Algebra Beispiele

$7 - \sqrt{x + 3}$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = 7 - \sqrt{y + 3}$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $7 - \sqrt{y + 3} = x$ um.

$7 - \sqrt{y + 3} = x$

Schritt 2.2

Subtrahiere $7$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \sqrt{y + 3} = x - 7$

Schritt 2.3

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${(- \sqrt{y + 3})}^{2} = {(x - 7)}^{2}$

Schritt 2.4

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{y + 3}$ als ${(y + 3)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(- {(y + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 7)}^{2}$

Schritt 2.4.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.2.1

Vereinfache ${(- {(y + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.2.1.1

Wende die Produktregel auf $- {(y + 3)}^{\frac{1}{2}}$ an.

${(- 1)}^{2} {({(y + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 7)}^{2}$

Schritt 2.4.2.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$1 {({(y + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 7)}^{2}$

Schritt 2.4.2.1.3

Mutltipliziere ${({(y + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ mit $1$ .

${({(y + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 7)}^{2}$

Schritt 2.4.2.1.4

Multipliziere die Exponenten in ${({(y + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.2.1.4.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 7)}^{2}$

Schritt 2.4.2.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.2.1.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(y + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 7)}^{2}$

Schritt 2.4.2.1.4.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(y + 3)}^{1} = {(x - 7)}^{2}$

Schritt 2.4.2.1.5

Vereinfache.

$y + 3 = {(x - 7)}^{2}$

Schritt 2.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.3.1

Vereinfache ${(x - 7)}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.3.1.1

Schreibe ${(x - 7)}^{2}$ als $(x - 7) (x - 7)$ um.

$y + 3 = (x - 7) (x - 7)$

Schritt 2.4.3.1.2

Multipliziere $(x - 7) (x - 7)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y + 3 = x (x - 7) - 7 (x - 7)$

Schritt 2.4.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y + 3 = x \cdot x + x \cdot - 7 - 7 (x - 7)$

Schritt 2.4.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y + 3 = x \cdot x + x \cdot - 7 - 7 x - 7 \cdot - 7$

Schritt 2.4.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.3.1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$y + 3 = x^{2} + x \cdot - 7 - 7 x - 7 \cdot - 7$

Schritt 2.4.3.1.3.1.2

Bringe $- 7$ auf die linke Seite von $x$ .

$y + 3 = x^{2} - 7 \cdot x - 7 x - 7 \cdot - 7$

Schritt 2.4.3.1.3.1.3

Mutltipliziere $- 7$ mit $- 7$ .

$y + 3 = x^{2} - 7 x - 7 x + 49$

Schritt 2.4.3.1.3.2

Subtrahiere $7 x$ von $- 7 x$ .

$y + 3 = x^{2} - 14 x + 49$

Schritt 2.5

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.1

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = x^{2} - 14 x + 49 - 3$

Schritt 2.5.2

Subtrahiere $3$ von $49$ .

$y = x^{2} - 14 x + 46$

Schritt 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 14 x + 46$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = x^{2} - 14 x + 46$ die Umkehrfunktion von $f (x) = 7 - \sqrt{x + 3}$ ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (7 - \sqrt{x + 3})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (7 - \sqrt{x + 3}) = {(7 - \sqrt{x + 3})}^{2} - 14 (7 - \sqrt{x + 3}) + 46$

Schritt 4.2.3

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.3.1

Schreibe ${(7 - \sqrt{x + 3})}^{2}$ als $(7 - \sqrt{x + 3}) (7 - \sqrt{x + 3})$ um.

$f^{- 1} (7 - \sqrt{x + 3}) = (7 - \sqrt{x + 3}) (7 - \sqrt{x + 3}) - 14 (7 - \sqrt{x + 3}) + 46$

Schritt 4.2.3.2

Multipliziere $(7 - \sqrt{x + 3}) (7 - \sqrt{x + 3})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (7 - \sqrt{x + 3}) = 7 (7 - \sqrt{x + 3}) - \sqrt{x + 3} (7 - \sqrt{x + 3}) - 14 (7 - \sqrt{x + 3}) + 46$

Schritt 4.2.3.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (7 - \sqrt{x + 3}) = 7 \cdot 7 + 7 (- \sqrt{x + 3}) - \sqrt{x + 3} (7 - \sqrt{x + 3}) - 14 (7 - \sqrt{x + 3}) + 46$

Schritt 4.2.3.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (7 - \sqrt{x + 3}) = 7 \cdot 7 + 7 (- \sqrt{x + 3}) - \sqrt{x + 3} \cdot 7 - \sqrt{x + 3} (- \sqrt{x + 3}) - 14 (7 - \sqrt{x + 3}) + 46$

Schritt 4.2.3.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.3.3.1.1

Mutltipliziere $7$ mit $7$ .

