Algebra Beispiele

$y = \frac{x - 4}{33 - x}$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{y - 4}{33 - y}$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{y - 4}{33 - y} = x$ um.

$\frac{y - 4}{33 - y} = x$

Schritt 2.2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$33 - y, 1$

Schritt 2.2.2

Entferne die Klammern.

$33 - y, 1$

Schritt 2.2.3

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$33 - y$

Schritt 2.3

Multipliziere jeden Term in $\frac{y - 4}{33 - y} = x$ mit $33 - y$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 2.3.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{y - 4}{33 - y} = x$ mit $33 - y$ .

$\frac{y - 4}{33 - y} (33 - y) = x (33 - y)$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $33 - y$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y - 4}{33 - y} (33 - y) = x (33 - y)$

Schritt 2.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y - 4 = x (33 - y)$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y - 4 = x \cdot 33 + x (- y)$

Schritt 2.3.3.2

Stelle um.

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Schritt 2.3.3.2.1

Bringe $33$ auf die linke Seite von $x$ .

$y - 4 = 33 \cdot x + x (- y)$

Schritt 2.3.3.2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y - 4 = 33 x - x y$

Schritt 2.4

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.4.1

Addiere $x y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y - 4 + x y = 33 x$

Schritt 2.4.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y + x y = 33 x + 4$

Schritt 2.4.3

Faktorisiere $y$ aus $y + x y$ heraus.

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Schritt 2.4.3.1

Faktorisiere $y$ aus $y^{1}$ heraus.

$y \cdot 1 + x y = 33 x + 4$

Schritt 2.4.3.2

Faktorisiere $y$ aus $x y$ heraus.

$y \cdot 1 + y x = 33 x + 4$

Schritt 2.4.3.3

Faktorisiere $y$ aus $y \cdot 1 + y x$ heraus.

$y (1 + x) = 33 x + 4$

Schritt 2.4.4

Teile jeden Ausdruck in $y (1 + x) = 33 x + 4$ durch $1 + x$ und vereinfache.

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Schritt 2.4.4.1

Teile jeden Ausdruck in $y (1 + x) = 33 x + 4$ durch $1 + x$ .

$\frac{y (1 + x)}{1 + x} = \frac{33 x}{1 + x} + \frac{4}{1 + x}$

Schritt 2.4.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 + x$ .

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Schritt 2.4.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y (1 + x)}{1 + x} = \frac{33 x}{1 + x} + \frac{4}{1 + x}$

Schritt 2.4.4.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{33 x}{1 + x} + \frac{4}{1 + x}$

Schritt 2.4.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.4.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{33 x + 4}{1 + x}$

Schritt 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{33 x + 4}{1 + x}$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{33 x + 4}{1 + x}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{x - 4}{33 - x}$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{x - 4}{33 - x})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 4}{33 - x}) = \frac{33 (\frac{x - 4}{33 - x}) + 4}{1 + \frac{x - 4}{33 - x}}$

Schritt 4.2.3

Entferne die Klammern.

$f^{- 1} (\frac{x - 4}{33 - x}) = \frac{33 (\frac{x - 4}{33 - x}) + 4}{1 + \frac{x - 4}{33 - x}}$

Schritt 4.2.4

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $33 - x$ .

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Schritt 4.2.4.1

Mutltipliziere $\frac{33 \frac{x - 4}{33 - x} + 4}{1 + \frac{x - 4}{33 - x}}$ mit $\frac{33 - x}{33 - x}$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 4}{33 - x}) = \frac{33 - x}{33 - x} \cdot \frac{33 (\frac{x - 4}{33 - x}) + 4}{1 + \frac{x - 4}{33 - x}}$

Schritt 4.2.4.2

Kombinieren.

$f^{- 1} (\frac{x - 4}{33 - x}) = \frac{(33 - x) (33 (\frac{x - 4}{33 - x}) + 4)}{(33 - x) (1 + \frac{x - 4}{33 - x})}$

Schritt 4.2.5

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{x - 4}{33 - x}) = \frac{(33 - x) (33 (\frac{x - 4}{33 - x})) + (33 - x) \cdot 4}{(33 - x) \cdot 1 + (33 - x) (\frac{x - 4}{33 - x})}$

Schritt 4.2.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $33 - x$ .

