Algebra Beispiele

$2 x^{3} - 23 x^{2} + 58 x + 35$

Schritt 1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 5, \pm 7, \pm 35$

$q = \pm 1, \pm 2$

Schritt 2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm 5, \pm \frac{5}{2}, \pm 7, \pm \frac{7}{2}, \pm 35, \pm \frac{35}{2}$

Schritt 3

Setze die möglichen Wurzeln eine nach der anderen in das Polynom ein, um die tatsächlichen Wurzeln zu ermitteln. Vereinfache, um zu prüfen, ob der Wert gleich $0$ ist, was bedeutet, dass er eine Wurzel ist.

$2 {(- \frac{1}{2})}^{3} - 23 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 58 (- \frac{1}{2}) + 35$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $x = - \frac{1}{2}$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 4.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{1}{2}$ an.

$2 ({(- 1)}^{3} {(\frac{1}{2})}^{3}) - 23 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 58 (- \frac{1}{2}) + 35$

Schritt 4.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$2 ({(- 1)}^{3} \frac{1^{3}}{2^{3}}) - 23 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 58 (- \frac{1}{2}) + 35$

Schritt 4.1.2

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$2 (- \frac{1^{3}}{2^{3}}) - 23 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 58 (- \frac{1}{2}) + 35$

Schritt 4.1.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$2 (- \frac{1}{2^{3}}) - 23 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 58 (- \frac{1}{2}) + 35$

Schritt 4.1.4

Potenziere $2$ mit $3$ .

$2 (- \frac{1}{8}) - 23 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 58 (- \frac{1}{2}) + 35$

Schritt 4.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.1.5.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{8}$ in den Zähler.

$2 (\frac{- 1}{8}) - 23 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 58 (- \frac{1}{2}) + 35$

Schritt 4.1.5.2

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$2 \frac{- 1}{2 (4)} - 23 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 58 (- \frac{1}{2}) + 35$

Schritt 4.1.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{- 1}{2 \cdot 4} - 23 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 58 (- \frac{1}{2}) + 35$

Schritt 4.1.5.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1}{4} - 23 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 58 (- \frac{1}{2}) + 35$

Schritt 4.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{4} - 23 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 58 (- \frac{1}{2}) + 35$

Schritt 4.1.7

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 4.1.7.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{1}{2}$ an.

$- \frac{1}{4} - 23 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}) + 58 (- \frac{1}{2}) + 35$

Schritt 4.1.7.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$- \frac{1}{4} - 23 ({(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{2^{2}}) + 58 (- \frac{1}{2}) + 35$

Schritt 4.1.8

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$- \frac{1}{4} - 23 (1 \frac{1^{2}}{2^{2}}) + 58 (- \frac{1}{2}) + 35$

Schritt 4.1.9

Mutltipliziere $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ mit $1$ .

$- \frac{1}{4} - 23 \frac{1^{2}}{2^{2}} + 58 (- \frac{1}{2}) + 35$

Schritt 4.1.10

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- \frac{1}{4} - 23 \frac{1}{2^{2}} + 58 (- \frac{1}{2}) + 35$

Schritt 4.1.11

Potenziere $2$ mit $2$ .

$- \frac{1}{4} - 23 (\frac{1}{4}) + 58 (- \frac{1}{2}) + 35$

Schritt 4.1.12

Kombiniere $- 23$ und $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{4} + \frac{- 23}{4} + 58 (- \frac{1}{2}) + 35$

Schritt 4.1.13

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{4} - \frac{23}{4} + 58 (- \frac{1}{2}) + 35$

Schritt 4.1.14

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.1.14.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{2}$ in den Zähler.

$- \frac{1}{4} - \frac{23}{4} + 58 (\frac{- 1}{2}) + 35$

Schritt 4.1.14.2

Faktorisiere $2$ aus $58$ heraus.

$- \frac{1}{4} - \frac{23}{4} + 2 (29) \frac{- 1}{2} + 35$

Schritt 4.1.14.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{1}{4} - \frac{23}{4} + 2 \cdot 29 \frac{- 1}{2} + 35$

Schritt 4.1.14.4

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{1}{4} - \frac{23}{4} + 29 \cdot - 1 + 35$

Schritt 4.1.15

Mutltipliziere $29$ mit $- 1$ .

