Algebra Beispiele

$f (x) = x^{3} + 3 x^{2} - 7 x - 21$

Schritt 1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 3, \pm 7, \pm 21$

$q = \pm 1$

Schritt 2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 3, \pm 7, \pm 21$

Schritt 3

Setze die möglichen Wurzeln eine nach der anderen in das Polynom ein, um die tatsächlichen Wurzeln zu ermitteln. Vereinfache, um zu prüfen, ob der Wert gleich $0$ ist, was bedeutet, dass er eine Wurzel ist.

${(- 3)}^{3} + 3 {(- 3)}^{2} - 7 \cdot - 3 - 21$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $x = - 3$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Potenziere $- 3$ mit $3$ .

$- 27 + 3 {(- 3)}^{2} - 7 \cdot - 3 - 21$

Schritt 4.1.2

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$- 27 + 3 \cdot 9 - 7 \cdot - 3 - 21$

Schritt 4.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $9$ .

$- 27 + 27 - 7 \cdot - 3 - 21$

Schritt 4.1.4

Mutltipliziere $- 7$ mit $- 3$ .

$- 27 + 27 + 21 - 21$

Schritt 4.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 4.2.1

Addiere $- 27$ und $27$ .

$0 + 21 - 21$

Schritt 4.2.2

Addiere $0$ und $21$ .

$21 - 21$

Schritt 4.2.3

Subtrahiere $21$ von $21$ .

$0$

Schritt 5

Da $- 3$ eine bekannte Wurzel ist, teile das Polynom durch $x + 3$ , um das Quotientenpolynom zu ermitteln. Dieses Polynom kann dann benutzt werden, um die verbleibenden Wurzeln zu finden.

$\frac{x^{3} + 3 x^{2} - 7 x - 21}{x + 3}$

Schritt 6

Als Nächstes bestimme die Wurzeln des verbleibenden Polynoms. Der Grad des Polynoms ist um $1$ reduziert worden.

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Schritt 6.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$- 3$	$1$	$3$	$- 7$	$- 21$

Schritt 6.2

Die erste Zahl im Dividenden $(1)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$- 3$	$1$	$3$	$- 7$	$- 21$

	$1$

Schritt 6.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(1)$ mit dem Divisor $(- 3)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 3)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(3)$ .

$- 3$	$1$	$3$	$- 7$	$- 21$
		$- 3$
	$1$

Schritt 6.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 3$	$1$	$3$	$- 7$	$- 21$
		$- 3$
	$1$	$0$

Schritt 6.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(0)$ mit dem Divisor $(- 3)$ und schreibe das Ergebnis von $(0)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 7)$ .

$- 3$	$1$	$3$	$- 7$	$- 21$
		$- 3$	$0$
	$1$	$0$

Schritt 6.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 3$	$1$	$3$	$- 7$	$- 21$
		$- 3$	$0$
	$1$	$0$	$- 7$

Schritt 6.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 7)$ mit dem Divisor $(- 3)$ und schreibe das Ergebnis von $(21)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 21)$ .

$- 3$	$1$	$3$	$- 7$	$- 21$
		$- 3$	$0$	$21$
	$1$	$0$	$- 7$

Schritt 6.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 3$	$1$	$3$	$- 7$	$- 21$
		$- 3$	$0$	$21$
	$1$	$0$	$- 7$	$0$

Schritt 6.9

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$1 x^{2} + 0 x - 7$

Schritt 6.10

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$x^{2} - 7$

Schritt 7

Löse die Gleichung, um sämtliche verbleibenden Wurzeln zu ermitteln.

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Schritt 7.1

Addiere $7$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = 7$

Schritt 7.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{7}$

Schritt 7.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 7.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \sqrt{7}$

Schritt 7.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \sqrt{7}$

Schritt 7.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \sqrt{7}, - \sqrt{7}$

Schritt 8

Das Polynom kann als ein Satz Linearfaktoren geschrieben werden.

$(x + 3) (x - \sqrt{7}) (x + \sqrt{7})$

Schritt 9

Das sind die Wurzeln des Polynoms $x^{3} + 3 x^{2} - 7 x - 21$ .

$x = - 3, \sqrt{7}, - \sqrt{7}$

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = - 3, \sqrt{7}, - \sqrt{7}$

Dezimalform:

$x = - 3, 2.64575131 \dots, - 2.64575131 \dots$

Schritt 11