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Schritt 4.2.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{x - 4}{33 - x}) = \frac{(33 - x) (33 (\frac{x - 4}{33 - x})) + (33 - x) \cdot 4}{(33 - x) \cdot 1 + (33 - x) (\frac{x - 4}{33 - x})}$

Schritt 4.2.6.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{x - 4}{33 - x}) = \frac{(33 - x) (33 (\frac{x - 4}{33 - x})) + (33 - x) \cdot 4}{(33 - x) \cdot 1 + x - 4}$

Schritt 4.2.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.7.1

Faktorisiere $33 - x$ aus $(33 - x) \cdot 33 \frac{x - 4}{33 - x} + (33 - x) \cdot 4$ heraus.

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Schritt 4.2.7.1.1

Faktorisiere $33 - x$ aus $(33 - x) \cdot 33 \frac{x - 4}{33 - x}$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{x - 4}{33 - x}) = \frac{(33 - x) (33 (\frac{x - 4}{33 - x})) + (33 - x) \cdot 4}{(33 - x) \cdot 1 + x - 4}$

Schritt 4.2.7.1.2

Faktorisiere $33 - x$ aus $(33 - x) \cdot 4$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{x - 4}{33 - x}) = \frac{(33 - x) (33 (\frac{x - 4}{33 - x})) + (33 - x) (4)}{(33 - x) \cdot 1 + x - 4}$

Schritt 4.2.7.1.3

Faktorisiere $33 - x$ aus $(33 - x) (33 \frac{x - 4}{33 - x}) + (33 - x) (4)$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{x - 4}{33 - x}) = \frac{(33 - x) (33 (\frac{x - 4}{33 - x}) + 4)}{(33 - x) \cdot 1 + x - 4}$

Schritt 4.2.7.2

Kombiniere $33$ und $\frac{x - 4}{33 - x}$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 4}{33 - x}) = \frac{(33 - x) (\frac{33 (x - 4)}{33 - x} + 4)}{(33 - x) \cdot 1 + x - 4}$

Schritt 4.2.7.3

Um $4$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{33 - x}{33 - x}$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 4}{33 - x}) = \frac{(33 - x) (\frac{33 (x - 4)}{33 - x} + \frac{4 (33 - x)}{33 - x})}{(33 - x) \cdot 1 + x - 4}$

Schritt 4.2.7.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\frac{x - 4}{33 - x}) = \frac{(33 - x) (\frac{33 (x - 4) + 4 (33 - x)}{33 - x})}{(33 - x) \cdot 1 + x - 4}$

Schritt 4.2.7.5

Stelle die Terme um.

$f^{- 1} (\frac{x - 4}{33 - x}) = \frac{(33 - x) (\frac{33 (x - 4) + 4 (33 - x)}{- x + 33})}{(33 - x) \cdot 1 + x - 4}$

Schritt 4.2.7.6

Schreibe $\frac{33 (x - 4) + 4 (33 - x)}{- x + 33}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 4.2.7.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{x - 4}{33 - x}) = \frac{(33 - x) (\frac{33 x + 33 \cdot - 4 + 4 (33 - x)}{- x + 33})}{(33 - x) \cdot 1 + x - 4}$

Schritt 4.2.7.6.2

Mutltipliziere $33$ mit $- 4$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 4}{33 - x}) = \frac{(33 - x) (\frac{33 x - 132 + 4 (33 - x)}{- x + 33})}{(33 - x) \cdot 1 + x - 4}$

Schritt 4.2.7.6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{x - 4}{33 - x}) = \frac{(33 - x) (\frac{33 x - 132 + 4 \cdot 33 + 4 (- x)}{- x + 33})}{(33 - x) \cdot 1 + x - 4}$

Schritt 4.2.7.6.4

Mutltipliziere $4$ mit $33$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 4}{33 - x}) = \frac{(33 - x) (\frac{33 x - 132 + 132 + 4 (- x)}{- x + 33})}{(33 - x) \cdot 1 + x - 4}$

Schritt 4.2.7.6.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 4}{33 - x}) = \frac{(33 - x) (\frac{33 x - 132 + 132 - 4 x}{- x + 33})}{(33 - x) \cdot 1 + x - 4}$

Schritt 4.2.7.6.6

Subtrahiere $4 x$ von $33 x$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 4}{33 - x}) = \frac{(33 - x) (\frac{29 x - 132 + 132}{- x + 33})}{(33 - x) \cdot 1 + x - 4}$