$- \frac{1}{4} - \frac{23}{4} - 29 + 35$

Schritt 4.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- 29 + 35 + \frac{- 1 - 23}{4}$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere $23$ von $- 1$ .

$- 29 + 35 + \frac{- 24}{4}$

Schritt 4.3

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 4.3.1

Schreibe $- 29$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$\frac{- 29}{1} + 35 + \frac{- 24}{4}$

Schritt 4.3.2

Mutltipliziere $\frac{- 29}{1}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{- 29}{1} \cdot \frac{4}{4} + 35 + \frac{- 24}{4}$

Schritt 4.3.3

Mutltipliziere $\frac{- 29}{1}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{- 29 \cdot 4}{4} + 35 + \frac{- 24}{4}$

Schritt 4.3.4

Schreibe $35$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$\frac{- 29 \cdot 4}{4} + \frac{35}{1} + \frac{- 24}{4}$

Schritt 4.3.5

Mutltipliziere $\frac{35}{1}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{- 29 \cdot 4}{4} + \frac{35}{1} \cdot \frac{4}{4} + \frac{- 24}{4}$

Schritt 4.3.6

Mutltipliziere $\frac{35}{1}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{- 29 \cdot 4}{4} + \frac{35 \cdot 4}{4} + \frac{- 24}{4}$

Schritt 4.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 29 \cdot 4 + 35 \cdot 4 - 24}{4}$

Schritt 4.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.5.1

Mutltipliziere $- 29$ mit $4$ .

$\frac{- 116 + 35 \cdot 4 - 24}{4}$

Schritt 4.5.2

Mutltipliziere $35$ mit $4$ .

$\frac{- 116 + 140 - 24}{4}$

Schritt 4.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.6.1

Addiere $- 116$ und $140$ .

$\frac{24 - 24}{4}$

Schritt 4.6.2

Subtrahiere $24$ von $24$ .

$\frac{0}{4}$

Schritt 4.6.3

Dividiere $0$ durch $4$ .

$0$

Schritt 5

Da $- \frac{1}{2}$ eine bekannte Wurzel ist, teile das Polynom durch $x + \frac{1}{2}$ , um das Quotientenpolynom zu ermitteln. Dieses Polynom kann dann benutzt werden, um die verbleibenden Wurzeln zu finden.

$\frac{2 x^{3} - 23 x^{2} + 58 x + 35}{x + \frac{1}{2}}$

Schritt 6

Als Nächstes bestimme die Wurzeln des verbleibenden Polynoms. Der Grad des Polynoms ist um $1$ reduziert worden.

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Schritt 6.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$- \frac{1}{2}$	$2$	$- 23$	$58$	$35$

Schritt 6.2

Die erste Zahl im Dividenden $(2)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$- \frac{1}{2}$	$2$	$- 23$	$58$	$35$

	$2$

Schritt 6.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(2)$ mit dem Divisor $(- \frac{1}{2})$ und schreibe das Ergebnis von $(- 1)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 23)$ .

$- \frac{1}{2}$	$2$	$- 23$	$58$	$35$
		$- 1$
	$2$

Schritt 6.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- \frac{1}{2}$	$2$	$- 23$	$58$	$35$
		$- 1$
	$2$	$- 24$

Schritt 6.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 24)$ mit dem Divisor $(- \frac{1}{2})$ und schreibe das Ergebnis von $(12)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(58)$ .

$- \frac{1}{2}$	$2$	$- 23$	$58$	$35$
		$- 1$	$12$
	$2$	$- 24$

Schritt 6.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- \frac{1}{2}$	$2$	$- 23$	$58$	$35$
		$- 1$	$12$
	$2$	$- 24$	$70$

Schritt 6.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(70)$ mit dem Divisor $(- \frac{1}{2})$ und schreibe das Ergebnis von $(- 35)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(35)$ .

