Algebra Beispiele

$25 x^{2} + y^{2} - 100 x - 2 y + 76 = 0$

Schritt 1

Bestimme die Standardform der Ellipse.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $76$ von beiden Seiten der Gleichung.

$25 x^{2} + y^{2} - 100 x - 2 y = - 76$

Schritt 1.2

Wende die quadratische Ergänzung auf $25 x^{2} - 100 x$ an.

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Schritt 1.2.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 25$

$b = - 100$

$c = 0$

Schritt 1.2.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.2.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.2.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 100}{2 \cdot 25}$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 100$ und $2$ .

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Schritt 1.2.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 100$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 50}{2 \cdot 25}$

Schritt 1.2.3.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.3.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 25$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 50}{2 (25)}$

Schritt 1.2.3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot - 50}{2 \cdot 25}$

Schritt 1.2.3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 50}{25}$

Schritt 1.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 50$ und $25$ .

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Schritt 1.2.3.2.2.1

Faktorisiere $25$ aus $- 50$ heraus.

$d = \frac{25 \cdot - 2}{25}$

Schritt 1.2.3.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.3.2.2.2.1

Faktorisiere $25$ aus $25$ heraus.

$d = \frac{25 \cdot - 2}{25 (1)}$

Schritt 1.2.3.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{25 \cdot - 2}{25 \cdot 1}$

Schritt 1.2.3.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 2}{1}$

Schritt 1.2.3.2.2.2.4

Dividiere $- 2$ durch $1$ .

$d = - 2$

Schritt 1.2.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.2.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{{(- 100)}^{2}}{4 \cdot 25}$

Schritt 1.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.4.2.1.1

Potenziere $- 100$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{10000}{4 \cdot 25}$

Schritt 1.2.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $25$ .

$e = 0 - \frac{10000}{100}$

Schritt 1.2.4.2.1.3

Dividiere $10000$ durch $100$ .

$e = 0 - 1 \cdot 100$

Schritt 1.2.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $100$ .

$e = 0 - 100$

Schritt 1.2.4.2.2

Subtrahiere $100$ von $0$ .

$e = - 100$

Schritt 1.2.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $25 {(x - 2)}^{2} - 100$ ein.

$25 {(x - 2)}^{2} - 100$

Schritt 1.3

Setze $25 {(x - 2)}^{2} - 100$ für $25 x^{2} - 100 x$ ein in der Gleichung $25 x^{2} + y^{2} - 100 x - 2 y = - 76$ .

$25 {(x - 2)}^{2} - 100 + y^{2} - 2 y = - 76$

Schritt 1.4

Bringe $- 100$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $100$ auf beiden Seiten.

$25 {(x - 2)}^{2} + y^{2} - 2 y = - 76 + 100$

Schritt 1.5

Wende die quadratische Ergänzung auf $y^{2} - 2 y$ an.

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Schritt 1.5.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 1$

$b = - 2$

$c = 0$

Schritt 1.5.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.5.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.5.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 2}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.5.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 1.5.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.5.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.5.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 1$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}$

Schritt 1.5.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.5.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 1}{1}$

Schritt 1.5.3.2.2.4

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$d = - 1$

Schritt 1.5.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.5.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{{(- 2)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 1.5.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.5.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.4.2.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{4}{4 \cdot 1}$

Schritt 1.5.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Schritt 1.5.4.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 1.5.4.2.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Schritt 1.5.4.2.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$e = 0 - 1 \cdot 1$

Schritt 1.5.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$e = 0 - 1$

Schritt 1.5.4.2.2

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$e = - 1$

Schritt 1.5.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform ${(y - 1)}^{2} - 1$ ein.

${(y - 1)}^{2} - 1$

Schritt 1.6

Setze ${(y - 1)}^{2} - 1$ für $y^{2} - 2 y$ ein in der Gleichung $25 x^{2} + y^{2} - 100 x - 2 y = - 76$ .

$25 {(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} - 1 = - 76 + 100$

Schritt 1.7

Bringe $- 1$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $1$ auf beiden Seiten.

$25 {(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = - 76 + 100 + 1$

Schritt 1.8

Vereinfache $- 76 + 100 + 1$ .

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Schritt 1.8.1

Addiere $- 76$ und $100$ .

$25 {(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 24 + 1$

Schritt 1.8.2

Addiere $24$ und $1$ .

$25 {(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 25$

Schritt 1.9

Teile jeden Term durch $25$ , um die rechte Seite gleich Eins zu machen.

$\frac{25 {(x - 2)}^{2}}{25} + \frac{{(y - 1)}^{2}}{25} = \frac{25}{25}$

Schritt 1.10

Vereinfache jeden Term in der Gleichung, um die rechte Seite gleich $1$ zu setzen. Die Standardform einer Ellipse oder Hyperbel erfordert es, dass die rechte Seite der Gleichung gleich $1$ ist.

${(x - 2)}^{2} + \frac{{(y - 1)}^{2}}{25} = 1$

Schritt 2

Dies ist die Form einer Ellipse. Benutze diese Form, um die Werte zu ermitteln, die verwendet werden, um den Mittelpunkt zusammen mit der Haupt- und Nebenachse der Ellipse zu bestimmen.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Schritt 3

Gleiche die Werte in dieser Ellipse mit denen der Standardform ab. Die Variable $a$ stellt den Radius der Hauptachse der Ellipse dar, $b$ den Radius der Nebenachse der Ellipse, $h$ das x-Offset vom Ursprung und $k$ das y-Offset vom Ursprung.

$a = 5$

$b = 1$

$k = 1$

$h = 2$

Schritt 4

Der Mittelpunkt einer Ellipse folgt der Form $(h, k)$ . Setze die Werte von $h$ und $k$ ein.

$(2, 1)$

Schritt 5