Algebra Beispiele

$y = \sqrt{x + 10}$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = \sqrt{y + 10}$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $\sqrt{y + 10} = x$ um.

$\sqrt{y + 10} = x$

Schritt 2.2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{y + 10}}^{2} = x^{2}$

Schritt 2.3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{y + 10}$ als ${(y + 10)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(y + 10)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.1

Vereinfache ${({(y + 10)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(y + 10)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y + 10)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Schritt 2.3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(y + 10)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Schritt 2.3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(y + 10)}^{1} = x^{2}$

Schritt 2.3.2.1.2

Vereinfache.

$y + 10 = x^{2}$

Schritt 2.4

Subtrahiere $10$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = x^{2} - 10$

Schritt 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 10$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = x^{2} - 10$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \sqrt{x + 10}$ ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (\sqrt{x + 10})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x + 10}) = {(\sqrt{x + 10})}^{2} - 10$

Schritt 4.2.3

Schreibe ${\sqrt{x + 10}}^{2}$ als $x + 10$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x + 10}$ als ${(x + 10)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f^{- 1} (\sqrt{x + 10}) = {({(x + 10)}^{\frac{1}{2}})}^{2} - 10$

Schritt 4.2.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x + 10}) = {(x + 10)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 10$

Schritt 4.2.3.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x + 10}) = {(x + 10)}^{\frac{2}{2}} - 10$

Schritt 4.2.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\sqrt{x + 10}) = {(x + 10)}^{\frac{2}{2}} - 10$

Schritt 4.2.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\sqrt{x + 10}) = (x + 10) - 10$

Schritt 4.2.3.5

Vereinfache.

$f^{- 1} (\sqrt{x + 10}) = x + 10 - 10$

Schritt 4.2.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x + 10 - 10$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.4.1

Subtrahiere $10$ von $10$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x + 10}) = x + 0$

Schritt 4.2.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x + 10}) = x$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (x^{2} - 10)$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (x^{2} - 10) = \sqrt{(x^{2} - 10) + 10}$

Schritt 4.3.3

Addiere $- 10$ und $10$ .

$f (x^{2} - 10) = \sqrt{x^{2} + 0}$

Schritt 4.3.4

Addiere $x^{2}$ und $0$ .

$f (x^{2} - 10) = \sqrt{x^{2}}$

Schritt 4.3.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (x^{2} - 10) = x$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = x^{2} - 10$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \sqrt{x + 10}$ .

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 10$