Algebra Beispiele

$f (x) = 11 x^{4} + 11 x^{3} - x^{2} - 44 x - 44$

Schritt 1

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ .

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Schritt 1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 11, \pm 22, \pm 44$

$q = \pm 1, \pm 11$

Schritt 1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm \frac{1}{11}, \pm 2, \pm \frac{2}{11}, \pm 4, \pm \frac{4}{11}, \pm 11, \pm 22, \pm 44$

Schritt 2

Wende die synthetische Division auf $\frac{11 x^{4} + 11 x^{3} - x^{2} - 44 x - 44}{x - 2}$ an mit $x = 2$ .

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Schritt 2.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$2$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$

Schritt 2.2

Die erste Zahl im Dividenden $(11)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$2$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$

	$11$

Schritt 2.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(11)$ mit dem Divisor $(2)$ und schreibe das Ergebnis von $(22)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(11)$ .

$2$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$
		$22$
	$11$

Schritt 2.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$2$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$
		$22$
	$11$	$33$

Schritt 2.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(33)$ mit dem Divisor $(2)$ und schreibe das Ergebnis von $(66)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 1)$ .

$2$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$
		$22$	$66$
	$11$	$33$

Schritt 2.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$2$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$
		$22$	$66$
	$11$	$33$	$65$

Schritt 2.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(65)$ mit dem Divisor $(2)$ und schreibe das Ergebnis von $(130)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 44)$ .

$2$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$
		$22$	$66$	$130$
	$11$	$33$	$65$

Schritt 2.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$2$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$
		$22$	$66$	$130$
	$11$	$33$	$65$	$86$

Schritt 2.9

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(86)$ mit dem Divisor $(2)$ und schreibe das Ergebnis von $(172)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 44)$ .

$2$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$
		$22$	$66$	$130$	$172$
	$11$	$33$	$65$	$86$

Schritt 2.10

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$2$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$
		$22$	$66$	$130$	$172$
	$11$	$33$	$65$	$86$	$128$

Schritt 2.11

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$11 x^{3} + 33 x^{2} + (65) x + 86 + \frac{128}{x - 2}$

Schritt 2.12

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$11 x^{3} + 33 x^{2} + 65 x + 86 + \frac{128}{x - 2}$

Schritt 3

Da $2 > 0$ und alle Vorzeichen in der unteren Zeile der synthetischen Division positiv sind, ist $2$ eine obere Schranke für die reellen Wurzeln der Funktion.

Obere Schranke: $2$

Schritt 4

Wende die synthetische Division auf $\frac{11 x^{4} + 11 x^{3} - x^{2} - 44 x - 44}{x + 2}$ an mit $x = - 2$ .

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Schritt 4.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$- 2$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$

Schritt 4.2

Die erste Zahl im Dividenden $(11)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$- 2$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$

	$11$

Schritt 4.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(11)$ mit dem Divisor $(- 2)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 22)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(11)$ .

$- 2$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$
		$- 22$
	$11$

Schritt 4.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 2$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$
		$- 22$
	$11$	$- 11$

Schritt 4.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 11)$ mit dem Divisor $(- 2)$ und schreibe das Ergebnis von $(22)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 1)$ .

$- 2$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$
		$- 22$	$22$
	$11$	$- 11$

Schritt 4.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 2$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$
		$- 22$	$22$
	$11$	$- 11$	$21$

Schritt 4.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(21)$ mit dem Divisor $(- 2)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 42)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 44)$ .

$- 2$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$
		$- 22$	$22$	$- 42$
	$11$	$- 11$	$21$

Schritt 4.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 2$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$
		$- 22$	$22$	$- 42$
	$11$	$- 11$	$21$	$- 86$

Schritt 4.9

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 86)$ mit dem Divisor $(- 2)$ und schreibe das Ergebnis von $(172)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 44)$ .

$- 2$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$
		$- 22$	$22$	$- 42$	$172$
	$11$	$- 11$	$21$	$- 86$

Schritt 4.10

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 2$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$
		$- 22$	$22$	$- 42$	$172$
	$11$	$- 11$	$21$	$- 86$	$128$

Schritt 4.11

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$11 x^{3} + - 11 x^{2} + (21) x - 86 + \frac{128}{x + 2}$

Schritt 4.12

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$11 x^{3} - 11 x^{2} + 21 x - 86 + \frac{128}{x + 2}$

Schritt 5

Da $- 2 < 0$ und die Vorzeichen in der unteren Zeile der synthetischen Division alternieren, ist $- 2$ eine untere Schranke für die reellen Wurzeln der Funktion.