$- \frac{1}{2}$	$2$	$- 23$	$58$	$35$
		$- 1$	$12$	$- 35$
	$2$	$- 24$	$70$

Schritt 6.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- \frac{1}{2}$	$2$	$- 23$	$58$	$35$
		$- 1$	$12$	$- 35$
	$2$	$- 24$	$70$	$0$

Schritt 6.9

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$2 x^{2} + - 24 x + 70$

Schritt 6.10

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$2 x^{2} - 24 x + 70$

Schritt 7

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2} - 24 x + 70$ heraus.

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Schritt 7.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2}$ heraus.

$(x + \frac{1}{2}) (2 (x^{2}) - 24 x + 70)$

Schritt 7.2

Faktorisiere $2$ aus $- 24 x$ heraus.

$(x + \frac{1}{2}) (2 (x^{2}) + 2 (- 12 x) + 70)$

Schritt 7.3

Faktorisiere $2$ aus $70$ heraus.

$(x + \frac{1}{2}) (2 x^{2} + 2 (- 12 x) + 2 \cdot 35)$

Schritt 7.4

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2} + 2 (- 12 x)$ heraus.

$(x + \frac{1}{2}) (2 (x^{2} - 12 x) + 2 \cdot 35)$

Schritt 7.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (x^{2} - 12 x) + 2 \cdot 35$ heraus.

$(x + \frac{1}{2}) (2 (x^{2} - 12 x + 35))$

Schritt 8

Faktorisiere.

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Schritt 8.1

Faktorisiere $x^{2} - 12 x + 35$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 8.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $35$ und deren Summe $- 12$ ist.

$- 7, - 5$

Schritt 8.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x + \frac{1}{2}) (2 ((x - 7) (x - 5)))$

Schritt 8.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x + \frac{1}{2}) (2 (x - 7) (x - 5))$

Schritt 9

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 9.1

Faktorisiere $2 x^{3} - 23 x^{2} + 58 x + 35$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 9.1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 35, \pm 5, \pm 7$

$q = \pm 1, \pm 2$

Schritt 9.1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 35, \pm 17.5, \pm 5, \pm 2.5, \pm 7, \pm 3.5$

Schritt 9.1.3

Setze $- 0.5$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $- 0.5$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 9.1.3.1

Setze $- 0.5$ in das Polynom ein.

$2 {(- 0.5)}^{3} - 23 {(- 0.5)}^{2} + 58 \cdot - 0.5 + 35$

Schritt 9.1.3.2

Potenziere $- 0.5$ mit $3$ .

$2 \cdot - 0.125 - 23 {(- 0.5)}^{2} + 58 \cdot - 0.5 + 35$

Schritt 9.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 0.125$ .

$- 0.25 - 23 {(- 0.5)}^{2} + 58 \cdot - 0.5 + 35$

Schritt 9.1.3.4

Potenziere $- 0.5$ mit $2$ .

$- 0.25 - 23 \cdot 0.25 + 58 \cdot - 0.5 + 35$

Schritt 9.1.3.5

Mutltipliziere $- 23$ mit $0.25$ .

$- 0.25 - 5.75 + 58 \cdot - 0.5 + 35$

Schritt 9.1.3.6

Subtrahiere $5.75$ von $- 0.25$ .

$- 6 + 58 \cdot - 0.5 + 35$

Schritt 9.1.3.7

Mutltipliziere $58$ mit $- 0.5$ .

$- 6 - 29 + 35$

Schritt 9.1.3.8

Subtrahiere $29$ von $- 6$ .

$- 35 + 35$

Schritt 9.1.3.9

Addiere $- 35$ und $35$ .

$0$

Schritt 9.1.4

Da $- 0.5$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $2 x + 1$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{2 x^{3} - 23 x^{2} + 58 x + 35}{2 x + 1}$

Schritt 9.1.5

Dividiere $2 x^{3} - 23 x^{2} + 58 x + 35$ durch $2 x + 1$ .

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Schritt 9.1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$2 x$

$1$

$2 x^{3}$

$23 x^{2}$

$58 x$

$35$

Schritt 9.1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $2 x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $2 x$ .