Schritt 4.2.7.6.7

Addiere $- 132$ und $132$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 4}{33 - x}) = \frac{(33 - x) (\frac{29 x + 0}{- x + 33})}{(33 - x) \cdot 1 + x - 4}$

Schritt 4.2.7.6.8

Addiere $29 x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 4}{33 - x}) = \frac{(33 - x) (\frac{29 x}{- x + 33})}{(33 - x) \cdot 1 + x - 4}$

Schritt 4.2.8

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.2.8.1

Mutltipliziere $33 - x$ mit $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 4}{33 - x}) = \frac{(33 - x) (\frac{29 x}{- x + 33})}{33 - x + x - 4}$

Schritt 4.2.8.2

Subtrahiere $4$ von $33$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 4}{33 - x}) = \frac{(33 - x) (\frac{29 x}{- x + 33})}{- x + x + 29}$

Schritt 4.2.8.3

Addiere $- x$ und $x$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 4}{33 - x}) = \frac{(33 - x) (\frac{29 x}{- x + 33})}{0 + 29}$

Schritt 4.2.8.4

Addiere $0$ und $29$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 4}{33 - x}) = \frac{(33 - x) (\frac{29 x}{- x + 33})}{29}$

Schritt 4.2.9

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.2.9.1

Faktorisiere $\frac{29 x}{- x + 33}$ aus $\frac{(33 - x) \frac{29 x}{- x + 33}}{29}$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{x - 4}{33 - x}) = \frac{29 x}{- x + 33} \cdot \frac{33 - x}{29}$

Schritt 4.2.9.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $29$ .

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Schritt 4.2.9.2.1

Faktorisiere $29$ aus $29 x$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{x - 4}{33 - x}) = \frac{29 (x)}{- x + 33} \cdot \frac{33 - x}{29}$

Schritt 4.2.9.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{x - 4}{33 - x}) = \frac{29 x}{- x + 33} \cdot \frac{33 - x}{29}$

Schritt 4.2.9.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{x - 4}{33 - x}) = \frac{x}{- x + 33} \cdot (33 - x)$

Schritt 4.2.9.3

Mutltipliziere $\frac{x}{- x + 33}$ mit $33 - x$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 4}{33 - x}) = \frac{x (33 - x)}{- x + 33}$

Schritt 4.2.9.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $33 - x$ und $- x + 33$ .

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Schritt 4.2.9.4.1

Stelle die Terme um.

$f^{- 1} (\frac{x - 4}{33 - x}) = \frac{x (- x + 33)}{- x + 33}$

Schritt 4.2.9.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{x - 4}{33 - x}) = \frac{x (- x + 33)}{- x + 33}$

Schritt 4.2.9.4.3

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 4}{33 - x}) = x$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (\frac{33 x + 4}{1 + x})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{33 x + 4}{1 + x}) = \frac{(\frac{33 x + 4}{1 + x}) - 4}{33 - (\frac{33 x + 4}{1 + x})}$

Schritt 4.3.3

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $1 + x$ .

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Schritt 4.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{\frac{33 x + 4}{1 + x} - 4}{33 - \frac{33 x + 4}{1 + x}}$ mit $\frac{1 + x}{1 + x}$ .

$f (\frac{33 x + 4}{1 + x}) = \frac{1 + x}{1 + x} \cdot \frac{\frac{33 x + 4}{1 + x} - 4}{33 - \frac{33 x + 4}{1 + x}}$

Schritt 4.3.3.2

Kombinieren.

$f (\frac{33 x + 4}{1 + x}) = \frac{(1 + x) (\frac{33 x + 4}{1 + x} - 4)}{(1 + x) (33 - \frac{33 x + 4}{1 + x})}$

Schritt 4.3.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{33 x + 4}{1 + x}) = \frac{(1 + x) (\frac{33 x + 4}{1 + x}) + (1 + x) \cdot - 4}{(1 + x) \cdot 33 + (1 + x) (- \frac{33 x + 4}{1 + x})}$

Schritt 4.3.5

Vereinfache durch Kürzen.

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Schritt 4.3.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 + x$ .

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Schritt 4.3.5.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{33 x + 4}{1 + x}) = \frac{(1 + x) (\frac{33 x + 4}{1 + x}) + (1 + x) \cdot - 4}{(1 + x) \cdot 33 + (1 + x) (- \frac{33 x + 4}{1 + x})}$

Schritt 4.3.5.1.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{33 x + 4}{1 + x}) = \frac{33 x + 4 + (1 + x) \cdot - 4}{(1 + x) \cdot 33 + (1 + x) (- \frac{33 x + 4}{1 + x})}$

Schritt 4.3.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 + x$ .