Untere Schranke: $- 2$

Schritt 6

Wende die synthetische Division auf $\frac{11 x^{4} + 11 x^{3} - x^{2} - 44 x - 44}{x - 4}$ an mit $x = 4$ .

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Schritt 6.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$4$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$

Schritt 6.2

Die erste Zahl im Dividenden $(11)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$4$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$

	$11$

Schritt 6.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(11)$ mit dem Divisor $(4)$ und schreibe das Ergebnis von $(44)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(11)$ .

$4$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$
		$44$
	$11$

Schritt 6.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$4$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$
		$44$
	$11$	$55$

Schritt 6.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(55)$ mit dem Divisor $(4)$ und schreibe das Ergebnis von $(220)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 1)$ .

$4$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$
		$44$	$220$
	$11$	$55$

Schritt 6.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$4$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$
		$44$	$220$
	$11$	$55$	$219$

Schritt 6.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(219)$ mit dem Divisor $(4)$ und schreibe das Ergebnis von $(876)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 44)$ .

$4$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$
		$44$	$220$	$876$
	$11$	$55$	$219$

Schritt 6.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$4$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$
		$44$	$220$	$876$
	$11$	$55$	$219$	$832$

Schritt 6.9

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(832)$ mit dem Divisor $(4)$ und schreibe das Ergebnis von $(3328)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 44)$ .

$4$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$
		$44$	$220$	$876$	$3328$
	$11$	$55$	$219$	$832$

Schritt 6.10

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$4$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$
		$44$	$220$	$876$	$3328$
	$11$	$55$	$219$	$832$	$3284$

Schritt 6.11

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$11 x^{3} + 55 x^{2} + (219) x + 832 + \frac{3284}{x - 4}$

Schritt 6.12

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$11 x^{3} + 55 x^{2} + 219 x + 832 + \frac{3284}{x - 4}$

Schritt 7

Da $4 > 0$ und alle Vorzeichen in der unteren Zeile der synthetischen Division positiv sind, ist $4$ eine obere Schranke für die reellen Wurzeln der Funktion.

Obere Schranke: $4$

Schritt 8

Wende die synthetische Division auf $\frac{11 x^{4} + 11 x^{3} - x^{2} - 44 x - 44}{x + 4}$ an mit $x = - 4$ .

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Schritt 8.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$- 4$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$

Schritt 8.2

Die erste Zahl im Dividenden $(11)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$- 4$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$

	$11$

Schritt 8.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(11)$ mit dem Divisor $(- 4)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 44)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(11)$ .

$- 4$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$
		$- 44$
	$11$

Schritt 8.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 4$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$
		$- 44$
	$11$	$- 33$

Schritt 8.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 33)$ mit dem Divisor $(- 4)$ und schreibe das Ergebnis von $(132)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 1)$ .

$- 4$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$
		$- 44$	$132$
	$11$	$- 33$

Schritt 8.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 4$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$
		$- 44$	$132$
	$11$	$- 33$	$131$

Schritt 8.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(131)$ mit dem Divisor $(- 4)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 524)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 44)$ .

$- 4$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$
		$- 44$	$132$	$- 524$
	$11$	$- 33$	$131$

Schritt 8.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 4$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$
		$- 44$	$132$	$- 524$
	$11$	$- 33$	$131$	$- 568$

Schritt 8.9

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 568)$ mit dem Divisor $(- 4)$ und schreibe das Ergebnis von $(2272)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 44)$ .

$- 4$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$
		$- 44$	$132$	$- 524$	$2272$
	$11$	$- 33$	$131$	$- 568$

Schritt 8.10

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 4$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$
		$- 44$	$132$	$- 524$	$2272$
	$11$	$- 33$	$131$	$- 568$	$2228$

Schritt 8.11

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$11 x^{3} + - 33 x^{2} + (131) x - 568 + \frac{2228}{x + 4}$

Schritt 8.12

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$11 x^{3} - 33 x^{2} + 131 x - 568 + \frac{2228}{x + 4}$

Schritt 9

Da $- 4 < 0$ und die Vorzeichen in der unteren Zeile der synthetischen Division alternieren, ist $- 4$ eine untere Schranke für die reellen Wurzeln der Funktion.

