Algebra Beispiele

$\frac{{(x - 3)}^{2}}{81} - \frac{{(y + 5)}^{2}}{16} = 1$

Schritt 1

Es gibt drei Arten von Symmetrie:

1. x-Achsensymmetrie

2. y-Achsensymmetrie

3. Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung

Schritt 2

Wenn $(x, y)$ auf dem Graphen liegt, dann ist der Graph symmetrisch zur/zum:

1. x-Achse, wenn $(x, - y)$ auf dem Graph existiert

1. y-Achse, wenn $(- x, y)$ auf dem Graph existiert

3. Ursprung, wenn $(- x, - y)$ auf dem Graph existiert

Schritt 3

Check if the graph is symmetric about the $x$ -axis by plugging in $- y$ for $y$ .

$\frac{{(x - 3)}^{2}}{81} - \frac{{(- y + 5)}^{2}}{16} = 1$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Um $\frac{{(x - 3)}^{2}}{81}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{16}{16}$ .

$\frac{{(x - 3)}^{2}}{81} \cdot \frac{16}{16} - \frac{{(- y + 5)}^{2}}{16} = 1$

Schritt 4.2

Um $- \frac{{(- y + 5)}^{2}}{16}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{81}{81}$ .

$\frac{{(x - 3)}^{2}}{81} \cdot \frac{16}{16} - \frac{{(- y + 5)}^{2}}{16} \cdot \frac{81}{81} = 1$

Schritt 4.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $1296$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.3.1

Mutltipliziere $\frac{{(x - 3)}^{2}}{81}$ mit $\frac{16}{16}$ .

$\frac{{(x - 3)}^{2} \cdot 16}{81 \cdot 16} - \frac{{(- y + 5)}^{2}}{16} \cdot \frac{81}{81} = 1$

Schritt 4.3.2

Mutltipliziere $81$ mit $16$ .

$\frac{{(x - 3)}^{2} \cdot 16}{1296} - \frac{{(- y + 5)}^{2}}{16} \cdot \frac{81}{81} = 1$

Schritt 4.3.3

Mutltipliziere $\frac{{(- y + 5)}^{2}}{16}$ mit $\frac{81}{81}$ .

$\frac{{(x - 3)}^{2} \cdot 16}{1296} - \frac{{(- y + 5)}^{2} \cdot 81}{16 \cdot 81} = 1$

Schritt 4.3.4

Mutltipliziere $16$ mit $81$ .

$\frac{{(x - 3)}^{2} \cdot 16}{1296} - \frac{{(- y + 5)}^{2} \cdot 81}{1296} = 1$

Schritt 4.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{{(x - 3)}^{2} \cdot 16 - {(- y + 5)}^{2} \cdot 81}{1296} = 1$

Schritt 4.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.5.1

Schreibe ${(x - 3)}^{2} \cdot 16$ als ${((x - 3) \cdot 4)}^{2}$ um.

$\frac{{((x - 3) \cdot 4)}^{2} - {(- y + 5)}^{2} \cdot 81}{1296} = 1$

Schritt 4.5.2

Schreibe ${(- y + 5)}^{2} \cdot 81$ als ${((- y + 5) \cdot 9)}^{2}$ um.

$\frac{{((x - 3) \cdot 4)}^{2} - {((- y + 5) \cdot 9)}^{2}}{1296} = 1$

Schritt 4.5.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = (x - 3) \cdot 4$ und $b = (- y + 5) \cdot 9$ .

$\frac{((x - 3) \cdot 4 + (- y + 5) \cdot 9) ((x - 3) \cdot 4 - ((- y + 5) \cdot 9))}{1296} = 1$

Schritt 4.5.4

Vereinfache.

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Schritt 4.5.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(x \cdot 4 - 3 \cdot 4 + (- y + 5) \cdot 9) ((x - 3) \cdot 4 - ((- y + 5) \cdot 9))}{1296} = 1$

Schritt 4.5.4.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{(4 \cdot x - 3 \cdot 4 + (- y + 5) \cdot 9) ((x - 3) \cdot 4 - ((- y + 5) \cdot 9))}{1296} = 1$

Schritt 4.5.4.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $4$ .

