Algebra Beispiele

$8 x^{3} - 10 x^{2} - 7 x - 1 = 0$

Schritt 1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1$

$q = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8$

Schritt 2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{4}, \pm \frac{1}{8}$

Schritt 3

Setze die möglichen Wurzeln eine nach der anderen in das Polynom ein, um die tatsächlichen Wurzeln zu ermitteln. Vereinfache, um zu prüfen, ob der Wert gleich $0$ ist, was bedeutet, dass er eine Wurzel ist.

$8 {(- \frac{1}{4})}^{3} - 10 {(- \frac{1}{4})}^{2} - 7 (- \frac{1}{4}) - 1$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $x = - \frac{1}{4}$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 4.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{1}{4}$ an.

$8 ({(- 1)}^{3} {(\frac{1}{4})}^{3}) - 10 {(- \frac{1}{4})}^{2} - 7 (- \frac{1}{4}) - 1$

Schritt 4.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{4}$ an.

$8 ({(- 1)}^{3} \frac{1^{3}}{4^{3}}) - 10 {(- \frac{1}{4})}^{2} - 7 (- \frac{1}{4}) - 1$

Schritt 4.1.2

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$8 (- \frac{1^{3}}{4^{3}}) - 10 {(- \frac{1}{4})}^{2} - 7 (- \frac{1}{4}) - 1$

Schritt 4.1.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$8 (- \frac{1}{4^{3}}) - 10 {(- \frac{1}{4})}^{2} - 7 (- \frac{1}{4}) - 1$

Schritt 4.1.4

Potenziere $4$ mit $3$ .

$8 (- \frac{1}{64}) - 10 {(- \frac{1}{4})}^{2} - 7 (- \frac{1}{4}) - 1$

Schritt 4.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 4.1.5.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{64}$ in den Zähler.

$8 (\frac{- 1}{64}) - 10 {(- \frac{1}{4})}^{2} - 7 (- \frac{1}{4}) - 1$

Schritt 4.1.5.2

Faktorisiere $8$ aus $64$ heraus.

$8 \frac{- 1}{8 (8)} - 10 {(- \frac{1}{4})}^{2} - 7 (- \frac{1}{4}) - 1$

Schritt 4.1.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$8 \frac{- 1}{8 \cdot 8} - 10 {(- \frac{1}{4})}^{2} - 7 (- \frac{1}{4}) - 1$

Schritt 4.1.5.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1}{8} - 10 {(- \frac{1}{4})}^{2} - 7 (- \frac{1}{4}) - 1$

Schritt 4.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{8} - 10 {(- \frac{1}{4})}^{2} - 7 (- \frac{1}{4}) - 1$

Schritt 4.1.7

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 4.1.7.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{1}{4}$ an.

$- \frac{1}{8} - 10 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{4})}^{2}) - 7 (- \frac{1}{4}) - 1$

Schritt 4.1.7.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{4}$ an.

$- \frac{1}{8} - 10 ({(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{4^{2}}) - 7 (- \frac{1}{4}) - 1$

Schritt 4.1.8

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$- \frac{1}{8} - 10 (1 \frac{1^{2}}{4^{2}}) - 7 (- \frac{1}{4}) - 1$

Schritt 4.1.9

Mutltipliziere $\frac{1^{2}}{4^{2}}$ mit $1$ .

$- \frac{1}{8} - 10 \frac{1^{2}}{4^{2}} - 7 (- \frac{1}{4}) - 1$

Schritt 4.1.10

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- \frac{1}{8} - 10 \frac{1}{4^{2}} - 7 (- \frac{1}{4}) - 1$

Schritt 4.1.11

Potenziere $4$ mit $2$ .

$- \frac{1}{8} - 10 (\frac{1}{16}) - 7 (- \frac{1}{4}) - 1$

Schritt 4.1.12

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.1.12.1

Faktorisiere $2$ aus $- 10$ heraus.

$- \frac{1}{8} + 2 (- 5) \frac{1}{16} - 7 (- \frac{1}{4}) - 1$

Schritt 4.1.12.2

Faktorisiere $2$ aus $16$ heraus.

$- \frac{1}{8} + 2 \cdot - 5 \frac{1}{2 \cdot 8} - 7 (- \frac{1}{4}) - 1$

Schritt 4.1.12.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{1}{8} + 2 \cdot - 5 \frac{1}{2 \cdot 8} - 7 (- \frac{1}{4}) - 1$

Schritt 4.1.12.4

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{1}{8} - 5 (\frac{1}{8}) - 7 (- \frac{1}{4}) - 1$

Schritt 4.1.13

Kombiniere $- 5$ und $\frac{1}{8}$ .

