Algebra Beispiele

$\frac{6 x}{7 x - 1}$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{6 y}{7 y - 1}$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Multipliziere die Gleichung mit $7 y - 1$ .

$(7 y - 1) (x) = (\frac{6 y}{7 y - 1}) (7 y - 1)$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache $(7 y - 1) (x)$ .

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Schritt 2.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$7 y x - 1 x = (\frac{6 y}{7 y - 1}) (7 y - 1)$

Schritt 2.2.1.2

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$7 y x - x = (\frac{6 y}{7 y - 1}) (7 y - 1)$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7 y - 1$ .

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Schritt 2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$7 y x - x = \frac{6 y}{7 y - 1} (7 y - 1)$

Schritt 2.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$7 y x - x = 6 y$

Schritt 2.4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.4.1

Subtrahiere $6 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$7 y x - x - 6 y = 0$

Schritt 2.4.2

Addiere $x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$7 y x - 6 y = x$

Schritt 2.4.3

Faktorisiere $y$ aus $7 y x - 6 y$ heraus.

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Schritt 2.4.3.1

Faktorisiere $y$ aus $7 y x$ heraus.

$y (7 x) - 6 y = x$

Schritt 2.4.3.2

Faktorisiere $y$ aus $- 6 y$ heraus.

$y (7 x) + y \cdot - 6 = x$

Schritt 2.4.3.3

Faktorisiere $y$ aus $y (7 x) + y \cdot - 6$ heraus.

$y (7 x - 6) = x$

Schritt 2.4.4

Teile jeden Ausdruck in $y (7 x - 6) = x$ durch $7 x - 6$ und vereinfache.

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Schritt 2.4.4.1

Teile jeden Ausdruck in $y (7 x - 6) = x$ durch $7 x - 6$ .

$\frac{y (7 x - 6)}{7 x - 6} = \frac{x}{7 x - 6}$

Schritt 2.4.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7 x - 6$ .

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Schritt 2.4.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y (7 x - 6)}{7 x - 6} = \frac{x}{7 x - 6}$

Schritt 2.4.4.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{x}{7 x - 6}$

Schritt 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{7 x - 6}$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{x}{7 x - 6}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{6 x}{7 x - 1}$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{6 x}{7 x - 1})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x}{7 x - 1}) = \frac{\frac{6 x}{7 x - 1}}{7 (\frac{6 x}{7 x - 1}) - 6}$

Schritt 4.2.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f^{- 1} (\frac{6 x}{7 x - 1}) = \frac{6 x}{7 x - 1} \cdot \frac{1}{7 (\frac{6 x}{7 x - 1}) - 6}$

Schritt 4.2.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.2.4.1

Multipliziere $7 \frac{6 x}{7 x - 1}$ .

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Schritt 4.2.4.1.1

Kombiniere $7$ und $\frac{6 x}{7 x - 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x}{7 x - 1}) = \frac{6 x}{7 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{7 (6 x)}{7 x - 1} - 6}$

Schritt 4.2.4.1.2

Mutltipliziere $6$ mit $7$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x}{7 x - 1}) = \frac{6 x}{7 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{42 x}{7 x - 1} - 6}$

Schritt 4.2.4.2

Um $- 6$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{7 x - 1}{7 x - 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x}{7 x - 1}) = \frac{6 x}{7 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{42 x}{7 x - 1} - 6 \cdot \frac{7 x - 1}{7 x - 1}}$

Schritt 4.2.4.3

Kombiniere $- 6$ und $\frac{7 x - 1}{7 x - 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x}{7 x - 1}) = \frac{6 x}{7 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{42 x}{7 x - 1} + \frac{- 6 (7 x - 1)}{7 x - 1}}$

Schritt 4.2.4.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\frac{6 x}{7 x - 1}) = \frac{6 x}{7 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{42 x - 6 (7 x - 1)}{7 x - 1}}$

Schritt 4.2.4.5

Schreibe $\frac{42 x - 6 (7 x - 1)}{7 x - 1}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 4.2.4.5.1

Faktorisiere $6$ aus $42 x - 6 (7 x - 1)$ heraus.

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Schritt 4.2.4.5.1.1

Faktorisiere $6$ aus $42 x$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{6 x}{7 x - 1}) = \frac{6 x}{7 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{6 (7 x) - 6 (7 x - 1)}{7 x - 1}}$

Schritt 4.2.4.5.1.2

Faktorisiere $6$ aus $- 6 (7 x - 1)$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{6 x}{7 x - 1}) = \frac{6 x}{7 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{6 (7 x) + 6 (- (7 x - 1))}{7 x - 1}}$

Schritt 4.2.4.5.1.3

Faktorisiere $6$ aus $6 (7 x) + 6 (- (7 x - 1))$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{6 x}{7 x - 1}) = \frac{6 x}{7 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{6 (7 x - (7 x - 1))}{7 x - 1}}$

Schritt 4.2.4.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{6 x}{7 x - 1}) = \frac{6 x}{7 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{6 (7 x - (7 x) + 1)}{7 x - 1}}$

Schritt 4.2.4.5.3

Mutltipliziere $7$ mit $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x}{7 x - 1}) = \frac{6 x}{7 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{6 (7 x - 7 x + 1)}{7 x - 1}}$

Schritt 4.2.4.5.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x}{7 x - 1}) = \frac{6 x}{7 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{6 (7 x - 7 x + 1)}{7 x - 1}}$