$\frac{(4 \cdot x - 12 + (- y + 5) \cdot 9) ((x - 3) \cdot 4 - ((- y + 5) \cdot 9))}{1296} = 1$

Schritt 4.5.4.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(4 x - 12 - y \cdot 9 + 5 \cdot 9) ((x - 3) \cdot 4 - ((- y + 5) \cdot 9))}{1296} = 1$

Schritt 4.5.4.5

Mutltipliziere $9$ mit $- 1$ .

$\frac{(4 x - 12 - 9 y + 5 \cdot 9) ((x - 3) \cdot 4 - ((- y + 5) \cdot 9))}{1296} = 1$

Schritt 4.5.4.6

Mutltipliziere $5$ mit $9$ .

$\frac{(4 x - 12 - 9 y + 45) ((x - 3) \cdot 4 - ((- y + 5) \cdot 9))}{1296} = 1$

Schritt 4.5.4.7

Addiere $- 12$ und $45$ .

$\frac{(4 x - 9 y + 33) ((x - 3) \cdot 4 - ((- y + 5) \cdot 9))}{1296} = 1$

Schritt 4.5.4.8

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(4 x - 9 y + 33) (x \cdot 4 - 3 \cdot 4 - ((- y + 5) \cdot 9))}{1296} = 1$

Schritt 4.5.4.9

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{(4 x - 9 y + 33) (4 \cdot x - 3 \cdot 4 - ((- y + 5) \cdot 9))}{1296} = 1$

Schritt 4.5.4.10

Mutltipliziere $- 3$ mit $4$ .

$\frac{(4 x - 9 y + 33) (4 \cdot x - 12 - ((- y + 5) \cdot 9))}{1296} = 1$

Schritt 4.5.4.11

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(4 x - 9 y + 33) (4 x - 12 - (- y \cdot 9 + 5 \cdot 9))}{1296} = 1$

Schritt 4.5.4.12

Mutltipliziere $9$ mit $- 1$ .

$\frac{(4 x - 9 y + 33) (4 x - 12 - (- 9 y + 5 \cdot 9))}{1296} = 1$

Schritt 4.5.4.13

Mutltipliziere $5$ mit $9$ .

$\frac{(4 x - 9 y + 33) (4 x - 12 - (- 9 y + 45))}{1296} = 1$

Schritt 4.5.4.14

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(4 x - 9 y + 33) (4 x - 12 - (- 9 y) - 1 \cdot 45)}{1296} = 1$

Schritt 4.5.4.15

Mutltipliziere $- 9$ mit $- 1$ .

$\frac{(4 x - 9 y + 33) (4 x - 12 + 9 y - 1 \cdot 45)}{1296} = 1$

Schritt 4.5.4.16

Mutltipliziere $- 1$ mit $45$ .

$\frac{(4 x - 9 y + 33) (4 x - 12 + 9 y - 45)}{1296} = 1$

Schritt 4.5.4.17

Subtrahiere $45$ von $- 12$ .

$\frac{(4 x - 9 y + 33) (4 x + 9 y - 57)}{1296} = 1$

Schritt 5

Da die Gleichung mit der ursprünglichen Gleichung nicht identisch ist, ist sie nicht symmetrisch zur x-Achse.

Nicht symmetrisch zur x-Achse

Schritt 6

Check if the graph is symmetric about the $y$ -axis by plugging in $- x$ for $x$ .

$\frac{{(- x - 3)}^{2}}{81} - \frac{{(y + 5)}^{2}}{16} = 1$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Um $\frac{{(- x - 3)}^{2}}{81}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{16}{16}$ .

$\frac{{(- x - 3)}^{2}}{81} \cdot \frac{16}{16} - \frac{{(y + 5)}^{2}}{16} = 1$

Schritt 7.2

Um $- \frac{{(y + 5)}^{2}}{16}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{81}{81}$ .

$\frac{{(- x - 3)}^{2}}{81} \cdot \frac{16}{16} - \frac{{(y + 5)}^{2}}{16} \cdot \frac{81}{81} = 1$

Schritt 7.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $1296$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 7.3.1

Mutltipliziere $\frac{{(- x - 3)}^{2}}{81}$ mit $\frac{16}{16}$ .

$\frac{{(- x - 3)}^{2} \cdot 16}{81 \cdot 16} - \frac{{(y + 5)}^{2}}{16} \cdot \frac{81}{81} = 1$

Schritt 7.3.2

Mutltipliziere $81$ mit $16$ .