Untere Schranke: $- 4$

Schritt 10

Wende die synthetische Division auf $\frac{11 x^{4} + 11 x^{3} - x^{2} - 44 x - 44}{x - 11}$ an mit $x = 11$ .

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Schritt 10.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$11$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$

Schritt 10.2

Die erste Zahl im Dividenden $(11)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$11$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$

	$11$

Schritt 10.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(11)$ mit dem Divisor $(11)$ und schreibe das Ergebnis von $(121)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(11)$ .

$11$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$
		$121$
	$11$

Schritt 10.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$11$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$
		$121$
	$11$	$132$

Schritt 10.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(132)$ mit dem Divisor $(11)$ und schreibe das Ergebnis von $(1452)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 1)$ .

$11$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$
		$121$	$1452$
	$11$	$132$

Schritt 10.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$11$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$
		$121$	$1452$
	$11$	$132$	$1451$

Schritt 10.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(1451)$ mit dem Divisor $(11)$ und schreibe das Ergebnis von $(15961)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 44)$ .

$11$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$
		$121$	$1452$	$15961$
	$11$	$132$	$1451$

Schritt 10.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$11$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$
		$121$	$1452$	$15961$
	$11$	$132$	$1451$	$15917$

Schritt 10.9

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(15917)$ mit dem Divisor $(11)$ und schreibe das Ergebnis von $(175087)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 44)$ .

$11$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$
		$121$	$1452$	$15961$	$175087$
	$11$	$132$	$1451$	$15917$

Schritt 10.10

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$11$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$
		$121$	$1452$	$15961$	$175087$
	$11$	$132$	$1451$	$15917$	$175043$

Schritt 10.11

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$11 x^{3} + 132 x^{2} + (1451) x + 15917 + \frac{175043}{x - 11}$

Schritt 10.12

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$11 x^{3} + 132 x^{2} + 1451 x + 15917 + \frac{175043}{x - 11}$

Schritt 11

Da $11 > 0$ und alle Vorzeichen in der unteren Zeile der synthetischen Division positiv sind, ist $11$ eine obere Schranke für die reellen Wurzeln der Funktion.

Obere Schranke: $11$

Schritt 12

Wende die synthetische Division auf $\frac{11 x^{4} + 11 x^{3} - x^{2} - 44 x - 44}{x + 11}$ an mit $x = - 11$ .

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Schritt 12.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$- 11$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$

Schritt 12.2

Die erste Zahl im Dividenden $(11)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$- 11$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$

	$11$

Schritt 12.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(11)$ mit dem Divisor $(- 11)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 121)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(11)$ .

$- 11$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$
		$- 121$
	$11$

Schritt 12.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 11$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$
		$- 121$
	$11$	$- 110$

Schritt 12.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 110)$ mit dem Divisor $(- 11)$ und schreibe das Ergebnis von $(1210)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 1)$ .

$- 11$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$
		$- 121$	$1210$
	$11$	$- 110$

Schritt 12.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 11$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$
		$- 121$	$1210$
	$11$	$- 110$	$1209$

Schritt 12.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(1209)$ mit dem Divisor $(- 11)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 13299)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 44)$ .

$- 11$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$
		$- 121$	$1210$	$- 13299$
	$11$	$- 110$	$1209$

Schritt 12.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 11$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$
		$- 121$	$1210$	$- 13299$
	$11$	$- 110$	$1209$	$- 13343$

Schritt 12.9

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 13343)$ mit dem Divisor $(- 11)$ und schreibe das Ergebnis von $(146773)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 44)$ .

$- 11$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$
		$- 121$	$1210$	$- 13299$	$146773$
	$11$	$- 110$	$1209$	$- 13343$

Schritt 12.10

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 11$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$
		$- 121$	$1210$	$- 13299$	$146773$
	$11$	$- 110$	$1209$	$- 13343$	$146729$

Schritt 12.11

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$11 x^{3} + - 110 x^{2} + (1209) x - 13343 + \frac{146729}{x + 11}$

Schritt 12.12

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$11 x^{3} - 110 x^{2} + 1209 x - 13343 + \frac{146729}{x + 11}$

Schritt 13

Da $- 11 < 0$ und die Vorzeichen in der unteren Zeile der synthetischen Division alternieren, ist $- 11$ eine untere Schranke für die reellen Wurzeln der Funktion.

Untere Schranke: $- 11$

Schritt 14

Wende die synthetische Division auf $\frac{11 x^{4} + 11 x^{3} - x^{2} - 44 x - 44}{x - 22}$ an mit $x = 22$ .