Schritt 4.2.4.5.5

Subtrahiere $7 x$ von $7 x$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x}{7 x - 1}) = \frac{6 x}{7 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{6 (0 + 1)}{7 x - 1}}$

Schritt 4.2.4.5.6

Addiere $0$ und $1$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x}{7 x - 1}) = \frac{6 x}{7 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{6 \cdot 1}{7 x - 1}}$

Schritt 4.2.4.6

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x}{7 x - 1}) = \frac{6 x}{7 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{6}{7 x - 1}}$

Schritt 4.2.5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f^{- 1} (\frac{6 x}{7 x - 1}) = \frac{6 x}{7 x - 1} \cdot (1 (\frac{7 x - 1}{6}))$

Schritt 4.2.6

Mutltipliziere $\frac{7 x - 1}{6}$ mit $1$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x}{7 x - 1}) = \frac{6 x}{7 x - 1} \cdot \frac{7 x - 1}{6}$

Schritt 4.2.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 4.2.7.1

Faktorisiere $6$ aus $6 x$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{6 x}{7 x - 1}) = \frac{6 (x)}{7 x - 1} \cdot \frac{7 x - 1}{6}$

Schritt 4.2.7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{6 x}{7 x - 1}) = \frac{6 x}{7 x - 1} \cdot \frac{7 x - 1}{6}$

Schritt 4.2.7.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{6 x}{7 x - 1}) = \frac{x}{7 x - 1} \cdot (7 x - 1)$

Schritt 4.2.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7 x - 1$ .

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Schritt 4.2.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{6 x}{7 x - 1}) = \frac{x}{7 x - 1} \cdot (7 x - 1)$

Schritt 4.2.8.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{6 x}{7 x - 1}) = x$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (\frac{x}{7 x - 6})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{x}{7 x - 6}) = \frac{6 (\frac{x}{7 x - 6})}{7 (\frac{x}{7 x - 6}) - 1}$

Schritt 4.3.3

Kombiniere $6$ und $\frac{x}{7 x - 6}$ .

$f (\frac{x}{7 x - 6}) = \frac{\frac{6 x}{7 x - 6}}{7 (\frac{x}{7 x - 6}) - 1}$

Schritt 4.3.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.3.4.1

Kombiniere $7$ und $\frac{x}{7 x - 6}$ .

$f (\frac{x}{7 x - 6}) = \frac{\frac{6 x}{7 x - 6}}{\frac{7 x}{7 x - 6} - 1}$

Schritt 4.3.4.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{7 x - 6}{7 x - 6}$ .

$f (\frac{x}{7 x - 6}) = \frac{\frac{6 x}{7 x - 6}}{\frac{7 x}{7 x - 6} - 1 \cdot \frac{7 x - 6}{7 x - 6}}$

Schritt 4.3.4.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{7 x - 6}{7 x - 6}$ .

$f (\frac{x}{7 x - 6}) = \frac{\frac{6 x}{7 x - 6}}{\frac{7 x}{7 x - 6} + \frac{- (7 x - 6)}{7 x - 6}}$

Schritt 4.3.4.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{x}{7 x - 6}) = \frac{\frac{6 x}{7 x - 6}}{\frac{7 x - (7 x - 6)}{7 x - 6}}$

Schritt 4.3.4.5

Schreibe $\frac{7 x - (7 x - 6)}{7 x - 6}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 4.3.4.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{x}{7 x - 6}) = \frac{\frac{6 x}{7 x - 6}}{\frac{7 x - (7 x) + 6}{7 x - 6}}$

Schritt 4.3.4.5.2

Mutltipliziere $7$ mit $- 1$ .

$f (\frac{x}{7 x - 6}) = \frac{\frac{6 x}{7 x - 6}}{\frac{7 x - 7 x + 6}{7 x - 6}}$

Schritt 4.3.4.5.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 6$ .

$f (\frac{x}{7 x - 6}) = \frac{\frac{6 x}{7 x - 6}}{\frac{7 x - 7 x + 6}{7 x - 6}}$

Schritt 4.3.4.5.4

Subtrahiere $7 x$ von $7 x$ .

$f (\frac{x}{7 x - 6}) = \frac{\frac{6 x}{7 x - 6}}{\frac{0 + 6}{7 x - 6}}$

Schritt 4.3.4.5.5

Addiere $0$ und $6$ .

$f (\frac{x}{7 x - 6}) = \frac{\frac{6 x}{7 x - 6}}{\frac{6}{7 x - 6}}$

Schritt 4.3.5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f (\frac{x}{7 x - 6}) = \frac{6 x}{7 x - 6} \cdot \frac{7 x - 6}{6}$

Schritt 4.3.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.6.1

Faktorisiere $6$ aus $6 x$ heraus.

$f (\frac{x}{7 x - 6}) = \frac{6 (x)}{7 x - 6} \cdot \frac{7 x - 6}{6}$

Schritt 4.3.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{x}{7 x - 6}) = \frac{6 x}{7 x - 6} \cdot \frac{7 x - 6}{6}$

Schritt 4.3.6.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{x}{7 x - 6}) = \frac{x}{7 x - 6} \cdot (7 x - 6)$

Schritt 4.3.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7 x - 6$ .

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Schritt 4.3.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{x}{7 x - 6}) = \frac{x}{7 x - 6} \cdot (7 x - 6)$

Schritt 4.3.7.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{x}{7 x - 6}) = x$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{x}{7 x - 6}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{6 x}{7 x - 1}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{7 x - 6}$