Algebra Beispiele

$3 {(x - 2)}^{2} - {(x - 5)}^{2}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 1.1

Isoliere $y$ auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1.1

Schreibe ${(x - 5)}^{2}$ als $(x - 5) (x - 5)$ um.

$y = 3 {(x - 2)}^{2} - ((x - 5) (x - 5))$

Schritt 1.1.1.2

Multipliziere $(x - 5) (x - 5)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.1.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = 3 {(x - 2)}^{2} - (x (x - 5) - 5 (x - 5))$

Schritt 1.1.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = 3 {(x - 2)}^{2} - (x \cdot x + x \cdot - 5 - 5 (x - 5))$

Schritt 1.1.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = 3 {(x - 2)}^{2} - (x \cdot x + x \cdot - 5 - 5 x - 5 \cdot - 5)$

Schritt 1.1.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.1.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$y = 3 {(x - 2)}^{2} - (x^{2} + x \cdot - 5 - 5 x - 5 \cdot - 5)$

Schritt 1.1.1.3.1.2

Bringe $- 5$ auf die linke Seite von $x$ .

$y = 3 {(x - 2)}^{2} - (x^{2} - 5 \cdot x - 5 x - 5 \cdot - 5)$

Schritt 1.1.1.3.1.3

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 5$ .

$y = 3 {(x - 2)}^{2} - (x^{2} - 5 x - 5 x + 25)$

Schritt 1.1.1.3.2

Subtrahiere $5 x$ von $- 5 x$ .

$y = 3 {(x - 2)}^{2} - (x^{2} - 10 x + 25)$

Schritt 1.1.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$y = 3 {(x - 2)}^{2} - x^{2} - (- 10 x) - 1 \cdot 25$

Schritt 1.1.1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.1.1.5.1

Mutltipliziere $- 10$ mit $- 1$ .

$y = 3 {(x - 2)}^{2} - x^{2} + 10 x - 1 \cdot 25$

Schritt 1.1.1.5.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $25$ .

$y = 3 {(x - 2)}^{2} - x^{2} + 10 x - 25$

Schritt 1.1.2

Stelle die Terme um.

$y = - x^{2} + 3 {(x - 2)}^{2} + 10 x - 25$

Schritt 1.2

Wende die quadratische Ergänzung auf $- x^{2} + 3 {(x - 2)}^{2} + 10 x - 25$ an.

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Schritt 1.2.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.1.1.1

Schreibe ${(x - 2)}^{2}$ als $(x - 2) (x - 2)$ um.

$- x^{2} + 3 ((x - 2) (x - 2)) + 10 x - 25$

Schritt 1.2.1.1.2

Multipliziere $(x - 2) (x - 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.2.1.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- x^{2} + 3 (x (x - 2) - 2 (x - 2)) + 10 x - 25$

Schritt 1.2.1.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- x^{2} + 3 (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2)) + 10 x - 25$

Schritt 1.2.1.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- x^{2} + 3 (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) + 10 x - 25$

Schritt 1.2.1.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.2.1.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.1.1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$- x^{2} + 3 (x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) + 10 x - 25$

Schritt 1.2.1.1.3.1.2

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $x$ .

$- x^{2} + 3 (x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2) + 10 x - 25$

Schritt 1.2.1.1.3.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$- x^{2} + 3 (x^{2} - 2 x - 2 x + 4) + 10 x - 25$

Schritt 1.2.1.1.3.2

Subtrahiere $2 x$ von $- 2 x$ .

$- x^{2} + 3 (x^{2} - 4 x + 4) + 10 x - 25$

Schritt 1.2.1.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$- x^{2} + 3 x^{2} + 3 (- 4 x) + 3 \cdot 4 + 10 x - 25$

Schritt 1.2.1.1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.2.1.1.5.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$- x^{2} + 3 x^{2} - 12 x + 3 \cdot 4 + 10 x - 25$

Schritt 1.2.1.1.5.2

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$- x^{2} + 3 x^{2} - 12 x + 12 + 10 x - 25$

Schritt 1.2.1.2

Addiere $- x^{2}$ und $3 x^{2}$ .

$2 x^{2} - 12 x + 12 + 10 x - 25$

Schritt 1.2.1.3

Addiere $- 12 x$ und $10 x$ .

$2 x^{2} - 2 x + 12 - 25$

Schritt 1.2.1.4

Subtrahiere $25$ von $12$ .

$2 x^{2} - 2 x - 13$

Schritt 1.2.2

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 2$

$b = - 2$

$c = - 13$

Schritt 1.2.3

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.2.4

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.2.4.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 2}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 1.2.4.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.4.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.4.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 2$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 (2)}$

Schritt 1.2.4.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.4.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 1}{2}$

Schritt 1.2.4.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$d = - \frac{1}{2}$

Schritt 1.2.5

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.2.5.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = - 13 - \frac{{(- 2)}^{2}}{4 \cdot 2}$

Schritt 1.2.5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(- 2)}^{2}$ und $2$ .

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Schritt 1.2.5.2.1.1.1

Schreibe $- 2$ als $- 1 (2)$ um.

$e = - 13 - \frac{{(- 1 (2))}^{2}}{4 \cdot 2}$

Schritt 1.2.5.2.1.1.2

Wende die Produktregel auf $- 1 (2)$ an.

$e = - 13 - \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 2^{2}}{4 \cdot 2}$

Schritt 1.2.5.2.1.1.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$e = - 13 - \frac{1 \cdot 2^{2}}{4 \cdot 2}$

Schritt 1.2.5.2.1.1.4

Mutltipliziere $2^{2}$ mit $1$ .

$e = - 13 - \frac{2^{2}}{4 \cdot 2}$

Schritt 1.2.5.2.1.1.5

Faktorisiere $2$ aus $2^{2}$ heraus.

$e = - 13 - \frac{2 \cdot 2}{4 \cdot 2}$

Schritt 1.2.5.2.1.1.6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.5.2.1.1.6.1

Faktorisiere $2$ aus $4 \cdot 2$ heraus.

$e = - 13 - \frac{2 \cdot 2}{2 (2 \cdot 2)}$

Schritt 1.2.5.2.1.1.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = - 13 - \frac{2 \cdot 2}{2 (2 \cdot 2)}$

Schritt 1.2.5.2.1.1.6.3

Forme den Ausdruck um.

$e = - 13 - \frac{2}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.5.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.5.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = - 13 - \frac{2}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.5.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$e = - 13 - \frac{1}{2}$

Schritt 1.2.5.2.2

Um $- 13$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$e = - 13 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Schritt 1.2.5.2.3

Kombiniere $- 13$ und $\frac{2}{2}$ .

$e = \frac{- 13 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

Schritt 1.2.5.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$e = \frac{- 13 \cdot 2 - 1}{2}$

Schritt 1.2.5.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.5.2.5.1

Mutltipliziere $- 13$ mit $2$ .

$e = \frac{- 26 - 1}{2}$

Schritt 1.2.5.2.5.2

Subtrahiere $1$ von $- 26$ .

$e = \frac{- 27}{2}$

Schritt 1.2.5.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e = - \frac{27}{2}$

Schritt 1.2.6

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $2 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{27}{2}$ ein.

$2 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{27}{2}$

Schritt 1.3

Setze $y$ gleich der neuen rechten Seite.

$y = 2 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{27}{2}$

Schritt 2

Benutze die Scheitelpunktform, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = 2$

$h = \frac{1}{2}$

$k = - \frac{27}{2}$

Schritt 3

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(\frac{1}{2}, - \frac{27}{2})$

Schritt 4