$f^{- 1} (7 - \sqrt{x + 3}) = 49 + 7 (- \sqrt{x + 3}) - \sqrt{x + 3} \cdot 7 - \sqrt{x + 3} (- \sqrt{x + 3}) - 14 (7 - \sqrt{x + 3}) + 46$

Schritt 4.2.3.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $7$ .

$f^{- 1} (7 - \sqrt{x + 3}) = 49 - 7 \sqrt{x + 3} - \sqrt{x + 3} \cdot 7 - \sqrt{x + 3} (- \sqrt{x + 3}) - 14 (7 - \sqrt{x + 3}) + 46$

Schritt 4.2.3.3.1.3

Mutltipliziere $7$ mit $- 1$ .

$f^{- 1} (7 - \sqrt{x + 3}) = 49 - 7 \sqrt{x + 3} - 7 \sqrt{x + 3} - \sqrt{x + 3} (- \sqrt{x + 3}) - 14 (7 - \sqrt{x + 3}) + 46$

Schritt 4.2.3.3.1.4

Multipliziere $- \sqrt{x + 3} (- \sqrt{x + 3})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.3.3.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f^{- 1} (7 - \sqrt{x + 3}) = 49 - 7 \sqrt{x + 3} - 7 \sqrt{x + 3} + 1 \sqrt{x + 3} \sqrt{x + 3} - 14 (7 - \sqrt{x + 3}) + 46$

Schritt 4.2.3.3.1.4.2

Mutltipliziere $\sqrt{x + 3}$ mit $1$ .

$f^{- 1} (7 - \sqrt{x + 3}) = 49 - 7 \sqrt{x + 3} - 7 \sqrt{x + 3} + \sqrt{x + 3} \sqrt{x + 3} - 14 (7 - \sqrt{x + 3}) + 46$

Schritt 4.2.3.3.1.4.3

Potenziere $\sqrt{x + 3}$ mit $1$ .

$f^{- 1} (7 - \sqrt{x + 3}) = 49 - 7 \sqrt{x + 3} - 7 \sqrt{x + 3} + \sqrt{x + 3} \sqrt{x + 3} - 14 (7 - \sqrt{x + 3}) + 46$

Schritt 4.2.3.3.1.4.4

Potenziere $\sqrt{x + 3}$ mit $1$ .

$f^{- 1} (7 - \sqrt{x + 3}) = 49 - 7 \sqrt{x + 3} - 7 \sqrt{x + 3} + \sqrt{x + 3} \sqrt{x + 3} - 14 (7 - \sqrt{x + 3}) + 46$

Schritt 4.2.3.3.1.4.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f^{- 1} (7 - \sqrt{x + 3}) = 49 - 7 \sqrt{x + 3} - 7 \sqrt{x + 3} + {\sqrt{x + 3}}^{1 + 1} - 14 (7 - \sqrt{x + 3}) + 46$

Schritt 4.2.3.3.1.4.6

Addiere $1$ und $1$ .

$f^{- 1} (7 - \sqrt{x + 3}) = 49 - 7 \sqrt{x + 3} - 7 \sqrt{x + 3} + {\sqrt{x + 3}}^{2} - 14 (7 - \sqrt{x + 3}) + 46$

Schritt 4.2.3.3.1.5

Schreibe ${\sqrt{x + 3}}^{2}$ als $x + 3$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.3.3.1.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x + 3}$ als ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f^{- 1} (7 - \sqrt{x + 3}) = 49 - 7 \sqrt{x + 3} - 7 \sqrt{x + 3} + {({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} - 14 (7 - \sqrt{x + 3}) + 46$

Schritt 4.2.3.3.1.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (7 - \sqrt{x + 3}) = 49 - 7 \sqrt{x + 3} - 7 \sqrt{x + 3} + {(x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 14 (7 - \sqrt{x + 3}) + 46$

Schritt 4.2.3.3.1.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f^{- 1} (7 - \sqrt{x + 3}) = 49 - 7 \sqrt{x + 3} - 7 \sqrt{x + 3} + {(x + 3)}^{\frac{2}{2}} - 14 (7 - \sqrt{x + 3}) + 46$

Schritt 4.2.3.3.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.3.3.1.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (7 - \sqrt{x + 3}) = 49 - 7 \sqrt{x + 3} - 7 \sqrt{x + 3} + {(x + 3)}^{\frac{2}{2}} - 14 (7 - \sqrt{x + 3}) + 46$

Schritt 4.2.3.3.1.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (7 - \sqrt{x + 3}) = 49 - 7 \sqrt{x + 3} - 7 \sqrt{x + 3} + x + 3 - 14 (7 - \sqrt{x + 3}) + 46$

Schritt 4.2.3.3.1.5.5

Vereinfache.

