Algebra Beispiele

$f (x) = - 4 {(x - 4)}^{2} (x^{2} - 4)$

Schritt 1

Stelle fest, ob die Funktion ungerade, gerade oder keines von beidem ist, um die Symmetrie zu ermitteln.

1. Wenn ungerade, dann ist die Funktion symmetrisch zum Ursprung.

1. Wenn gerade, dann ist die Funktion symmetrisch zur y-Achse.

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Schreibe ${(x - 4)}^{2}$ als $(x - 4) (x - 4)$ um.

$f (x) = - 4 ((x - 4) (x - 4)) (x^{2} - 4)$

Schritt 2.2

Multipliziere $(x - 4) (x - 4)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x) = - 4 (x (x - 4) - 4 (x - 4)) (x^{2} - 4)$

Schritt 2.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x) = - 4 (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 (x - 4)) (x^{2} - 4)$

Schritt 2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x) = - 4 (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4) (x^{2} - 4)$

Schritt 2.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f (x) = - 4 (x^{2} + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4) (x^{2} - 4)$

Schritt 2.3.1.2

Bringe $- 4$ auf die linke Seite von $x$ .

$f (x) = - 4 (x^{2} - 4 \cdot x - 4 x - 4 \cdot - 4) (x^{2} - 4)$

Schritt 2.3.1.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 4$ .

$f (x) = - 4 (x^{2} - 4 x - 4 x + 16) (x^{2} - 4)$

Schritt 2.3.2

Subtrahiere $4 x$ von $- 4 x$ .

$f (x) = - 4 (x^{2} - 8 x + 16) (x^{2} - 4)$

Schritt 2.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x) = (- 4 x^{2} - 4 (- 8 x) - 4 \cdot 16) (x^{2} - 4)$

Schritt 2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 4$ .

$f (x) = (- 4 x^{2} + 32 x - 4 \cdot 16) (x^{2} - 4)$

Schritt 2.5.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $16$ .

$f (x) = (- 4 x^{2} + 32 x - 64) (x^{2} - 4)$

Schritt 2.6

Multipliziere $(- 4 x^{2} + 32 x - 64) (x^{2} - 4)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$f (x) = - 4 x^{2} x^{2} - 4 x^{2} \cdot - 4 + 32 x \cdot x^{2} + 32 x \cdot - 4 - 64 x^{2} - 64 \cdot - 4$

Schritt 2.7

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.7.1.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.7.1.1.1

Bewege $x^{2}$ .

$f (x) = - 4 (x^{2} x^{2}) - 4 x^{2} \cdot - 4 + 32 x \cdot x^{2} + 32 x \cdot - 4 - 64 x^{2} - 64 \cdot - 4$

Schritt 2.7.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (x) = - 4 x^{2 + 2} - 4 x^{2} \cdot - 4 + 32 x \cdot x^{2} + 32 x \cdot - 4 - 64 x^{2} - 64 \cdot - 4$

Schritt 2.7.1.1.3

Addiere $2$ und $2$ .

$f (x) = - 4 x^{4} - 4 x^{2} \cdot - 4 + 32 x \cdot x^{2} + 32 x \cdot - 4 - 64 x^{2} - 64 \cdot - 4$

Schritt 2.7.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 4$ .

$f (x) = - 4 x^{4} + 16 x^{2} + 32 x \cdot x^{2} + 32 x \cdot - 4 - 64 x^{2} - 64 \cdot - 4$

Schritt 2.7.1.3

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.7.1.3.1

Bewege $x^{2}$ .

$f (x) = - 4 x^{4} + 16 x^{2} + 32 (x^{2} x) + 32 x \cdot - 4 - 64 x^{2} - 64 \cdot - 4$

Schritt 2.7.1.3.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 2.7.1.3.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f (x) = - 4 x^{4} + 16 x^{2} + 32 (x^{2} x) + 32 x \cdot - 4 - 64 x^{2} - 64 \cdot - 4$

Schritt 2.7.1.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (x) = - 4 x^{4} + 16 x^{2} + 32 x^{2 + 1} + 32 x \cdot - 4 - 64 x^{2} - 64 \cdot - 4$

Schritt 2.7.1.3.3

Addiere $2$ und $1$ .

$f (x) = - 4 x^{4} + 16 x^{2} + 32 x^{3} + 32 x \cdot - 4 - 64 x^{2} - 64 \cdot - 4$

Schritt 2.7.1.4

Mutltipliziere $- 4$ mit $32$ .

$f (x) = - 4 x^{4} + 16 x^{2} + 32 x^{3} - 128 x - 64 x^{2} - 64 \cdot - 4$

Schritt 2.7.1.5

Mutltipliziere $- 64$ mit $- 4$ .

$f (x) = - 4 x^{4} + 16 x^{2} + 32 x^{3} - 128 x - 64 x^{2} + 256$

Schritt 2.7.2

Subtrahiere $64 x^{2}$ von $16 x^{2}$ .

$f (x) = - 4 x^{4} - 48 x^{2} + 32 x^{3} - 128 x + 256$

Schritt 3

Ermittle $f (- x)$ .

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Schritt 3.1

Ermittle $f (- x)$ durch Einsetzen von $- x$ in $f (x)$ für jedes $x$ .