$\frac{{(- x - 3)}^{2} \cdot 16}{1296} - \frac{{(y + 5)}^{2}}{16} \cdot \frac{81}{81} = 1$

Schritt 7.3.3

Mutltipliziere $\frac{{(y + 5)}^{2}}{16}$ mit $\frac{81}{81}$ .

$\frac{{(- x - 3)}^{2} \cdot 16}{1296} - \frac{{(y + 5)}^{2} \cdot 81}{16 \cdot 81} = 1$

Schritt 7.3.4

Mutltipliziere $16$ mit $81$ .

$\frac{{(- x - 3)}^{2} \cdot 16}{1296} - \frac{{(y + 5)}^{2} \cdot 81}{1296} = 1$

Schritt 7.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{{(- x - 3)}^{2} \cdot 16 - {(y + 5)}^{2} \cdot 81}{1296} = 1$

Schritt 7.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.5.1

Schreibe ${(- x - 3)}^{2} \cdot 16$ als ${((- x - 3) \cdot 4)}^{2}$ um.

$\frac{{((- x - 3) \cdot 4)}^{2} - {(y + 5)}^{2} \cdot 81}{1296} = 1$

Schritt 7.5.2

Schreibe ${(y + 5)}^{2} \cdot 81$ als ${((y + 5) \cdot 9)}^{2}$ um.

$\frac{{((- x - 3) \cdot 4)}^{2} - {((y + 5) \cdot 9)}^{2}}{1296} = 1$

Schritt 7.5.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = (- x - 3) \cdot 4$ und $b = (y + 5) \cdot 9$ .

$\frac{((- x - 3) \cdot 4 + (y + 5) \cdot 9) ((- x - 3) \cdot 4 - ((y + 5) \cdot 9))}{1296} = 1$

Schritt 7.5.4

Vereinfache.

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Schritt 7.5.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(- x \cdot 4 - 3 \cdot 4 + (y + 5) \cdot 9) ((- x - 3) \cdot 4 - ((y + 5) \cdot 9))}{1296} = 1$

Schritt 7.5.4.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\frac{(- 4 x - 3 \cdot 4 + (y + 5) \cdot 9) ((- x - 3) \cdot 4 - ((y + 5) \cdot 9))}{1296} = 1$

Schritt 7.5.4.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $4$ .

$\frac{(- 4 x - 12 + (y + 5) \cdot 9) ((- x - 3) \cdot 4 - ((y + 5) \cdot 9))}{1296} = 1$

Schritt 7.5.4.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(- 4 x - 12 + y \cdot 9 + 5 \cdot 9) ((- x - 3) \cdot 4 - ((y + 5) \cdot 9))}{1296} = 1$

Schritt 7.5.4.5

Bringe $9$ auf die linke Seite von $y$ .

$\frac{(- 4 x - 12 + 9 \cdot y + 5 \cdot 9) ((- x - 3) \cdot 4 - ((y + 5) \cdot 9))}{1296} = 1$

Schritt 7.5.4.6

Mutltipliziere $5$ mit $9$ .

$\frac{(- 4 x - 12 + 9 \cdot y + 45) ((- x - 3) \cdot 4 - ((y + 5) \cdot 9))}{1296} = 1$

Schritt 7.5.4.7

Addiere $- 12$ und $45$ .

$\frac{(- 4 x + 9 y + 33) ((- x - 3) \cdot 4 - ((y + 5) \cdot 9))}{1296} = 1$

Schritt 7.5.4.8

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(- 4 x + 9 y + 33) (- x \cdot 4 - 3 \cdot 4 - ((y + 5) \cdot 9))}{1296} = 1$

Schritt 7.5.4.9

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\frac{(- 4 x + 9 y + 33) (- 4 x - 3 \cdot 4 - ((y + 5) \cdot 9))}{1296} = 1$

Schritt 7.5.4.10

Mutltipliziere $- 3$ mit $4$ .

$\frac{(- 4 x + 9 y + 33) (- 4 x - 12 - ((y + 5) \cdot 9))}{1296} = 1$

Schritt 7.5.4.11

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(- 4 x + 9 y + 33) (- 4 x - 12 - (y \cdot 9 + 5 \cdot 9))}{1296} = 1$

Schritt 7.5.4.12

Bringe $9$ auf die linke Seite von $y$ .

