Algebra Beispiele

$\frac{7}{3 x - 1}$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{7}{3 y - 1}$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{7}{3 y - 1} = x$ um.

$\frac{7}{3 y - 1} = x$

Schritt 2.2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$3 y - 1, 1$

Schritt 2.2.2

Entferne die Klammern.

$3 y - 1, 1$

Schritt 2.2.3

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$3 y - 1$

Schritt 2.3

Multipliziere jeden Term in $\frac{7}{3 y - 1} = x$ mit $3 y - 1$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 2.3.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{7}{3 y - 1} = x$ mit $3 y - 1$ .

$\frac{7}{3 y - 1} (3 y - 1) = x (3 y - 1)$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 y - 1$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{7}{3 y - 1} (3 y - 1) = x (3 y - 1)$

Schritt 2.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$7 = x (3 y - 1)$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.3.1

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

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Schritt 2.3.3.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$7 = x (3 y) + x \cdot - 1$

Schritt 2.3.3.1.2

Stelle um.

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Schritt 2.3.3.1.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$7 = 3 x y + x \cdot - 1$

Schritt 2.3.3.1.2.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$7 = 3 x y - 1 \cdot x$

Schritt 2.3.3.2

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$7 = 3 x y - x$

Schritt 2.4

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.4.1

Schreibe die Gleichung als $3 x y - x = 7$ um.

$3 x y - x = 7$

Schritt 2.4.2

Addiere $x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x y = 7 + x$

Schritt 2.4.3

Teile jeden Ausdruck in $3 x y = 7 + x$ durch $3 x$ und vereinfache.

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Schritt 2.4.3.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x y = 7 + x$ durch $3 x$ .

$\frac{3 x y}{3 x} = \frac{7}{3 x} + \frac{x}{3 x}$

Schritt 2.4.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.4.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x y}{3 x} = \frac{7}{3 x} + \frac{x}{3 x}$

Schritt 2.4.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x y}{x} = \frac{7}{3 x} + \frac{x}{3 x}$

Schritt 2.4.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 2.4.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x y}{x} = \frac{7}{3 x} + \frac{x}{3 x}$

Schritt 2.4.3.2.2.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{7}{3 x} + \frac{x}{3 x}$

Schritt 2.4.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 2.4.3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{7}{3 x} + \frac{x}{3 x}$

Schritt 2.4.3.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{7}{3 x} + \frac{1}{3}$

Schritt 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{7}{3 x} + \frac{1}{3}$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{7}{3 x} + \frac{1}{3}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{7}{3 x - 1}$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{7}{3 x - 1})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{7}{3 x - 1}) = \frac{7}{3 (\frac{7}{3 x - 1})} + \frac{1}{3}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.3.1

Kombiniere $3$ und $\frac{7}{3 x - 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{7}{3 x - 1}) = \frac{7}{\frac{3 \cdot 7}{3 x - 1}} + \frac{1}{3}$

Schritt 4.2.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $7$ .

$f^{- 1} (\frac{7}{3 x - 1}) = \frac{7}{\frac{21}{3 x - 1}} + \frac{1}{3}$

Schritt 4.2.3.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f^{- 1} (\frac{7}{3 x - 1}) = 7 (\frac{3 x - 1}{21}) + \frac{1}{3}$

Schritt 4.2.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 4.2.3.4.1

Faktorisiere $7$ aus $21$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{7}{3 x - 1}) = 7 (\frac{3 x - 1}{7 (3)}) + \frac{1}{3}$

Schritt 4.2.3.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{7}{3 x - 1}) = 7 (\frac{3 x - 1}{7 \cdot 3}) + \frac{1}{3}$

Schritt 4.2.3.4.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{7}{3 x - 1}) = \frac{3 x - 1}{3} + \frac{1}{3}$

Schritt 4.2.4

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.2.4.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\frac{7}{3 x - 1}) = \frac{3 x - 1 + 1}{3}$

Schritt 4.2.4.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $3 x - 1 + 1$ .

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Schritt 4.2.4.2.1

Addiere $- 1$ und $1$ .

$f^{- 1} (\frac{7}{3 x - 1}) = \frac{3 x + 0}{3}$

Schritt 4.2.4.2.2

Addiere $3 x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\frac{7}{3 x - 1}) = \frac{3 x}{3}$

Schritt 4.2.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.2.4.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{7}{3 x - 1}) = \frac{3 x}{3}$

Schritt 4.2.4.3.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f^{- 1} (\frac{7}{3 x - 1}) = x$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (\frac{7}{3 x} + \frac{1}{3})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{7}{3 x} + \frac{1}{3}) = \frac{7}{3 (\frac{7}{3 x} + \frac{1}{3}) - 1}$

Schritt 4.3.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{7}{3 x} + \frac{1}{3}) = \frac{7}{3 (\frac{7}{3 x}) + 3 (\frac{1}{3}) - 1}$

Schritt 4.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.3.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x$ heraus.

$f (\frac{7}{3 x} + \frac{1}{3}) = \frac{7}{3 (\frac{7}{3 (x)}) + 3 (\frac{1}{3}) - 1}$

Schritt 4.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{7}{3 x} + \frac{1}{3}) = \frac{7}{3 (\frac{7}{3 x}) + 3 (\frac{1}{3}) - 1}$

Schritt 4.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{7}{3 x} + \frac{1}{3}) = \frac{7}{\frac{7}{x} + 3 (\frac{1}{3}) - 1}$

Schritt 4.3.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.3.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{7}{3 x} + \frac{1}{3}) = \frac{7}{\frac{7}{x} + 3 (\frac{1}{3}) - 1}$

Schritt 4.3.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{7}{3 x} + \frac{1}{3}) = \frac{7}{\frac{7}{x} + 1 - 1}$

Schritt 4.3.3.4

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$f (\frac{7}{3 x} + \frac{1}{3}) = \frac{7}{\frac{7}{x} + 0}$

Schritt 4.3.3.5

Addiere $\frac{7}{x}$ und $0$ .

$f (\frac{7}{3 x} + \frac{1}{3}) = \frac{7}{\frac{7}{x}}$

Schritt 4.3.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f (\frac{7}{3 x} + \frac{1}{3}) = 7 (\frac{x}{7})$

Schritt 4.3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 4.3.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{7}{3 x} + \frac{1}{3}) = 7 (\frac{x}{7})$

Schritt 4.3.5.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{7}{3 x} + \frac{1}{3}) = x$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{7}{3 x} + \frac{1}{3}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{7}{3 x - 1}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{7}{3 x} + \frac{1}{3}$