Algebra Beispiele

$V = \frac{4}{3} π r^{3}$

Schritt 1

Entferne die Klammern.

$V = \frac{4}{3} \cdot (π r^{3})$

Schritt 2

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d V} (V) = \frac{d}{d V} (\frac{4}{3} \cdot (π r^{3}))$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ gleich $n V^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1$

Schritt 4

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1

Kombiniere $π$ und $\frac{4}{3}$ .

$\frac{d}{d V} [\frac{π \cdot 4}{3} \cdot r^{3}]$

Schritt 4.1.2

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.1

Kombiniere $\frac{π \cdot 4}{3}$ und $r^{3}$ .

$\frac{d}{d V} [\frac{π \cdot 4 r^{3}}{3}]$

Schritt 4.1.2.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $π$ .

$\frac{d}{d V} [\frac{4 \cdot π r^{3}}{3}]$

Schritt 4.1.3

Da $\frac{4 π}{3}$ konstant bezüglich $V$ ist, ist die Ableitung von $\frac{4 π r^{3}}{3}$ nach $V$ gleich $\frac{4 π}{3} \frac{d}{d V} [r^{3}]$ .

$\frac{4 π}{3} \frac{d}{d V} [r^{3}]$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d V} [f (g (V))]$ ist $f' (g (V)) g' (V)$ , mit $f (V) = V^{3}$ und $g (V) = r$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $r$ .

$\frac{4 π}{3} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d V} [r])$

Schritt 4.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{4 π}{3} (3 u^{2} \frac{d}{d V} [r])$

Schritt 4.2.3

Ersetze alle $u$ durch $r$ .

$\frac{4 π}{3} (3 r^{2} \frac{d}{d V} [r])$

Schritt 4.3

Vereinfache Terme.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1

Kombiniere $3$ und $\frac{4 π}{3}$ .

$\frac{3 (4 π)}{3} (r^{2} \frac{d}{d V} [r])$

Schritt 4.3.2

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$\frac{12 π}{3} (r^{2} \frac{d}{d V} [r])$

Schritt 4.3.3

Kombiniere $r^{2}$ und $\frac{12 π}{3}$ .

$\frac{r^{2} (12 π)}{3} \frac{d}{d V} [r]$

Schritt 4.3.4

Bringe $12$ auf die linke Seite von $r^{2}$ .

$\frac{12 \cdot r^{2} π}{3} \frac{d}{d V} [r]$

Schritt 4.3.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $12$ und $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.5.1

Faktorisiere $3$ aus $12 r^{2} π$ heraus.

$\frac{3 (4 r^{2} π)}{3} \frac{d}{d V} [r]$

Schritt 4.3.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.5.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{3 (4 r^{2} π)}{3 (1)} \frac{d}{d V} [r]$

Schritt 4.3.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 (4 r^{2} π)}{3 \cdot 1} \frac{d}{d V} [r]$

Schritt 4.3.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4 r^{2} π}{1} \frac{d}{d V} [r]$

Schritt 4.3.5.2.4

Dividiere $4 r^{2} π$ durch $1$ .

$4 r^{2} π \frac{d}{d V} [r]$

Schritt 4.4

Schreibe $\frac{d}{d V} [r]$ als $r'$ um.

$4 r^{2} π r'$

Schritt 4.5

Stelle die Faktoren von $4 r^{2} π r'$ um.

$4 π r^{2} r'$

Schritt 5

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$1 = 4 π r^{2} r'$

Schritt 6

Löse nach $r'$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Schreibe die Gleichung als $4 π r^{2} r' = 1$ um.

$4 π r^{2} r' = 1$

Schritt 6.2

Teile jeden Ausdruck in $4 π r^{2} r' = 1$ durch $4 π r^{2}$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 π r^{2} r' = 1$ durch $4 π r^{2}$ .

$\frac{4 π r^{2} r'}{4 π r^{2}} = \frac{1}{4 π r^{2}}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 π r^{2} r'}{4 π r^{2}} = \frac{1}{4 π r^{2}}$

Schritt 6.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{π r^{2} r'}{π r^{2}} = \frac{1}{4 π r^{2}}$

Schritt 6.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{π r^{2} r'}{π r^{2}} = \frac{1}{4 π r^{2}}$

Schritt 6.2.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{r^{2} r'}{r^{2}} = \frac{1}{4 π r^{2}}$

Schritt 6.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $r^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{r^{2} r'}{r^{2}} = \frac{1}{4 π r^{2}}$

Schritt 6.2.2.3.2

Dividiere $r'$ durch $1$ .

$r' = \frac{1}{4 π r^{2}}$

Schritt 7

Ersetze $r'$ durch $\frac{d r}{d V}$ .

$\frac{d r}{d V} = \frac{1}{4 π r^{2}}$