Algebra Beispiele

$y = - \frac{2}{3} x^{2} - 1$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{2}{3}$ .

$y = - \frac{x^{2} \cdot 2}{3} - 1$

Schritt 1.1.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$y = - \frac{2 x^{2}}{3} - 1$

Schritt 1.2

Wende die quadratische Ergänzung auf $- \frac{2 x^{2}}{3} - 1$ an.

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Schritt 1.2.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = - \frac{2}{3}$

$b = 0$

$c = - 1$

Schritt 1.2.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.2.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.2.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{0}{2 (- \frac{2}{3})}$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $2$ .

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Schritt 1.2.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $0$ heraus.

$d = \frac{2 (0)}{2 (- \frac{2}{3})}$

Schritt 1.2.3.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.3.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot 0}{2 (- \frac{2}{3})}$

Schritt 1.2.3.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{0}{- \frac{2}{3}}$

Schritt 1.2.3.2.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$d = 0 (- \frac{3}{2})$

Schritt 1.2.3.2.3

Multipliziere $0 (- \frac{3}{2})$ .

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Schritt 1.2.3.2.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$d = 0 (\frac{3}{2})$

Schritt 1.2.3.2.3.2

Mutltipliziere $0$ mit $\frac{3}{2}$ .

$d = 0$

Schritt 1.2.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.2.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = - 1 - \frac{0^{2}}{4 (- \frac{2}{3})}$

Schritt 1.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.4.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$e = - 1 - \frac{0}{4 (- \frac{2}{3})}$

Schritt 1.2.4.2.1.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.2.4.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$e = - 1 - \frac{0}{- 4 (\frac{2}{3})}$

Schritt 1.2.4.2.1.2.2

Kombiniere $- 4$ und $\frac{2}{3}$ .

$e = - 1 - \frac{0}{\frac{- 4 \cdot 2}{3}}$

Schritt 1.2.4.2.1.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$e = - 1 - \frac{0}{\frac{- 8}{3}}$

Schritt 1.2.4.2.1.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e = - 1 - \frac{0}{- \frac{8}{3}}$

Schritt 1.2.4.2.1.5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$e = - 1 - (0 (- \frac{3}{8}))$

Schritt 1.2.4.2.1.6

Multipliziere $0 (- \frac{3}{8})$ .

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Schritt 1.2.4.2.1.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$e = - 1 - (0 (\frac{3}{8}))$

Schritt 1.2.4.2.1.6.2

Mutltipliziere $0$ mit $\frac{3}{8}$ .

$e = - 1 - 0$

Schritt 1.2.4.2.1.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$e = - 1 + 0$

Schritt 1.2.4.2.2

Addiere $- 1$ und $0$ .

$e = - 1$

Schritt 1.2.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $- \frac{2}{3} {(x + 0)}^{2} - 1$ ein.

$- \frac{2}{3} {(x + 0)}^{2} - 1$

Schritt 1.3

Setze $y$ gleich der neuen rechten Seite.

$y = - \frac{2}{3} \cdot {(x + 0)}^{2} - 1$

Schritt 2

Benutze die Scheitelpunktform, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = - \frac{2}{3}$

$h = 0$

$k = - 1$

Schritt 3

Da der Wert von $a$ negativ ist, ist die Parabel nach unten geöffnet.

Öffnet nach unten

Schritt 4

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(0, - 1)$

Schritt 5

Berechne $p$ , den Abstand vom Scheitelpunkt zum Brennpunkt.

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Schritt 5.1

Ermittle den Abstand vom Scheitelpunkt zu einem Brennpunkt der Parabel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\frac{1}{4 a}$

Schritt 5.2

Setze den Wert von $a$ in die Formel ein.

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{2}{3})}$

Schritt 5.3

Vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1$ und $- 1$ .

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Schritt 5.3.1.1

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{2}{3})}$

Schritt 5.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{4 (\frac{2}{3})}$

Schritt 5.3.2

Kombiniere $4$ und $\frac{2}{3}$ .

$- \frac{1}{\frac{4 \cdot 2}{3}}$

Schritt 5.3.3

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$- \frac{1}{\frac{8}{3}}$

Schritt 5.3.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$- (1 (\frac{3}{8}))$

Schritt 5.3.5

Mutltipliziere $\frac{3}{8}$ mit $1$ .

$- \frac{3}{8}$

Schritt 6

Ermittle den Brennpunkt.

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Schritt 6.1

Der Brennpunkt einer Parabel kann durch Addieren von $p$ zur y-Koordinate $k$ ermittelt werden, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$(h, k + p)$

Schritt 6.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(0, - \frac{11}{8})$

Schritt 7

Finde die Symmtrieachse durch Ermitteln der Geraden, die durch den Scheitelpunkt und den Brennpunkt verläuft.

$x = 0$

Schritt 8