Algebra Beispiele

$f (x) = 7 x^{3} - x^{2} - 343 x + 49$

Schritt 1

Setze $7 x^{3} - x^{2} - 343 x + 49$ gleich $0$ .

$7 x^{3} - x^{2} - 343 x + 49 = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1.1

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.1.1.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(7 x^{3} - x^{2}) - 343 x + 49 = 0$

Schritt 2.1.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$x^{2} (7 x - 1) - 49 (7 x - 1) = 0$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $7 x - 1$ .

$(7 x - 1) (x^{2} - 49) = 0$

Schritt 2.1.3

Schreibe $49$ als $7^{2}$ um.

$(7 x - 1) (x^{2} - 7^{2}) = 0$

Schritt 2.1.4

Faktorisiere.

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Schritt 2.1.4.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 7$ .

$(7 x - 1) ((x + 7) (x - 7)) = 0$

Schritt 2.1.4.2

Entferne unnötige Klammern.

$(7 x - 1) (x + 7) (x - 7) = 0$

Schritt 2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$7 x - 1 = 0$

$x + 7 = 0$

$x - 7 = 0$

Schritt 2.3

Setze $7 x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Setze $7 x - 1$ gleich $0$ .

$7 x - 1 = 0$

Schritt 2.3.2

Löse $7 x - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$7 x = 1$

Schritt 2.3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $7 x = 1$ durch $7$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $7 x = 1$ durch $7$ .

$\frac{7 x}{7} = \frac{1}{7}$

Schritt 2.3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 2.3.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{7 x}{7} = \frac{1}{7}$

Schritt 2.3.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{1}{7}$

Schritt 2.4

Setze $x + 7$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $x + 7$ gleich $0$ .

$x + 7 = 0$

Schritt 2.4.2

Subtrahiere $7$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 7$

Schritt 2.5

Setze $x - 7$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $x - 7$ gleich $0$ .

$x - 7 = 0$

Schritt 2.5.2

Addiere $7$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 7$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(7 x - 1) (x + 7) (x - 7) = 0$ wahr machen. Die Multiplizität einer Wurzel gibt an, wie oft die Wurzel auftritt.

$x = \frac{1}{7}$ (Vielfachheit von $1$ )

$x = - 7$ (Vielfachheit von $1$ )

$x = 7$ (Vielfachheit von $1$ )

$x = \frac{1}{7}$ (Vielfachheit von $1$ )

$x = - 7$ (Vielfachheit von $1$ )

$x = 7$ (Vielfachheit von $1$ )

Schritt 3