$- \frac{1}{8} + \frac{- 5}{8} - 7 (- \frac{1}{4}) - 1$

Schritt 4.1.14

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{8} - \frac{5}{8} - 7 (- \frac{1}{4}) - 1$

Schritt 4.1.15

Multipliziere $- 7 (- \frac{1}{4})$ .

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Schritt 4.1.15.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 7$ .

$- \frac{1}{8} - \frac{5}{8} + 7 (\frac{1}{4}) - 1$

Schritt 4.1.15.2

Kombiniere $7$ und $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{8} - \frac{5}{8} + \frac{7}{4} - 1$

Schritt 4.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- 1 + \frac{- 1 - 5}{8} + \frac{7}{4}$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere $5$ von $- 1$ .

$- 1 + \frac{- 6}{8} + \frac{7}{4}$

Schritt 4.3

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 4.3.1

Schreibe $- 1$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$\frac{- 1}{1} + \frac{- 6}{8} + \frac{7}{4}$

Schritt 4.3.2

Mutltipliziere $\frac{- 1}{1}$ mit $\frac{8}{8}$ .

$\frac{- 1}{1} \cdot \frac{8}{8} + \frac{- 6}{8} + \frac{7}{4}$

Schritt 4.3.3

Mutltipliziere $\frac{- 1}{1}$ mit $\frac{8}{8}$ .

$\frac{- 1 \cdot 8}{8} + \frac{- 6}{8} + \frac{7}{4}$

Schritt 4.3.4

Mutltipliziere $\frac{7}{4}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 1 \cdot 8}{8} + \frac{- 6}{8} + \frac{7}{4} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 4.3.5

Mutltipliziere $\frac{7}{4}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 1 \cdot 8}{8} + \frac{- 6}{8} + \frac{7 \cdot 2}{4 \cdot 2}$

Schritt 4.3.6

Stelle die Faktoren von $4 \cdot 2$ um.

$\frac{- 1 \cdot 8}{8} + \frac{- 6}{8} + \frac{7 \cdot 2}{2 \cdot 4}$

Schritt 4.3.7

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$\frac{- 1 \cdot 8}{8} + \frac{- 6}{8} + \frac{7 \cdot 2}{8}$

Schritt 4.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 1 \cdot 8 - 6 + 7 \cdot 2}{8}$

Schritt 4.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$\frac{- 8 - 6 + 7 \cdot 2}{8}$

Schritt 4.5.2

Mutltipliziere $7$ mit $2$ .

$\frac{- 8 - 6 + 14}{8}$

Schritt 4.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.6.1

Subtrahiere $6$ von $- 8$ .

$\frac{- 14 + 14}{8}$

Schritt 4.6.2

Addiere $- 14$ und $14$ .

$\frac{0}{8}$

Schritt 4.6.3

Dividiere $0$ durch $8$ .

$0$

Schritt 5

Da $- \frac{1}{4}$ eine bekannte Wurzel ist, teile das Polynom durch $x + \frac{1}{4}$ , um das Quotientenpolynom zu ermitteln. Dieses Polynom kann dann benutzt werden, um die verbleibenden Wurzeln zu finden.

$\frac{8 x^{3} - 10 x^{2} - 7 x - 1}{x + \frac{1}{4}}$

Schritt 6

Als Nächstes bestimme die Wurzeln des verbleibenden Polynoms. Der Grad des Polynoms ist um $1$ reduziert worden.

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Schritt 6.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$- \frac{1}{4}$	$8$	$- 10$	$- 7$	$- 1$

Schritt 6.2

Die erste Zahl im Dividenden $(8)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$- \frac{1}{4}$	$8$	$- 10$	$- 7$	$- 1$

	$8$

Schritt 6.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(8)$ mit dem Divisor $(- \frac{1}{4})$ und schreibe das Ergebnis von $(- 2)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 10)$ .

$- \frac{1}{4}$	$8$	$- 10$	$- 7$	$- 1$
		$- 2$
	$8$

Schritt 6.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- \frac{1}{4}$	$8$	$- 10$	$- 7$	$- 1$
		$- 2$
	$8$	$- 12$

Schritt 6.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 12)$ mit dem Divisor $(- \frac{1}{4})$ und schreibe das Ergebnis von $(3)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 7)$ .

$- \frac{1}{4}$	$8$	$- 10$	$- 7$	$- 1$
		$- 2$	$3$
	$8$	$- 12$

Schritt 6.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- \frac{1}{4}$	$8$	$- 10$	$- 7$	$- 1$
		$- 2$	$3$
	$8$	$- 12$	$- 4$

Schritt 6.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 4)$ mit dem Divisor $(- \frac{1}{4})$ und schreibe das Ergebnis von $(1)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 1)$ .

