Algebra Beispiele

$f (x) = - 4 x^{2} - 12 x + 5$

Schritt 1

Das Maximum einer quadratischen Funktion tritt bei $x = - \frac{b}{2 a}$ auf. Wenn $a$ negativ ist, ist der Maximalwert der Funktion $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{max}$ $x = a x^{2} + b x + c$ tritt auf bei $x = - \frac{b}{2 a}$

Schritt 2

Ermittele den Wert von $x = - \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 2.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ ein.

$x = - \frac{- 12}{2 (- 4)}$

Schritt 2.2

Entferne die Klammern.

$x = - \frac{- 12}{2 (- 4)}$

Schritt 2.3

Vereinfache $- \frac{- 12}{2 (- 4)}$ .

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Schritt 2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 12$ und $2$ .

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Schritt 2.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 12$ heraus.

$x = - \frac{2 \cdot - 6}{2 \cdot - 4}$

Schritt 2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot - 4$ heraus.

$x = - \frac{2 \cdot - 6}{2 (- 4)}$

Schritt 2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = - \frac{2 \cdot - 6}{2 \cdot - 4}$

Schritt 2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = - \frac{- 6}{- 4}$

Schritt 2.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 6$ und $- 4$ .

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Schritt 2.3.2.1

Faktorisiere $- 2$ aus $- 6$ heraus.

$x = - \frac{- 2 (3)}{- 4}$

Schritt 2.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.2.2.1

Faktorisiere $- 2$ aus $- 4$ heraus.

$x = - \frac{- 2 \cdot 3}{- 2 \cdot 2}$

Schritt 2.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = - \frac{- 2 \cdot 3}{- 2 \cdot 2}$

Schritt 2.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = - \frac{3}{2}$

Schritt 3

Berechne $f (- \frac{3}{2})$ .

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Schritt 3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- \frac{3}{2}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = - 4 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 12 (- \frac{3}{2}) + 5$

Schritt 3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 3.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{3}{2}$ an.

$f (- \frac{3}{2}) = - 4 ({(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2}) - 12 (- \frac{3}{2}) + 5$

Schritt 3.2.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{3}{2}$ an.

$f (- \frac{3}{2}) = - 4 ({(- 1)}^{2} (\frac{3^{2}}{2^{2}})) - 12 (- \frac{3}{2}) + 5$

Schritt 3.2.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f (- \frac{3}{2}) = - 4 (1 (\frac{3^{2}}{2^{2}})) - 12 (- \frac{3}{2}) + 5$

Schritt 3.2.1.3

Mutltipliziere $\frac{3^{2}}{2^{2}}$ mit $1$ .

$f (- \frac{3}{2}) = - 4 \frac{3^{2}}{2^{2}} - 12 (- \frac{3}{2}) + 5$

Schritt 3.2.1.4

Potenziere $3$ mit $2$ .

$f (- \frac{3}{2}) = - 4 \frac{9}{2^{2}} - 12 (- \frac{3}{2}) + 5$

Schritt 3.2.1.5

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f (- \frac{3}{2}) = - 4 (\frac{9}{4}) - 12 (- \frac{3}{2}) + 5$

Schritt 3.2.1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.2.1.6.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$f (- \frac{3}{2}) = 4 (- 1) (\frac{9}{4}) - 12 (- \frac{3}{2}) + 5$

Schritt 3.2.1.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{3}{2}) = 4 \cdot (- 1 (\frac{9}{4})) - 12 (- \frac{3}{2}) + 5$

Schritt 3.2.1.6.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{3}{2}) = - 1 \cdot 9 - 12 (- \frac{3}{2}) + 5$

Schritt 3.2.1.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$f (- \frac{3}{2}) = - 9 - 12 (- \frac{3}{2}) + 5$

Schritt 3.2.1.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.8.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{3}{2}$ in den Zähler.

$f (- \frac{3}{2}) = - 9 - 12 (\frac{- 3}{2}) + 5$

Schritt 3.2.1.8.2

Faktorisiere $2$ aus $- 12$ heraus.

$f (- \frac{3}{2}) = - 9 + 2 (- 6) (\frac{- 3}{2}) + 5$

Schritt 3.2.1.8.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{3}{2}) = - 9 + 2 \cdot (- 6 (\frac{- 3}{2})) + 5$

Schritt 3.2.1.8.4

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{3}{2}) = - 9 - 6 \cdot - 3 + 5$

Schritt 3.2.1.9

Mutltipliziere $- 6$ mit $- 3$ .

$f (- \frac{3}{2}) = - 9 + 18 + 5$

Schritt 3.2.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 3.2.2.1

Addiere $- 9$ und $18$ .

$f (- \frac{3}{2}) = 9 + 5$

Schritt 3.2.2.2

Addiere $9$ und $5$ .

$f (- \frac{3}{2}) = 14$

Schritt 3.2.3

Die endgültige Lösung ist $14$ .

$14$

Schritt 4

Benutze die $x$ - und $y$ -Werte, um zu ermitteln, wo das Maximum auftritt.

$(- \frac{3}{2}, 14)$

Schritt 5