Algebra Beispiele

$f (x) = 4 x^{2} - 25$

Schritt 1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 5, \pm 25$

$q = \pm 1, \pm 2, \pm 4$

Schritt 2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{4}, \pm 5, \pm \frac{5}{2}, \pm \frac{5}{4}, \pm 25, \pm \frac{25}{2}, \pm \frac{25}{4}$

Schritt 3

Setze die möglichen Wurzeln eine nach der anderen in das Polynom ein, um die tatsächlichen Wurzeln zu ermitteln. Vereinfache, um zu prüfen, ob der Wert gleich $0$ ist, was bedeutet, dass er eine Wurzel ist.

$4 {(\frac{5}{2})}^{2} - 25$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $x = \frac{5}{2}$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{5}{2}$ an.

$4 \frac{5^{2}}{2^{2}} - 25$

Schritt 4.1.2

Potenziere $5$ mit $2$ .

$4 \frac{25}{2^{2}} - 25$

Schritt 4.1.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$4 (\frac{25}{4}) - 25$

Schritt 4.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 4.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 (\frac{25}{4}) - 25$

Schritt 4.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$25 - 25$

Schritt 4.2

Subtrahiere $25$ von $25$ .

$0$

Schritt 5

Da $\frac{5}{2}$ eine bekannte Wurzel ist, teile das Polynom durch $x - \frac{5}{2}$ , um das Quotientenpolynom zu ermitteln. Dieses Polynom kann dann benutzt werden, um die verbleibenden Wurzeln zu finden.

$\frac{4 x^{2} - 25}{x - \frac{5}{2}}$

Schritt 6

Als Nächstes bestimme die Wurzeln des verbleibenden Polynoms. Der Grad des Polynoms ist um $1$ reduziert worden.

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Schritt 6.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$\frac{5}{2}$	$4$	$0$	$- 25$

Schritt 6.2

Die erste Zahl im Dividenden $(4)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$\frac{5}{2}$	$4$	$0$	$- 25$

	$4$

Schritt 6.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(4)$ mit dem Divisor $(\frac{5}{2})$ und schreibe das Ergebnis von $(10)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(0)$ .

$\frac{5}{2}$	$4$	$0$	$- 25$
		$10$
	$4$

Schritt 6.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$\frac{5}{2}$	$4$	$0$	$- 25$
		$10$
	$4$	$10$

Schritt 6.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(10)$ mit dem Divisor $(\frac{5}{2})$ und schreibe das Ergebnis von $(25)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 25)$ .

$\frac{5}{2}$	$4$	$0$	$- 25$
		$10$	$25$
	$4$	$10$

Schritt 6.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$\frac{5}{2}$	$4$	$0$	$- 25$
		$10$	$25$
	$4$	$10$	$0$

Schritt 6.7

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$(4) x + 10$

Schritt 6.8

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$4 x + 10$

Schritt 7

Faktorisiere $2$ aus $4 x + 10$ heraus.

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Schritt 7.1

Faktorisiere $2$ aus $4 x$ heraus.

$(x - \frac{5}{2}) (2 (2 x) + 10)$

Schritt 7.2

Faktorisiere $2$ aus $10$ heraus.

$(x - \frac{5}{2}) (2 (2 x) + 2 (5))$

Schritt 7.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (2 x) + 2 (5)$ heraus.

$(x - \frac{5}{2}) (2 (2 x + 5))$

Schritt 8

Addiere $25$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 x^{2} = 25$

Schritt 9

Teile jeden Ausdruck in $4 x^{2} = 25$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 9.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x^{2} = 25$ durch $4$ .

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{25}{4}$

Schritt 9.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 9.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 9.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{25}{4}$

Schritt 9.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{25}{4}$

Schritt 10

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{25}{4}}$

Schritt 11

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{25}{4}}$ .

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Schritt 11.1

Schreibe $\sqrt{\frac{25}{4}}$ als $\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{4}}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{4}}$

Schritt 11.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.2.1

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt{5^{2}}}{\sqrt{4}}$

Schritt 11.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm \frac{5}{\sqrt{4}}$

Schritt 11.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 11.3.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \pm \frac{5}{\sqrt{2^{2}}}$

Schritt 11.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm \frac{5}{2}$

Schritt 12

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 12.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \frac{5}{2}$

Schritt 12.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \frac{5}{2}$

Schritt 12.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{5}{2}, - \frac{5}{2}$

Schritt 13