Algebra Beispiele

$4 x^{3} - 4 x - x^{5}$

Schritt 1

Schreibe $4 x^{3} - 4 x - x^{5}$ als Gleichung.

$y = 4 x^{3} - 4 x - x^{5}$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

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Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$0 = 4 x^{3} - 4 x - x^{5}$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Schreibe die Gleichung als $4 x^{3} - 4 x - x^{5} = 0$ um.

$4 x^{3} - 4 x - x^{5} = 0$

Schritt 2.2.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.2.2.1

Faktorisiere $- x$ aus $4 x^{3} - 4 x - x^{5}$ heraus.

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Schritt 2.2.2.1.1

Stelle den Ausdruck um.

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Schritt 2.2.2.1.1.1

Bewege $- 4 x$ .

$4 x^{3} - x^{5} - 4 x = 0$

Schritt 2.2.2.1.1.2

Stelle $4 x^{3}$ und $- x^{5}$ um.

$- x^{5} + 4 x^{3} - 4 x = 0$

Schritt 2.2.2.1.2

Faktorisiere $- x$ aus $- x^{5}$ heraus.

$- x \cdot x^{4} + 4 x^{3} - 4 x = 0$

Schritt 2.2.2.1.3

Faktorisiere $- x$ aus $4 x^{3}$ heraus.

$- x \cdot x^{4} - x (- 4 x^{2}) - 4 x = 0$

Schritt 2.2.2.1.4

Faktorisiere $- x$ aus $- 4 x$ heraus.

$- x \cdot x^{4} - x (- 4 x^{2}) - x \cdot 4 = 0$

Schritt 2.2.2.1.5

Faktorisiere $- x$ aus $- x (x^{4}) - x (- 4 x^{2})$ heraus.

$- x (x^{4} - 4 x^{2}) - x \cdot 4 = 0$

Schritt 2.2.2.1.6

Faktorisiere $- x$ aus $- x (x^{4} - 4 x^{2}) - x (4)$ heraus.

$- x (x^{4} - 4 x^{2} + 4) = 0$

Schritt 2.2.2.2

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$- x ({(x^{2})}^{2} - 4 x^{2} + 4) = 0$

Schritt 2.2.2.3

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$- x (u^{2} - 4 u + 4) = 0$

Schritt 2.2.2.4

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 2.2.2.4.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$- x (u^{2} - 4 u + 2^{2}) = 0$

Schritt 2.2.2.4.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$4 u = 2 \cdot u \cdot 2$

Schritt 2.2.2.4.3

Schreibe das Polynom neu.

$- x (u^{2} - 2 \cdot u \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

Schritt 2.2.2.4.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = u$ und $b = 2$ .

$- x {(u - 2)}^{2} = 0$

Schritt 2.2.2.5

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$- x {(x^{2} - 2)}^{2} = 0$

Schritt 2.2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

${(x^{2} - 2)}^{2} = 0$

Schritt 2.2.4

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 2.2.5

Setze ${(x^{2} - 2)}^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.5.1

Setze ${(x^{2} - 2)}^{2}$ gleich $0$ .

${(x^{2} - 2)}^{2} = 0$

Schritt 2.2.5.2

Löse ${(x^{2} - 2)}^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.5.2.1

Setze $x^{2} - 2$ gleich $0$ .

$x^{2} - 2 = 0$

Schritt 2.2.5.2.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.5.2.2.1

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = 2$

Schritt 2.2.5.2.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{2}$

Schritt 2.2.5.2.2.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.2.5.2.2.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \sqrt{2}$

Schritt 2.2.5.2.2.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \sqrt{2}$

Schritt 2.2.5.2.2.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Schritt 2.2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- x {(x^{2} - 2)}^{2} = 0$ wahr machen.

$x = 0, \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Schritt 2.3

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(0, 0), (\sqrt{2}, 0), (- \sqrt{2}, 0)$

Schritt 3

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

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Schritt 3.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$y = 4 {(0)}^{3} - 4 \cdot 0 - {(0)}^{5}$

Schritt 3.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Entferne die Klammern.

$y = 4 \cdot 0^{3} - 4 \cdot 0 - {(0)}^{5}$

Schritt 3.2.2

Entferne die Klammern.

$y = 4 \cdot 0^{3} - 4 \cdot 0 - 0^{5}$

Schritt 3.2.3

Entferne die Klammern.

$y = 4 {(0)}^{3} - 4 \cdot 0 - {(0)}^{5}$

Schritt 3.2.4

Vereinfache $4 {(0)}^{3} - 4 \cdot 0 - {(0)}^{5}$ .

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Schritt 3.2.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.4.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = 4 \cdot 0 - 4 \cdot 0 - {(0)}^{5}$

Schritt 3.2.4.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$y = 0 - 4 \cdot 0 - {(0)}^{5}$

Schritt 3.2.4.1.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $0$ .

$y = 0 + 0 - {(0)}^{5}$

Schritt 3.2.4.1.4

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = 0 + 0 - 0$

Schritt 3.2.4.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$y = 0 + 0 + 0$

Schritt 3.2.4.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 3.2.4.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$y = 0 + 0$

Schritt 3.2.4.2.2

Addiere $0$ und $0$ .

$y = 0$

Schritt 3.3

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 0)$

Schritt 4

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(0, 0), (\sqrt{2}, 0), (- \sqrt{2}, 0)$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 0)$

Schritt 5