2

Wende die Produktregel auf $- 4 \sqrt{2}$ an.

$| z | = \sqrt{32 + {(- 4)}^{2} {\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 6.3.3

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$| z | = \sqrt{32 + 16 {\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 6.4

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 6.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$| z | = \sqrt{32 + 16 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 6.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{32 + 16 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 6.4.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$| z | = \sqrt{32 + 16 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 6.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$| z | = \sqrt{32 + 16 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 6.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$| z | = \sqrt{32 + 16 \cdot 2}$

Schritt 6.4.5

Berechne den Exponenten.

$| z | = \sqrt{32 + 16 \cdot 2}$

Schritt 6.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.5.1

Mutltipliziere $16$ mit $2$ .

$| z | = \sqrt{32 + 32}$

Schritt 6.5.2

Addiere $32$ und $32$ .

$| z | = \sqrt{64}$

Schritt 6.5.3

Schreibe $64$ als $8^{2}$ um.

$| z | = \sqrt{8^{2}}$

Schritt 6.5.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$| z | = 8$

Schritt 7

Der Winkel des Punkts in der komplexen Zahlenebene ist der inverse Tangens des Imaginärteils geteilt durch den Realteil.

$θ = \arctan (\frac{4 \sqrt{2}}{- 4 \sqrt{2}})$

Schritt 8

Da die Umkehrfunktion des Tangens von $\frac{4 \sqrt{2}}{- 4 \sqrt{2}}$ einen Winkel im zweiten Quadranten ergibt, ist der Wert des Winkels $\frac{3 π}{4}$ .

$θ = \frac{3 π}{4}$

Schritt 9

Substituiere die Werte von $θ = \frac{3 π}{4}$ und $| z | = 8$ .

$8 (\cos (\frac{3 π}{4}) + i \sin (\frac{3 π}{4}))$