$- \frac{1}{4}$	$8$	$- 10$	$- 7$	$- 1$
		$- 2$	$3$	$1$
	$8$	$- 12$	$- 4$

Schritt 6.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- \frac{1}{4}$	$8$	$- 10$	$- 7$	$- 1$
		$- 2$	$3$	$1$
	$8$	$- 12$	$- 4$	$0$

Schritt 6.9

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$8 x^{2} + - 12 x - 4$

Schritt 6.10

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$8 x^{2} - 12 x - 4$

Schritt 7

Faktorisiere $4$ aus $8 x^{2} - 12 x - 4$ heraus.

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Schritt 7.1

Faktorisiere $4$ aus $8 x^{2}$ heraus.

$(x + \frac{1}{4}) (4 (2 x^{2}) - 12 x - 4)$

Schritt 7.2

Faktorisiere $4$ aus $- 12 x$ heraus.

$(x + \frac{1}{4}) (4 (2 x^{2}) + 4 (- 3 x) - 4)$

Schritt 7.3

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$(x + \frac{1}{4}) (4 (2 x^{2}) + 4 (- 3 x) + 4 (- 1))$

Schritt 7.4

Faktorisiere $4$ aus $4 (2 x^{2}) + 4 (- 3 x)$ heraus.

$(x + \frac{1}{4}) (4 (2 x^{2} - 3 x) + 4 (- 1))$

Schritt 7.5

Faktorisiere $4$ aus $4 (2 x^{2} - 3 x) + 4 (- 1)$ heraus.

$(x + \frac{1}{4}) (4 (2 x^{2} - 3 x - 1))$

Schritt 8

Faktorisiere $8 x^{3} - 10 x^{2} - 7 x - 1$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 8.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1$

$q = \pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

Schritt 8.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 0.125, \pm 0.5, \pm 0.25$

Schritt 8.3

Setze $- 0.25$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $- 0.25$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 8.3.1

Setze $- 0.25$ in das Polynom ein.

$8 {(- 0.25)}^{3} - 10 {(- 0.25)}^{2} - 7 \cdot - 0.25 - 1$

Schritt 8.3.2

Potenziere $- 0.25$ mit $3$ .

$8 \cdot - 0.015625 - 10 {(- 0.25)}^{2} - 7 \cdot - 0.25 - 1$

Schritt 8.3.3

Mutltipliziere $8$ mit $- 0.015625$ .

$- 0.125 - 10 {(- 0.25)}^{2} - 7 \cdot - 0.25 - 1$

Schritt 8.3.4

Potenziere $- 0.25$ mit $2$ .

$- 0.125 - 10 \cdot 0.0625 - 7 \cdot - 0.25 - 1$

Schritt 8.3.5

Mutltipliziere $- 10$ mit $0.0625$ .

$- 0.125 - 0.625 - 7 \cdot - 0.25 - 1$

Schritt 8.3.6

Subtrahiere $0.625$ von $- 0.125$ .

$- 0.75 - 7 \cdot - 0.25 - 1$

Schritt 8.3.7

Mutltipliziere $- 7$ mit $- 0.25$ .

$- 0.75 + 1.75 - 1$

Schritt 8.3.8

Addiere $- 0.75$ und $1.75$ .

$1 - 1$

Schritt 8.3.9

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$0$

Schritt 8.4

Da $- 0.25$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $4 x + 1$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{8 x^{3} - 10 x^{2} - 7 x - 1}{4 x + 1}$

Schritt 8.5

Dividiere $8 x^{3} - 10 x^{2} - 7 x - 1$ durch $4 x + 1$ .

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Schritt 8.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$4 x$

$1$

$8 x^{3}$

$10 x^{2}$

$7 x$

$1$

Schritt 8.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $8 x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $4 x$ .

					$2 x^{2}$
	$4 x$	+	$1$		$8 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	-	$7 x$	-	$1$

Schritt 8.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$2 x^{2}$
$4 x$	+	$1$		$8 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	-	$7 x$	-	$1$
			+	$8 x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Schritt 8.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $8 x^{3} + 2 x^{2}$

				$2 x^{2}$
$4 x$	+	$1$		$8 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	-	$7 x$	-	$1$
			-	$8 x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Schritt 8.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$2 x^{2}$
$4 x$	+	$1$		$8 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	-	$7 x$	-	$1$
			-	$8 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$

Schritt 8.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$2 x^{2}$
$4 x$	+	$1$		$8 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	-	$7 x$	-	$1$
			-	$8 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	-	$7 x$

Schritt 8.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 12 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $4 x$ .

