Algebra Beispiele

$f (x) = x^{3} - 111 x + 110$

Schritt 1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 5, \pm 10, \pm 11, \pm 22, \pm 55, \pm 110$

$q = \pm 1$

Schritt 2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 2, \pm 5, \pm 10, \pm 11, \pm 22, \pm 55, \pm 110$

Schritt 3

Setze die möglichen Wurzeln eine nach der anderen in das Polynom ein, um die tatsächlichen Wurzeln zu ermitteln. Vereinfache, um zu prüfen, ob der Wert gleich $0$ ist, was bedeutet, dass er eine Wurzel ist.

${(1)}^{3} - 111 \cdot 1 + 110$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $x = 1$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$1 - 111 \cdot 1 + 110$

Schritt 4.1.2

Mutltipliziere $- 111$ mit $1$ .

$1 - 111 + 110$

Schritt 4.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $111$ von $1$ .

$- 110 + 110$

Schritt 4.2.2

Addiere $- 110$ und $110$ .

$0$

Schritt 5

Da $1$ eine bekannte Wurzel ist, teile das Polynom durch $x - 1$ , um das Quotientenpolynom zu ermitteln. Dieses Polynom kann dann benutzt werden, um die verbleibenden Wurzeln zu finden.

$\frac{x^{3} - 111 x + 110}{x - 1}$

Schritt 6

Als Nächstes bestimme die Wurzeln des verbleibenden Polynoms. Der Grad des Polynoms ist um $1$ reduziert worden.

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Schritt 6.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$1$	$1$	$0$	$- 111$	$110$

Schritt 6.2

Die erste Zahl im Dividenden $(1)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$1$	$1$	$0$	$- 111$	$110$

	$1$

Schritt 6.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(1)$ mit dem Divisor $(1)$ und schreibe das Ergebnis von $(1)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(0)$ .

$1$	$1$	$0$	$- 111$	$110$
		$1$
	$1$

Schritt 6.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$1$	$1$	$0$	$- 111$	$110$
		$1$
	$1$	$1$

Schritt 6.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(1)$ mit dem Divisor $(1)$ und schreibe das Ergebnis von $(1)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 111)$ .

$1$	$1$	$0$	$- 111$	$110$
		$1$	$1$
	$1$	$1$

Schritt 6.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$1$	$1$	$0$	$- 111$	$110$
		$1$	$1$
	$1$	$1$	$- 110$

Schritt 6.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 110)$ mit dem Divisor $(1)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 110)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(110)$ .

$1$	$1$	$0$	$- 111$	$110$
		$1$	$1$	$- 110$
	$1$	$1$	$- 110$

Schritt 6.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$1$	$1$	$0$	$- 111$	$110$
		$1$	$1$	$- 110$
	$1$	$1$	$- 110$	$0$

Schritt 6.9

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$1 x^{2} + 1 x - 110$

Schritt 6.10

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$x^{2} + x - 110$

Schritt 7

Faktorisiere $x^{2} + x - 110$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 7.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 110$ und deren Summe $1$ ist.

$- 10, 11$

Schritt 7.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x - 1) + (x - 10) (x + 11)$

$(x - 1) (x - 10) (x + 11)$

Schritt 8

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 8.1

Faktorisiere $x^{3} - 111 x + 110$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 8.1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 110, \pm 2, \pm 55, \pm 5, \pm 22, \pm 10, \pm 11$

$q = \pm 1$

Schritt 8.1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 110, \pm 2, \pm 55, \pm 5, \pm 22, \pm 10, \pm 11$

Schritt 8.1.3

Setze $1$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $1$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 8.1.3.1

Setze $1$ in das Polynom ein.

$1^{3} - 111 \cdot 1 + 110$

Schritt 8.1.3.2

Potenziere $1$ mit $3$ .

$1 - 111 \cdot 1 + 110$

Schritt 8.1.3.3

Mutltipliziere $- 111$ mit $1$ .

$1 - 111 + 110$

Schritt 8.1.3.4

Subtrahiere $111$ von $1$ .

$- 110 + 110$

Schritt 8.1.3.5

Addiere $- 110$ und $110$ .

$0$

Schritt 8.1.4

Da $1$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x - 1$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{x^{3} - 111 x + 110}{x - 1}$

Schritt 8.1.5

Dividiere $x^{3} - 111 x + 110$ durch $x - 1$ .

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Schritt 8.1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$111 x$

$110$

Schritt 8.1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$111 x$	+	$110$

Schritt 8.1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$111 x$	+	$110$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Schritt 8.1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{3} - x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$111 x$	+	$110$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Schritt 8.1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$111 x$	+	$110$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$

Schritt 8.1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$111 x$	+	$110$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$111 x$

Schritt 8.1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$111 x$	+	$110$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$111 x$

Schritt 8.1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$111 x$	+	$110$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$111 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$

Schritt 8.1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{2} - x$

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$111 x$	+	$110$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$111 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$

Schritt 8.1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$111 x$	+	$110$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$111 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							-	$110 x$

Schritt 8.1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$111 x$	+	$110$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$111 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							-	$110 x$	+	$110$

Schritt 8.1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 110 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	+	$x$	-	$110$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$111 x$	+	$110$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$111 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							-	$110 x$	+	$110$

Schritt 8.1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	+	$x$	-	$110$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$111 x$	+	$110$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$111 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							-	$110 x$	+	$110$
							-	$110 x$	+	$110$

Schritt 8.1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 110 x + 110$

				$x^{2}$	+	$x$	-	$110$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$111 x$	+	$110$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$111 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							-	$110 x$	+	$110$
							+	$110 x$	-	$110$

Schritt 8.1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	+	$x$	-	$110$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$111 x$	+	$110$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$111 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							-	$110 x$	+	$110$
							+	$110 x$	-	$110$
										$0$

Schritt 8.1.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$x^{2} + x - 110$

Schritt 8.1.6

Schreibe $x^{3} - 111 x + 110$ als eine Menge von Faktoren.

$(x - 1) (x^{2} + x - 110) = 0$

Schritt 8.2

Faktorisiere $x^{2} + x - 110$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 8.2.1

Faktorisiere $x^{2} + x - 110$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 8.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 110$ und deren Summe $1$ ist.

$- 10, 11$

Schritt 8.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x - 1) ((x - 10) (x + 11)) = 0$

Schritt 8.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x - 1) (x - 10) (x + 11) = 0$

Schritt 9

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

$x - 10 = 0$

$x + 11 = 0$

Schritt 10

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 10.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 10.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 11

Setze $x - 10$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 11.1

Setze $x - 10$ gleich $0$ .

$x - 10 = 0$

Schritt 11.2

Addiere $10$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 10$

Schritt 12

Setze $x + 11$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 12.1

Setze $x + 11$ gleich $0$ .

$x + 11 = 0$

Schritt 12.2

Subtrahiere $11$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 11$

Schritt 13

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 1) (x - 10) (x + 11) = 0$ wahr machen.

$x = 1, 10, - 11$

Schritt 14