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Schritt 14.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$22$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$

Schritt 14.2

Die erste Zahl im Dividenden $(11)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$22$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$

	$11$

Schritt 14.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(11)$ mit dem Divisor $(22)$ und schreibe das Ergebnis von $(242)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(11)$ .

$22$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$
		$242$
	$11$

Schritt 14.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$22$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$
		$242$
	$11$	$253$

Schritt 14.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(253)$ mit dem Divisor $(22)$ und schreibe das Ergebnis von $(5566)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 1)$ .

$22$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$
		$242$	$5566$
	$11$	$253$

Schritt 14.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$22$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$
		$242$	$5566$
	$11$	$253$	$5565$

Schritt 14.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(5565)$ mit dem Divisor $(22)$ und schreibe das Ergebnis von $(122430)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 44)$ .

$22$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$
		$242$	$5566$	$122430$
	$11$	$253$	$5565$

Schritt 14.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$22$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$
		$242$	$5566$	$122430$
	$11$	$253$	$5565$	$122386$

Schritt 14.9

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(122386)$ mit dem Divisor $(22)$ und schreibe das Ergebnis von $(2692492)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 44)$ .

$22$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$
		$242$	$5566$	$122430$	$2692492$
	$11$	$253$	$5565$	$122386$

Schritt 14.10

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$22$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$
		$242$	$5566$	$122430$	$2692492$
	$11$	$253$	$5565$	$122386$	$2692448$

Schritt 14.11

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$11 x^{3} + 253 x^{2} + (5565) x + 122386 + \frac{2692448}{x - 22}$

Schritt 14.12

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$11 x^{3} + 253 x^{2} + 5565 x + 122386 + \frac{2692448}{x - 22}$

Schritt 15

Da $22 > 0$ und alle Vorzeichen in der unteren Zeile der synthetischen Division positiv sind, ist $22$ eine obere Schranke für die reellen Wurzeln der Funktion.

Obere Schranke: $22$

Schritt 16

Wende die synthetische Division auf $\frac{11 x^{4} + 11 x^{3} - x^{2} - 44 x - 44}{x + 22}$ an mit $x = - 22$ .

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Schritt 16.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$- 22$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$

Schritt 16.2

Die erste Zahl im Dividenden $(11)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$- 22$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$

	$11$

Schritt 16.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(11)$ mit dem Divisor $(- 22)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 242)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(11)$ .

$- 22$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$
		$- 242$
	$11$

Schritt 16.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 22$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$
		$- 242$
	$11$	$- 231$

Schritt 16.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 231)$ mit dem Divisor $(- 22)$ und schreibe das Ergebnis von $(5082)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 1)$ .

$- 22$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$
		$- 242$	$5082$
	$11$	$- 231$

Schritt 16.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 22$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$
		$- 242$	$5082$
	$11$	$- 231$	$5081$

Schritt 16.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(5081)$ mit dem Divisor $(- 22)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 111782)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 44)$ .

$- 22$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$
		$- 242$	$5082$	$- 111782$
	$11$	$- 231$	$5081$

Schritt 16.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 22$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$
		$- 242$	$5082$	$- 111782$
	$11$	$- 231$	$5081$	$- 111826$

Schritt 16.9

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 111826)$ mit dem Divisor $(- 22)$ und schreibe das Ergebnis von $(2460172)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 44)$ .

$- 22$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$
		$- 242$	$5082$	$- 111782$	$2460172$
	$11$	$- 231$	$5081$	$- 111826$

Schritt 16.10

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 22$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$
		$- 242$	$5082$	$- 111782$	$2460172$
	$11$	$- 231$	$5081$	$- 111826$	$2460128$

Schritt 16.11

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$11 x^{3} + - 231 x^{2} + (5081) x - 111826 + \frac{2460128}{x + 22}$

Schritt 16.12

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$11 x^{3} - 231 x^{2} + 5081 x - 111826 + \frac{2460128}{x + 22}$

Schritt 17

Da $- 22 < 0$ und die Vorzeichen in der unteren Zeile der synthetischen Division alternieren, ist $- 22$ eine untere Schranke für die reellen Wurzeln der Funktion.

Untere Schranke: $- 22$

Schritt 18

Wende die synthetische Division auf $\frac{11 x^{4} + 11 x^{3} - x^{2} - 44 x - 44}{x - 44}$ an mit $x = 44$ .