$f (- x) = - 4 {(- x)}^{4} - 48 {(- x)}^{2} + 32 {(- x)}^{3} - 128 (- x) + 256$

Schritt 3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1

Wende die Produktregel auf $- x$ an.

$f (- x) = - 4 ({(- 1)}^{4} x^{4}) - 48 {(- x)}^{2} + 32 {(- x)}^{3} - 128 (- x) + 256$

Schritt 3.2.2

Potenziere $- 1$ mit $4$ .

$f (- x) = - 4 (1 x^{4}) - 48 {(- x)}^{2} + 32 {(- x)}^{3} - 128 (- x) + 256$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere $x^{4}$ mit $1$ .

$f (- x) = - 4 x^{4} - 48 {(- x)}^{2} + 32 {(- x)}^{3} - 128 (- x) + 256$

Schritt 3.2.4

Wende die Produktregel auf $- x$ an.

$f (- x) = - 4 x^{4} - 48 ({(- 1)}^{2} x^{2}) + 32 {(- x)}^{3} - 128 (- x) + 256$

Schritt 3.2.5

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f (- x) = - 4 x^{4} - 48 (1 x^{2}) + 32 {(- x)}^{3} - 128 (- x) + 256$

Schritt 3.2.6

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$f (- x) = - 4 x^{4} - 48 x^{2} + 32 {(- x)}^{3} - 128 (- x) + 256$

Schritt 3.2.7

Wende die Produktregel auf $- x$ an.

$f (- x) = - 4 x^{4} - 48 x^{2} + 32 ({(- 1)}^{3} x^{3}) - 128 (- x) + 256$

Schritt 3.2.8

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$f (- x) = - 4 x^{4} - 48 x^{2} + 32 (- x^{3}) - 128 (- x) + 256$

Schritt 3.2.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $32$ .

$f (- x) = - 4 x^{4} - 48 x^{2} - 32 x^{3} - 128 (- x) + 256$

Schritt 3.2.10

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 128$ .

$f (- x) = - 4 x^{4} - 48 x^{2} - 32 x^{3} + 128 x + 256$

Schritt 4

Eine Funktion ist gerade, wenn $f (- x) = f (x)$ .

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Schritt 4.1

Prüfe, ob $f (- x) = f (x)$ .

Schritt 4.2

Da $- 4 x^{4} - 48 x^{2} - 32 x^{3} + 128 x + 256$ $\neq$ $- 4 x^{4} - 48 x^{2} + 32 x^{3} - 128 x + 256$ , ist die Funktion nicht gerade.

Die Funktion ist nicht gerade

Schritt 5

Eine Funktion ist ungerade, wenn $f (- x) = - f (x)$ .

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Schritt 5.1

Ermittle $- f (x)$ .

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Schritt 5.1.1

Mutltipliziere $- 4 x^{4} - 48 x^{2} + 32 x^{3} - 128 x + 256$ mit $- 1$ .

$- f (x) = - (- 4 x^{4} - 48 x^{2} + 32 x^{3} - 128 x + 256)$

Schritt 5.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- f (x) = - (- 4 x^{4}) - (- 48 x^{2}) - (32 x^{3}) - (- 128 x) - 1 \cdot 256$

Schritt 5.1.3

Vereinfache.

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Schritt 5.1.3.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$- f (x) = 4 x^{4} - (- 48 x^{2}) - (32 x^{3}) - (- 128 x) - 1 \cdot 256$

Schritt 5.1.3.2

Mutltipliziere $- 48$ mit $- 1$ .

$- f (x) = 4 x^{4} + 48 x^{2} - (32 x^{3}) - (- 128 x) - 1 \cdot 256$

Schritt 5.1.3.3

Mutltipliziere $32$ mit $- 1$ .

$- f (x) = 4 x^{4} + 48 x^{2} - 32 x^{3} - (- 128 x) - 1 \cdot 256$

Schritt 5.1.3.4

Mutltipliziere $- 128$ mit $- 1$ .

$- f (x) = 4 x^{4} + 48 x^{2} - 32 x^{3} + 128 x - 1 \cdot 256$

Schritt 5.1.3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $256$ .

$- f (x) = 4 x^{4} + 48 x^{2} - 32 x^{3} + 128 x - 256$

Schritt 5.2

Da $- 4 x^{4} - 48 x^{2} - 32 x^{3} + 128 x + 256$ $\neq$ $4 x^{4} + 48 x^{2} - 32 x^{3} + 128 x - 256$ , ist die Funktion nicht ungerade.

Die Funktion ist nicht ungerade

Schritt 6

Die Funktion ist weder ungerade noch gerade

Schritt 7

Da die Funktion nicht ungerade ist, ist sie nicht punktsymmetrisch zum Ursprung.

Keine Punktsymmetrie zum Ursprung

Schritt 8

Da die Funktion nicht gerade ist, ist sie nicht zur y-Achse symmetrisch.

Kein Schnittpunkt mit der y-Achse

Schritt 9

Da die Funktion weder ungerade noch gerade ist, gibt es keine Punktsymmetrie zum Ursprung und keine y-Achsensymmetrie.

Funktion ist nicht symmetrisch

Schritt 10