Algebra Beispiele

$2 y + 2 y \geq 4 y + 7 y + 2 + 8 + y^{2}$

Schritt 1

Stelle so um, dass $y$ auf der linken Seite der Ungleichung steht.

$4 y + 7 y + 2 + 8 + y^{2} \leq 2 y + 2 y$

Schritt 2

Vereinfache $4 y + 7 y + 2 + 8 + y^{2}$ .

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Schritt 2.1

Addiere $4 y$ und $7 y$ .

$11 y + 2 + 8 + y^{2} \leq 2 y + 2 y$

Schritt 2.2

Addiere $2$ und $8$ .

$11 y + 10 + y^{2} \leq 2 y + 2 y$

Schritt 3

Addiere $2 y$ und $2 y$ .

$11 y + 10 + y^{2} \leq 4 y$

Schritt 4

Bringe alle Terme, die $y$ enthalten, auf die linke Seite der Ungleichung.

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Schritt 4.1

Subtrahiere $4 y$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$11 y + 10 + y^{2} - 4 y \leq 0$

Schritt 4.2

Subtrahiere $4 y$ von $11 y$ .

$7 y + 10 + y^{2} \leq 0$

Schritt 5

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$7 y + 10 + y^{2} = 0$

Schritt 6

Faktorisiere $7 y + 10 + y^{2}$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 6.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $10$ und deren Summe $7$ ist.

$2, 5$

Schritt 6.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(y + 2) (y + 5) = 0$

Schritt 7

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$y + 2 = 0$

$y + 5 = 0$

Schritt 8

Setze $y + 2$ gleich $0$ und löse nach $y$ auf.

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Schritt 8.1

Setze $y + 2$ gleich $0$ .

$y + 2 = 0$

Schritt 8.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = - 2$

Schritt 9

Setze $y + 5$ gleich $0$ und löse nach $y$ auf.

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Schritt 9.1

Setze $y + 5$ gleich $0$ .

$y + 5 = 0$

Schritt 9.2

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = - 5$

Schritt 10

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(y + 2) (y + 5) = 0$ wahr machen.

$y = - 2, - 5$

Schritt 11

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$y < - 5$

$- 5 < y < - 2$

$y > - 2$

Schritt 12

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 12.1

Teste einen Wert im Intervall $y < - 5$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 12.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $y < - 5$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$y = - 8$

Schritt 12.1.2

Ersetze $y$ durch $- 8$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$2 (- 8) + 2 (- 8) \geq 4 (- 8) + 7 (- 8) + 2 + 8 + {(- 8)}^{2}$

Schritt 12.1.3

Die linke Seite $- 32$ ist kleiner als die rechte Seite $- 14$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 12.2

Teste einen Wert im Intervall $- 5 < y < - 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 12.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 5 < y < - 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$y = - 4$

Schritt 12.2.2

Ersetze $y$ durch $- 4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$2 (- 4) + 2 (- 4) \geq 4 (- 4) + 7 (- 4) + 2 + 8 + {(- 4)}^{2}$

Schritt 12.2.3

Die linke Seite $- 16$ ist größer als die rechte Seite $- 18$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 12.3

Teste einen Wert im Intervall $y > - 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 12.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $y > - 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$y = 0$

Schritt 12.3.2

Ersetze $y$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$2 (0) + 2 (0) \geq 4 (0) + 7 (0) + 2 + 8 + {(0)}^{2}$

Schritt 12.3.3

Die linke Seite $0$ ist kleiner als die rechte Seite $10$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 12.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$y < - 5$ Falsch

$- 5 < y < - 2$ Wahr

$y > - 2$ Falsch

$y < - 5$ Falsch

$- 5 < y < - 2$ Wahr

$y > - 2$ Falsch

Schritt 13

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$- 5 \leq y \leq - 2$

Schritt 14

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$- 5 \leq y \leq - 2$

Intervallschreibweise:

$[- 5, - 2]$

Schritt 15