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Schritt 18.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$44$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$

Schritt 18.2

Die erste Zahl im Dividenden $(11)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$44$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$

	$11$

Schritt 18.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(11)$ mit dem Divisor $(44)$ und schreibe das Ergebnis von $(484)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(11)$ .

$44$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$
		$484$
	$11$

Schritt 18.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$44$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$
		$484$
	$11$	$495$

Schritt 18.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(495)$ mit dem Divisor $(44)$ und schreibe das Ergebnis von $(21780)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 1)$ .

$44$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$
		$484$	$21780$
	$11$	$495$

Schritt 18.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$44$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$
		$484$	$21780$
	$11$	$495$	$21779$

Schritt 18.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(21779)$ mit dem Divisor $(44)$ und schreibe das Ergebnis von $(958276)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 44)$ .

$44$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$
		$484$	$21780$	$958276$
	$11$	$495$	$21779$

Schritt 18.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$44$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$
		$484$	$21780$	$958276$
	$11$	$495$	$21779$	$958232$

Schritt 18.9

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(958232)$ mit dem Divisor $(44)$ und schreibe das Ergebnis von $(42162208)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 44)$ .

$44$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$
		$484$	$21780$	$958276$	$42162208$
	$11$	$495$	$21779$	$958232$

Schritt 18.10

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$44$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$
		$484$	$21780$	$958276$	$42162208$
	$11$	$495$	$21779$	$958232$	$42162164$

Schritt 18.11

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$11 x^{3} + 495 x^{2} + (21779) x + 958232 + \frac{42162164}{x - 44}$

Schritt 18.12

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$11 x^{3} + 495 x^{2} + 21779 x + 958232 + \frac{42162164}{x - 44}$

Schritt 19

Da $44 > 0$ und alle Vorzeichen in der unteren Zeile der synthetischen Division positiv sind, ist $44$ eine obere Schranke für die reellen Wurzeln der Funktion.

Obere Schranke: $44$

Schritt 20

Wende die synthetische Division auf $\frac{11 x^{4} + 11 x^{3} - x^{2} - 44 x - 44}{x + 44}$ an mit $x = - 44$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 20.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$- 44$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$

Schritt 20.2

Die erste Zahl im Dividenden $(11)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$- 44$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$

	$11$

Schritt 20.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(11)$ mit dem Divisor $(- 44)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 484)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(11)$ .

$- 44$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$
		$- 484$
	$11$

Schritt 20.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 44$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$
		$- 484$
	$11$	$- 473$

Schritt 20.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 473)$ mit dem Divisor $(- 44)$ und schreibe das Ergebnis von $(20812)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 1)$ .

$- 44$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$
		$- 484$	$20812$
	$11$	$- 473$

Schritt 20.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 44$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$
		$- 484$	$20812$
	$11$	$- 473$	$20811$

Schritt 20.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(20811)$ mit dem Divisor $(- 44)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 915684)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 44)$ .

$- 44$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$
		$- 484$	$20812$	$- 915684$
	$11$	$- 473$	$20811$

Schritt 20.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 44$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$
		$- 484$	$20812$	$- 915684$
	$11$	$- 473$	$20811$	$- 915728$

Schritt 20.9

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 915728)$ mit dem Divisor $(- 44)$ und schreibe das Ergebnis von $(40292032)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 44)$ .

$- 44$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$
		$- 484$	$20812$	$- 915684$	$40292032$
	$11$	$- 473$	$20811$	$- 915728$

Schritt 20.10

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 44$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$
		$- 484$	$20812$	$- 915684$	$40292032$
	$11$	$- 473$	$20811$	$- 915728$	$40291988$

Schritt 20.11

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$11 x^{3} + - 473 x^{2} + (20811) x - 915728 + \frac{40291988}{x + 44}$

Schritt 20.12

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$11 x^{3} - 473 x^{2} + 20811 x - 915728 + \frac{40291988}{x + 44}$

Schritt 21

Da $- 44 < 0$ und die Vorzeichen in der unteren Zeile der synthetischen Division alternieren, ist $- 44$ eine untere Schranke für die reellen Wurzeln der Funktion.

Untere Schranke: $- 44$

Schritt 22

Bestimme die oberen und unteren Grenzen.

Obere Schranken: $2, 4, 11, 22, 44$

Untere Schranken: $- 2, - 4, - 11, - 22, - 44$

Schritt 23