Algebra Beispiele

$x^{3} - x^{2} - 16 x - 20$

Schritt 1

Schreibe $x^{3} - x^{2} - 16 x - 20$ als Gleichung.

$y = x^{3} - x^{2} - 16 x - 20$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

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Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$0 = x^{3} - x^{2} - 16 x - 20$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Schreibe die Gleichung als $x^{3} - x^{2} - 16 x - 20 = 0$ um.

$x^{3} - x^{2} - 16 x - 20 = 0$

Schritt 2.2.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.2.2.1

Faktorisiere $x^{3} - x^{2} - 16 x - 20$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 2.2.2.1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 20, \pm 2, \pm 10, \pm 4, \pm 5$

$q = \pm 1$

Schritt 2.2.2.1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 20, \pm 2, \pm 10, \pm 4, \pm 5$

Schritt 2.2.2.1.3

Setze $- 2$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $- 2$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 2.2.2.1.3.1

Setze $- 2$ in das Polynom ein.

${(- 2)}^{3} - {(- 2)}^{2} - 16 \cdot - 2 - 20$

Schritt 2.2.2.1.3.2

Potenziere $- 2$ mit $3$ .

$- 8 - {(- 2)}^{2} - 16 \cdot - 2 - 20$

Schritt 2.2.2.1.3.3

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$- 8 - 1 \cdot 4 - 16 \cdot - 2 - 20$

Schritt 2.2.2.1.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$- 8 - 4 - 16 \cdot - 2 - 20$

Schritt 2.2.2.1.3.5

Subtrahiere $4$ von $- 8$ .

$- 12 - 16 \cdot - 2 - 20$

Schritt 2.2.2.1.3.6

Mutltipliziere $- 16$ mit $- 2$ .

$- 12 + 32 - 20$

Schritt 2.2.2.1.3.7

Addiere $- 12$ und $32$ .

$20 - 20$

Schritt 2.2.2.1.3.8

Subtrahiere $20$ von $20$ .

$0$

Schritt 2.2.2.1.4

Da $- 2$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x + 2$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{x^{3} - x^{2} - 16 x - 20}{x + 2}$

Schritt 2.2.2.1.5

Dividiere $x^{3} - x^{2} - 16 x - 20$ durch $x + 2$ .

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Schritt 2.2.2.1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$2$

$x^{3}$

$x^{2}$

$16 x$

$20$

Schritt 2.2.2.1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$16 x$	-	$20$

Schritt 2.2.2.1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$16 x$	-	$20$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Schritt 2.2.2.1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{3} + 2 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$16 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Schritt 2.2.2.1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$16 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$

Schritt 2.2.2.1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$16 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$16 x$

Schritt 2.2.2.1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 3 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$16 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$16 x$

Schritt 2.2.2.1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$16 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$16 x$
					-	$3 x^{2}$	-	$6 x$

Schritt 2.2.2.1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 3 x^{2} - 6 x$

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$16 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$16 x$
					+	$3 x^{2}$	+	$6 x$

Schritt 2.2.2.1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$16 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$16 x$
					+	$3 x^{2}$	+	$6 x$
							-	$10 x$

Schritt 2.2.2.1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$16 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$16 x$
					+	$3 x^{2}$	+	$6 x$
							-	$10 x$	-	$20$

Schritt 2.2.2.1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 10 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$3 x$	-	$10$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$16 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$16 x$
					+	$3 x^{2}$	+	$6 x$
							-	$10 x$	-	$20$

Schritt 2.2.2.1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	-	$3 x$	-	$10$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$16 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$16 x$
					+	$3 x^{2}$	+	$6 x$
							-	$10 x$	-	$20$
							-	$10 x$	-	$20$

Schritt 2.2.2.1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 10 x - 20$

				$x^{2}$	-	$3 x$	-	$10$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$16 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$16 x$
					+	$3 x^{2}$	+	$6 x$
							-	$10 x$	-	$20$
							+	$10 x$	+	$20$

Schritt 2.2.2.1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	-	$3 x$	-	$10$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$16 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$16 x$
					+	$3 x^{2}$	+	$6 x$
							-	$10 x$	-	$20$
							+	$10 x$	+	$20$
										$0$

Schritt 2.2.2.1.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$x^{2} - 3 x - 10$

Schritt 2.2.2.1.6

Schreibe $x^{3} - x^{2} - 16 x - 20$ als eine Menge von Faktoren.

$(x + 2) (x^{2} - 3 x - 10) = 0$

Schritt 2.2.2.2

Faktorisiere $x^{2} - 3 x - 10$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.2.2.2.1

Faktorisiere $x^{2} - 3 x - 10$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.2.2.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 10$ und deren Summe $- 3$ ist.

$- 5, 2$

Schritt 2.2.2.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x + 2) ((x - 5) (x + 2)) = 0$

Schritt 2.2.2.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x + 2) (x - 5) (x + 2) = 0$

Schritt 2.2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

$x - 5 = 0$

$x + 2 = 0$

Schritt 2.2.4

Setze $x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.4.1

Setze $x + 2$ gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

Schritt 2.2.4.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 2.2.5

Setze $x - 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.5.1

Setze $x - 5$ gleich $0$ .

$x - 5 = 0$

Schritt 2.2.5.2

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 5$

Schritt 2.2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x + 2) (x - 5) (x + 2) = 0$ wahr machen.

$x = - 2, 5$

Schritt 2.3

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(- 2, 0), (5, 0)$

Schritt 3

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

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Schritt 3.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$y = {(0)}^{3} - {(0)}^{2} - 16 \cdot 0 - 20$

Schritt 3.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Entferne die Klammern.

$y = 0^{3} - {(0)}^{2} - 16 \cdot 0 - 20$

Schritt 3.2.2

Entferne die Klammern.

$y = 0^{3} - 0^{2} - 16 \cdot 0 - 20$

Schritt 3.2.3

Entferne die Klammern.

$y = {(0)}^{3} - {(0)}^{2} - 16 \cdot 0 - 20$

Schritt 3.2.4

Vereinfache ${(0)}^{3} - {(0)}^{2} - 16 \cdot 0 - 20$ .

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Schritt 3.2.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.4.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = 0 - {(0)}^{2} - 16 \cdot 0 - 20$

Schritt 3.2.4.1.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = 0 - 0 - 16 \cdot 0 - 20$

Schritt 3.2.4.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$y = 0 + 0 - 16 \cdot 0 - 20$

Schritt 3.2.4.1.4

Mutltipliziere $- 16$ mit $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 - 20$

Schritt 3.2.4.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 3.2.4.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$y = 0 + 0 - 20$

Schritt 3.2.4.2.2

Addiere $0$ und $0$ .

$y = 0 - 20$

Schritt 3.2.4.2.3

Subtrahiere $20$ von $0$ .

$y = - 20$

Schritt 3.3

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, - 20)$

Schritt 4

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(- 2, 0), (5, 0)$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, - 20)$

Schritt 5