					$x^{2}$
	$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$23 x^{2}$	+	$58 x$	+	$35$

Schritt 9.1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$23 x^{2}$	+	$58 x$	+	$35$
			+	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$

Schritt 9.1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $2 x^{3} + x^{2}$

				$x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$23 x^{2}$	+	$58 x$	+	$35$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$

Schritt 9.1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$23 x^{2}$	+	$58 x$	+	$35$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$24 x^{2}$

Schritt 9.1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$23 x^{2}$	+	$58 x$	+	$35$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	+	$58 x$

Schritt 9.1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 24 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $2 x$ .

				$x^{2}$	-	$12 x$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$23 x^{2}$	+	$58 x$	+	$35$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	+	$58 x$

Schritt 9.1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	-	$12 x$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$23 x^{2}$	+	$58 x$	+	$35$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	+	$58 x$
					-	$24 x^{2}$	-	$12 x$

Schritt 9.1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 24 x^{2} - 12 x$

				$x^{2}$	-	$12 x$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$23 x^{2}$	+	$58 x$	+	$35$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	+	$58 x$
					+	$24 x^{2}$	+	$12 x$

Schritt 9.1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	-	$12 x$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$23 x^{2}$	+	$58 x$	+	$35$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	+	$58 x$
					+	$24 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$70 x$

Schritt 9.1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$	-	$12 x$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$23 x^{2}$	+	$58 x$	+	$35$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	+	$58 x$
					+	$24 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$70 x$	+	$35$

Schritt 9.1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $70 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $2 x$ .

				$x^{2}$	-	$12 x$	+	$35$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$23 x^{2}$	+	$58 x$	+	$35$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	+	$58 x$
					+	$24 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$70 x$	+	$35$

Schritt 9.1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	-	$12 x$	+	$35$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$23 x^{2}$	+	$58 x$	+	$35$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	+	$58 x$
					+	$24 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$70 x$	+	$35$
							+	$70 x$	+	$35$

Schritt 9.1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $70 x + 35$

				$x^{2}$	-	$12 x$	+	$35$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$23 x^{2}$	+	$58 x$	+	$35$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	+	$58 x$
					+	$24 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$70 x$	+	$35$
							-	$70 x$	-	$35$

Schritt 9.1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	-	$12 x$	+	$35$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$23 x^{2}$	+	$58 x$	+	$35$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	+	$58 x$
					+	$24 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$70 x$	+	$35$
							-	$70 x$	-	$35$
										$0$

Schritt 9.1.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$x^{2} - 12 x + 35$

Schritt 9.1.6

Schreibe $2 x^{3} - 23 x^{2} + 58 x + 35$ als eine Menge von Faktoren.

$(2 x + 1) (x^{2} - 12 x + 35) = 0$

Schritt 9.2

Faktorisiere $x^{2} - 12 x + 35$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 9.2.1

Faktorisiere $x^{2} - 12 x + 35$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 9.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $35$ und deren Summe $- 12$ ist.

$- 7, - 5$

Schritt 9.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(2 x + 1) ((x - 7) (x - 5)) = 0$

Schritt 9.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$(2 x + 1) (x - 7) (x - 5) = 0$

Schritt 10

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$2 x + 1 = 0$

$x - 7 = 0$

$x - 5 = 0$

Schritt 11

Setze $2 x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 11.1

Setze $2 x + 1$ gleich $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Schritt 11.2

Löse $2 x + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 11.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = - 1$

Schritt 11.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 11.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 1$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 11.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 11.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 11.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 11.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Schritt 11.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 11.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1}{2}$

Schritt 12

Setze $x - 7$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 12.1

Setze $x - 7$ gleich $0$ .

$x - 7 = 0$

Schritt 12.2

Addiere $7$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 7$

Schritt 13

Setze $x - 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 13.1

Setze $x - 5$ gleich $0$ .

$x - 5 = 0$

Schritt 13.2

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 5$

Schritt 14

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(2 x + 1) (x - 7) (x - 5) = 0$ wahr machen.

$x = - \frac{1}{2}, 7, 5$

Schritt 15