$f^{- 1} (7 - \sqrt{x + 3}) = 49 - 7 \sqrt{x + 3} - 7 \sqrt{x + 3} + x + 3 - 14 (7 - \sqrt{x + 3}) + 46$

Schritt 4.2.3.3.2

Addiere $49$ und $3$ .

$f^{- 1} (7 - \sqrt{x + 3}) = 52 - 7 \sqrt{x + 3} - 7 \sqrt{x + 3} + x - 14 (7 - \sqrt{x + 3}) + 46$

Schritt 4.2.3.3.3

Subtrahiere $7 \sqrt{x + 3}$ von $- 7 \sqrt{x + 3}$ .

$f^{- 1} (7 - \sqrt{x + 3}) = 52 - 14 \sqrt{x + 3} + x - 14 (7 - \sqrt{x + 3}) + 46$

Schritt 4.2.3.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (7 - \sqrt{x + 3}) = 52 - 14 \sqrt{x + 3} + x - 14 \cdot 7 - 14 (- \sqrt{x + 3}) + 46$

Schritt 4.2.3.5

Mutltipliziere $- 14$ mit $7$ .

$f^{- 1} (7 - \sqrt{x + 3}) = 52 - 14 \sqrt{x + 3} + x - 98 - 14 (- \sqrt{x + 3}) + 46$

Schritt 4.2.3.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 14$ .

$f^{- 1} (7 - \sqrt{x + 3}) = 52 - 14 \sqrt{x + 3} + x - 98 + 14 \sqrt{x + 3} + 46$

Schritt 4.2.4

Vereinfache durch Addieren von Termen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.4.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $52 - 14 \sqrt{x + 3} + x - 98 + 14 \sqrt{x + 3} + 46$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.4.1.1

Addiere $- 14 \sqrt{x + 3}$ und $14 \sqrt{x + 3}$ .

$f^{- 1} (7 - \sqrt{x + 3}) = 52 + x - 98 + 0 + 46$

Schritt 4.2.4.1.2

Addiere $52 + x - 98$ und $0$ .

$f^{- 1} (7 - \sqrt{x + 3}) = 52 + x - 98 + 46$

Schritt 4.2.4.2

Subtrahiere $98$ von $52$ .

$f^{- 1} (7 - \sqrt{x + 3}) = x - 46 + 46$

Schritt 4.2.4.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 46 + 46$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.4.3.1

Addiere $- 46$ und $46$ .

$f^{- 1} (7 - \sqrt{x + 3}) = x + 0$

Schritt 4.2.4.3.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} (7 - \sqrt{x + 3}) = x$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (x^{2} - 14 x + 46)$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (x^{2} - 14 x + 46) = 7 - \sqrt{(x^{2} - 14 x + 46) + 3}$

Schritt 4.3.3

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.3.1

Addiere $46$ und $3$ .

$f (x^{2} - 14 x + 46) = 7 - \sqrt{x^{2} - 14 x + 49}$

Schritt 4.3.3.2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.3.2.1

Schreibe $49$ als $7^{2}$ um.

$f (x^{2} - 14 x + 46) = 7 - \sqrt{x^{2} - 14 x + 7^{2}}$

Schritt 4.3.3.2.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$14 x = 2 \cdot x \cdot 7$

Schritt 4.3.3.2.3

Schreibe das Polynom neu.

$f (x^{2} - 14 x + 46) = 7 - \sqrt{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 7 + 7^{2}}$

Schritt 4.3.3.2.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 7$ .

$f (x^{2} - 14 x + 46) = 7 - \sqrt{{(x - 7)}^{2}}$

Schritt 4.3.3.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (x^{2} - 14 x + 46) = 7 - (x - 7)$

Schritt 4.3.3.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x^{2} - 14 x + 46) = 7 - x + 7$

Schritt 4.3.3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 7$ .

$f (x^{2} - 14 x + 46) = 7 - x + 7$

Schritt 4.3.4

Addiere $7$ und $7$ .

$f (x^{2} - 14 x + 46) = - x + 14$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = x^{2} - 14 x + 46$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = 7 - \sqrt{x + 3}$ .

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 14 x + 46$