$\frac{(- 4 x + 9 y + 33) (- 4 x - 12 - (9 \cdot y + 5 \cdot 9))}{1296} = 1$

Schritt 7.5.4.13

Mutltipliziere $5$ mit $9$ .

$\frac{(- 4 x + 9 y + 33) (- 4 x - 12 - (9 \cdot y + 45))}{1296} = 1$

Schritt 7.5.4.14

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(- 4 x + 9 y + 33) (- 4 x - 12 - (9 y) - 1 \cdot 45)}{1296} = 1$

Schritt 7.5.4.15

Mutltipliziere $9$ mit $- 1$ .

$\frac{(- 4 x + 9 y + 33) (- 4 x - 12 - 9 y - 1 \cdot 45)}{1296} = 1$

Schritt 7.5.4.16

Mutltipliziere $- 1$ mit $45$ .

$\frac{(- 4 x + 9 y + 33) (- 4 x - 12 - 9 y - 45)}{1296} = 1$

Schritt 7.5.4.17

Subtrahiere $45$ von $- 12$ .

$\frac{(- 4 x + 9 y + 33) (- 4 x - 9 y - 57)}{1296} = 1$

Schritt 8

Da die Gleichung mit der ursprünglichen Gleichung nicht identisch ist, ist sie nicht symmetrisch zur y-Achse.

Nicht symmetrisch zur y-Achse

Schritt 9

Prüfe, ob der Graph symmetrisch zum Ursprung ist durch Einsetzen von $- x$ für $x$ und $- y$ für $y$ .

$\frac{{(- x - 3)}^{2}}{81} - \frac{{(- y + 5)}^{2}}{16} = 1$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Um $\frac{{(- x - 3)}^{2}}{81}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{16}{16}$ .

$\frac{{(- x - 3)}^{2}}{81} \cdot \frac{16}{16} - \frac{{(- y + 5)}^{2}}{16} = 1$

Schritt 10.2

Um $- \frac{{(- y + 5)}^{2}}{16}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{81}{81}$ .

$\frac{{(- x - 3)}^{2}}{81} \cdot \frac{16}{16} - \frac{{(- y + 5)}^{2}}{16} \cdot \frac{81}{81} = 1$

Schritt 10.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $1296$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 10.3.1

Mutltipliziere $\frac{{(- x - 3)}^{2}}{81}$ mit $\frac{16}{16}$ .

$\frac{{(- x - 3)}^{2} \cdot 16}{81 \cdot 16} - \frac{{(- y + 5)}^{2}}{16} \cdot \frac{81}{81} = 1$

Schritt 10.3.2

Mutltipliziere $81$ mit $16$ .

$\frac{{(- x - 3)}^{2} \cdot 16}{1296} - \frac{{(- y + 5)}^{2}}{16} \cdot \frac{81}{81} = 1$

Schritt 10.3.3

Mutltipliziere $\frac{{(- y + 5)}^{2}}{16}$ mit $\frac{81}{81}$ .

$\frac{{(- x - 3)}^{2} \cdot 16}{1296} - \frac{{(- y + 5)}^{2} \cdot 81}{16 \cdot 81} = 1$

Schritt 10.3.4

Mutltipliziere $16$ mit $81$ .

$\frac{{(- x - 3)}^{2} \cdot 16}{1296} - \frac{{(- y + 5)}^{2} \cdot 81}{1296} = 1$

Schritt 10.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{{(- x - 3)}^{2} \cdot 16 - {(- y + 5)}^{2} \cdot 81}{1296} = 1$

Schritt 10.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.5.1

Schreibe ${(- x - 3)}^{2} \cdot 16$ als ${((- x - 3) \cdot 4)}^{2}$ um.

$\frac{{((- x - 3) \cdot 4)}^{2} - {(- y + 5)}^{2} \cdot 81}{1296} = 1$

Schritt 10.5.2

Schreibe ${(- y + 5)}^{2} \cdot 81$ als ${((- y + 5) \cdot 9)}^{2}$ um.

$\frac{{((- x - 3) \cdot 4)}^{2} - {((- y + 5) \cdot 9)}^{2}}{1296} = 1$

Schritt 10.5.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = (- x - 3) \cdot 4$ und $b = (- y + 5) \cdot 9$ .