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Schritt 4.3.5.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{33 x + 4}{1 + x}$ in den Zähler.

$f (\frac{33 x + 4}{1 + x}) = \frac{33 x + 4 + (1 + x) \cdot - 4}{(1 + x) \cdot 33 + (1 + x) (\frac{- (33 x + 4)}{1 + x})}$

Schritt 4.3.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{33 x + 4}{1 + x}) = \frac{33 x + 4 + (1 + x) \cdot - 4}{(1 + x) \cdot 33 + (1 + x) (\frac{- (33 x + 4)}{1 + x})}$

Schritt 4.3.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{33 x + 4}{1 + x}) = \frac{33 x + 4 + (1 + x) \cdot - 4}{(1 + x) \cdot 33 - (33 x + 4)}$

Schritt 4.3.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{33 x + 4}{1 + x}) = \frac{33 x + 4 + 1 \cdot - 4 + x \cdot - 4}{(1 + x) \cdot 33 - (33 x + 4)}$

Schritt 4.3.6.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$f (\frac{33 x + 4}{1 + x}) = \frac{33 x + 4 - 4 + x \cdot - 4}{(1 + x) \cdot 33 - (33 x + 4)}$

Schritt 4.3.6.3

Bringe $- 4$ auf die linke Seite von $x$ .

$f (\frac{33 x + 4}{1 + x}) = \frac{33 x + 4 - 4 - 4 \cdot x}{(1 + x) \cdot 33 - (33 x + 4)}$

Schritt 4.3.6.4

Subtrahiere $4 x$ von $33 x$ .

$f (\frac{33 x + 4}{1 + x}) = \frac{29 x + 4 - 4}{(1 + x) \cdot 33 - (33 x + 4)}$

Schritt 4.3.6.5

Subtrahiere $4$ von $4$ .

$f (\frac{33 x + 4}{1 + x}) = \frac{29 x + 0}{(1 + x) \cdot 33 - (33 x + 4)}$

Schritt 4.3.6.6

Addiere $29 x$ und $0$ .

$f (\frac{33 x + 4}{1 + x}) = \frac{29 x}{(1 + x) \cdot 33 - (33 x + 4)}$

Schritt 4.3.7

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.3.7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{33 x + 4}{1 + x}) = \frac{29 x}{1 \cdot 33 + x \cdot 33 - (33 x + 4)}$

Schritt 4.3.7.2

Mutltipliziere $33$ mit $1$ .

$f (\frac{33 x + 4}{1 + x}) = \frac{29 x}{33 + x \cdot 33 - (33 x + 4)}$

Schritt 4.3.7.3

Bringe $33$ auf die linke Seite von $x$ .

$f (\frac{33 x + 4}{1 + x}) = \frac{29 x}{33 + 33 \cdot x - (33 x + 4)}$

Schritt 4.3.7.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{33 x + 4}{1 + x}) = \frac{29 x}{33 + 33 x - (33 x) - 1 \cdot 4}$

Schritt 4.3.7.5

Mutltipliziere $33$ mit $- 1$ .

$f (\frac{33 x + 4}{1 + x}) = \frac{29 x}{33 + 33 x - 33 x - 1 \cdot 4}$

Schritt 4.3.7.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$f (\frac{33 x + 4}{1 + x}) = \frac{29 x}{33 + 33 x - 33 x - 4}$

Schritt 4.3.7.7

Subtrahiere $4$ von $33$ .

$f (\frac{33 x + 4}{1 + x}) = \frac{29 x}{33 x - 33 x + 29}$

Schritt 4.3.7.8

Subtrahiere $33 x$ von $33 x$ .

$f (\frac{33 x + 4}{1 + x}) = \frac{29 x}{0 + 29}$

Schritt 4.3.7.9

Addiere $0$ und $29$ .

$f (\frac{33 x + 4}{1 + x}) = \frac{29 x}{29}$

Schritt 4.3.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $29$ .

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Schritt 4.3.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{33 x + 4}{1 + x}) = \frac{29 x}{29}$

Schritt 4.3.8.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f (\frac{33 x + 4}{1 + x}) = x$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{33 x + 4}{1 + x}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{x - 4}{33 - x}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{33 x + 4}{1 + x}$