				$2 x^{2}$	-	$3 x$
$4 x$	+	$1$		$8 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	-	$7 x$	-	$1$
			-	$8 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	-	$7 x$

Schritt 8.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$2 x^{2}$	-	$3 x$
$4 x$	+	$1$		$8 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	-	$7 x$	-	$1$
			-	$8 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	-	$7 x$
					-	$12 x^{2}$	-	$3 x$

Schritt 8.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 12 x^{2} - 3 x$

				$2 x^{2}$	-	$3 x$
$4 x$	+	$1$		$8 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	-	$7 x$	-	$1$
			-	$8 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	-	$7 x$
					+	$12 x^{2}$	+	$3 x$

Schritt 8.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$2 x^{2}$	-	$3 x$
$4 x$	+	$1$		$8 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	-	$7 x$	-	$1$
			-	$8 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	-	$7 x$
					+	$12 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$4 x$

Schritt 8.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$2 x^{2}$	-	$3 x$
$4 x$	+	$1$		$8 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	-	$7 x$	-	$1$
			-	$8 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	-	$7 x$
					+	$12 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$4 x$	-	$1$

Schritt 8.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 4 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $4 x$ .

				$2 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
$4 x$	+	$1$		$8 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	-	$7 x$	-	$1$
			-	$8 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	-	$7 x$
					+	$12 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$4 x$	-	$1$

Schritt 8.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$2 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
$4 x$	+	$1$		$8 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	-	$7 x$	-	$1$
			-	$8 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	-	$7 x$
					+	$12 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$4 x$	-	$1$
							-	$4 x$	-	$1$

Schritt 8.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 4 x - 1$

				$2 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
$4 x$	+	$1$		$8 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	-	$7 x$	-	$1$
			-	$8 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	-	$7 x$
					+	$12 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$4 x$	-	$1$
							+	$4 x$	+	$1$

Schritt 8.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$2 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
$4 x$	+	$1$		$8 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	-	$7 x$	-	$1$
			-	$8 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	-	$7 x$
					+	$12 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$4 x$	-	$1$
							+	$4 x$	+	$1$
										$0$

Schritt 8.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$2 x^{2} - 3 x - 1$

Schritt 8.6

Schreibe $8 x^{3} - 10 x^{2} - 7 x - 1$ als eine Menge von Faktoren.

$(4 x + 1) (2 x^{2} - 3 x - 1) = 0$

Schritt 9

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$4 x + 1 = 0$

$2 x^{2} - 3 x - 1 = 0$

Schritt 10

Setze $4 x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 10.1

Setze $4 x + 1$ gleich $0$ .

$4 x + 1 = 0$

Schritt 10.2

Löse $4 x + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 10.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 x = - 1$

Schritt 10.2.2

Teile jeden Ausdruck in $4 x = - 1$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 10.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x = - 1$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 1}{4}$

Schritt 10.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 10.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 10.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 1}{4}$

Schritt 10.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{4}$

Schritt 10.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 10.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1}{4}$

Schritt 11

Setze $2 x^{2} - 3 x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 11.1

Setze $2 x^{2} - 3 x - 1$ gleich $0$ .

$2 x^{2} - 3 x - 1 = 0$

Schritt 11.2

Löse $2 x^{2} - 3 x - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 11.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 11.2.2

Setze die Werte $a = 2$ , $b = - 3$ und $c = - 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot - 1)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 11.2.3

Vereinfache.

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Schritt 11.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.2.3.1.1

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Schritt 11.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 2 \cdot - 1$ .

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Schritt 11.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Schritt 11.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 8}}{2 \cdot 2}$

Schritt 11.2.3.1.3

Addiere $9$ und $8$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{2 \cdot 2}$

Schritt 11.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{4}$

Schritt 11.2.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 11.2.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.2.4.1.1

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Schritt 11.2.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 2 \cdot - 1$ .

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Schritt 11.2.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Schritt 11.2.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 8}}{2 \cdot 2}$

Schritt 11.2.4.1.3

Addiere $9$ und $8$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{2 \cdot 2}$

Schritt 11.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{4}$

Schritt 11.2.4.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{3 + \sqrt{17}}{4}$

Schritt 11.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 11.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.2.5.1.1

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Schritt 11.2.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 2 \cdot - 1$ .

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Schritt 11.2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Schritt 11.2.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 8}}{2 \cdot 2}$

Schritt 11.2.5.1.3

Addiere $9$ und $8$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{2 \cdot 2}$

Schritt 11.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{4}$

Schritt 11.2.5.3

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{3 - \sqrt{17}}{4}$

Schritt 11.2.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{3 + \sqrt{17}}{4}, \frac{3 - \sqrt{17}}{4}$

Schritt 12

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(4 x + 1) (2 x^{2} - 3 x - 1) = 0$ wahr machen.

$x = - \frac{1}{4}, \frac{3 + \sqrt{17}}{4}, \frac{3 - \sqrt{17}}{4}$

Schritt 13

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = - \frac{1}{4}, \frac{3 + \sqrt{17}}{4}, \frac{3 - \sqrt{17}}{4}$

Dezimalform:

$x = - 0.25, 1.78077640 \dots, - 0.28077640 \dots$

Schritt 14