$\frac{((- x - 3) \cdot 4 + (- y + 5) \cdot 9) ((- x - 3) \cdot 4 - ((- y + 5) \cdot 9))}{1296} = 1$

Schritt 10.5.4

Vereinfache.

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Schritt 10.5.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(- x \cdot 4 - 3 \cdot 4 + (- y + 5) \cdot 9) ((- x - 3) \cdot 4 - ((- y + 5) \cdot 9))}{1296} = 1$

Schritt 10.5.4.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\frac{(- 4 x - 3 \cdot 4 + (- y + 5) \cdot 9) ((- x - 3) \cdot 4 - ((- y + 5) \cdot 9))}{1296} = 1$

Schritt 10.5.4.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $4$ .

$\frac{(- 4 x - 12 + (- y + 5) \cdot 9) ((- x - 3) \cdot 4 - ((- y + 5) \cdot 9))}{1296} = 1$

Schritt 10.5.4.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(- 4 x - 12 - y \cdot 9 + 5 \cdot 9) ((- x - 3) \cdot 4 - ((- y + 5) \cdot 9))}{1296} = 1$

Schritt 10.5.4.5

Mutltipliziere $9$ mit $- 1$ .

$\frac{(- 4 x - 12 - 9 y + 5 \cdot 9) ((- x - 3) \cdot 4 - ((- y + 5) \cdot 9))}{1296} = 1$

Schritt 10.5.4.6

Mutltipliziere $5$ mit $9$ .

$\frac{(- 4 x - 12 - 9 y + 45) ((- x - 3) \cdot 4 - ((- y + 5) \cdot 9))}{1296} = 1$

Schritt 10.5.4.7

Addiere $- 12$ und $45$ .

$\frac{(- 4 x - 9 y + 33) ((- x - 3) \cdot 4 - ((- y + 5) \cdot 9))}{1296} = 1$

Schritt 10.5.4.8

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(- 4 x - 9 y + 33) (- x \cdot 4 - 3 \cdot 4 - ((- y + 5) \cdot 9))}{1296} = 1$

Schritt 10.5.4.9

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\frac{(- 4 x - 9 y + 33) (- 4 x - 3 \cdot 4 - ((- y + 5) \cdot 9))}{1296} = 1$

Schritt 10.5.4.10

Mutltipliziere $- 3$ mit $4$ .

$\frac{(- 4 x - 9 y + 33) (- 4 x - 12 - ((- y + 5) \cdot 9))}{1296} = 1$

Schritt 10.5.4.11

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(- 4 x - 9 y + 33) (- 4 x - 12 - (- y \cdot 9 + 5 \cdot 9))}{1296} = 1$

Schritt 10.5.4.12

Mutltipliziere $9$ mit $- 1$ .

$\frac{(- 4 x - 9 y + 33) (- 4 x - 12 - (- 9 y + 5 \cdot 9))}{1296} = 1$

Schritt 10.5.4.13

Mutltipliziere $5$ mit $9$ .

$\frac{(- 4 x - 9 y + 33) (- 4 x - 12 - (- 9 y + 45))}{1296} = 1$

Schritt 10.5.4.14

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(- 4 x - 9 y + 33) (- 4 x - 12 - (- 9 y) - 1 \cdot 45)}{1296} = 1$

Schritt 10.5.4.15

Mutltipliziere $- 9$ mit $- 1$ .

$\frac{(- 4 x - 9 y + 33) (- 4 x - 12 + 9 y - 1 \cdot 45)}{1296} = 1$

Schritt 10.5.4.16

Mutltipliziere $- 1$ mit $45$ .

$\frac{(- 4 x - 9 y + 33) (- 4 x - 12 + 9 y - 45)}{1296} = 1$

Schritt 10.5.4.17

Subtrahiere $45$ von $- 12$ .

$\frac{(- 4 x - 9 y + 33) (- 4 x + 9 y - 57)}{1296} = 1$

Schritt 11

Da die Gleichung mit der ursprünglichen Gleichung nicht identisch ist, ist sie nicht punktsymmetrisch zum Ursprung.

Nicht symmetrisch zum Ursprung

Schritt 12

Bestimme die Symmetrie.

Nicht symmetrisch zur x-Achse

Nicht symmetrisch zur y-Achse

Nicht symmetrisch zum Ursprung

Schritt 13