Algebra Beispiele

$y^{2} + 16 y - 4 x + 4 = 0$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 1.1

Isoliere $x$ auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1.1.1

Subtrahiere $y^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$16 y - 4 x + 4 = - y^{2}$

Schritt 1.1.1.2

Subtrahiere $16 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 4 x + 4 = - y^{2} - 16 y$

Schritt 1.1.1.3

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 4 x = - y^{2} - 16 y - 4$

Schritt 1.1.2

Teile jeden Ausdruck in $- 4 x = - y^{2} - 16 y - 4$ durch $- 4$ und vereinfache.

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Schritt 1.1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 4 x = - y^{2} - 16 y - 4$ durch $- 4$ .

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- y^{2}}{- 4} + \frac{- 16 y}{- 4} + \frac{- 4}{- 4}$

Schritt 1.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 4$ .

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Schritt 1.1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- y^{2}}{- 4} + \frac{- 16 y}{- 4} + \frac{- 4}{- 4}$

Schritt 1.1.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- y^{2}}{- 4} + \frac{- 16 y}{- 4} + \frac{- 4}{- 4}$

Schritt 1.1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.3.1.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$x = \frac{y^{2}}{4} + \frac{- 16 y}{- 4} + \frac{- 4}{- 4}$

Schritt 1.1.2.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 16$ und $- 4$ .

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Schritt 1.1.2.3.1.2.1

Faktorisiere $- 4$ aus $- 16 y$ heraus.

$x = \frac{y^{2}}{4} + \frac{- 4 (4 y)}{- 4} + \frac{- 4}{- 4}$

Schritt 1.1.2.3.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.2.3.1.2.2.1

Faktorisiere $- 4$ aus $- 4$ heraus.

$x = \frac{y^{2}}{4} + \frac{- 4 (4 y)}{- 4 (1)} + \frac{- 4}{- 4}$

Schritt 1.1.2.3.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{y^{2}}{4} + \frac{- 4 (4 y)}{- 4 \cdot 1} + \frac{- 4}{- 4}$

Schritt 1.1.2.3.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{y^{2}}{4} + \frac{4 y}{1} + \frac{- 4}{- 4}$

Schritt 1.1.2.3.1.2.2.4

Dividiere $4 y$ durch $1$ .

$x = \frac{y^{2}}{4} + 4 y + \frac{- 4}{- 4}$

Schritt 1.1.2.3.1.3

Dividiere $- 4$ durch $- 4$ .

$x = \frac{y^{2}}{4} + 4 y + 1$

Schritt 1.2

Wende die quadratische Ergänzung auf $\frac{y^{2}}{4} + 4 y + 1$ an.

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Schritt 1.2.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = \frac{1}{4}$

$b = 4$

$c = 1$

Schritt 1.2.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.2.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.2.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{4}{2 (\frac{1}{4})}$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 1.2.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 (\frac{1}{4})}$

Schritt 1.2.3.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.3.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 (\frac{1}{4})}$

Schritt 1.2.3.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{2}{\frac{1}{4}}$

Schritt 1.2.3.2.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$d = 2 \cdot 4$

Schritt 1.2.3.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$d = 8$

Schritt 1.2.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.2.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 1 - \frac{4^{2}}{4 (\frac{1}{4})}$

Schritt 1.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4^{2}$ und $4$ .

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Schritt 1.2.4.2.1.1.1

Faktorisiere $4$ aus $4^{2}$ heraus.

$e = 1 - \frac{4 \cdot 4}{4 (\frac{1}{4})}$

Schritt 1.2.4.2.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.4.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = 1 - \frac{4 \cdot 4}{4 (\frac{1}{4})}$

Schritt 1.2.4.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$e = 1 - \frac{4}{\frac{1}{4}}$

Schritt 1.2.4.2.1.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$e = 1 - (4 \cdot 4)$

Schritt 1.2.4.2.1.3

Multipliziere $- (4 \cdot 4)$ .

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Schritt 1.2.4.2.1.3.1

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$e = 1 - 1 \cdot 16$

Schritt 1.2.4.2.1.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $16$ .

$e = 1 - 16$

Schritt 1.2.4.2.2

Subtrahiere $16$ von $1$ .

$e = - 15$

Schritt 1.2.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $\frac{1}{4} {(y + 8)}^{2} - 15$ ein.

$\frac{1}{4} {(y + 8)}^{2} - 15$

Schritt 1.3

Setze $x$ gleich der neuen rechten Seite.

$x = \frac{1}{4} \cdot {(y + 8)}^{2} - 15$

Schritt 2

Benutze die Scheitelpunktform, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = \frac{1}{4}$

$h = - 15$

$k = - 8$

Schritt 3

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(- 15, - 8)$

Schritt 4

Berechne $p$ , den Abstand vom Scheitelpunkt zum Brennpunkt.

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Schritt 4.1

Ermittle den Abstand vom Scheitelpunkt zu einem Brennpunkt der Parabel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\frac{1}{4 a}$

Schritt 4.2

Setze den Wert von $a$ in die Formel ein.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{4}}$

Schritt 4.3

Vereinfache.

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Schritt 4.3.1

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{4}}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache durch Teilen von Zahlen.

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Schritt 4.3.2.1

Dividiere $4$ durch $4$ .

$\frac{1}{1}$

Schritt 4.3.2.2

Dividiere $1$ durch $1$ .

$1$

Schritt 5

Ermittle den Brennpunkt.

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Schritt 5.1

Der Brennpunkt einer Parabel kann durch Addieren von $p$ zur x-Koordinate $h$ gefunden werden, wenn die Parabel nach links oder rechts geöffnet ist.

$(h + p, k)$

Schritt 5.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(- 14, - 8)$

Schritt 6