Algebra Beispiele

$f (x) = x^{6} - 2 x^{4} - 5 x^{2} + 6$

Schritt 1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$

$q = \pm 1$

Schritt 2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$

Schritt 3

Setze die möglichen Wurzeln eine nach der anderen in das Polynom ein, um die tatsächlichen Wurzeln zu ermitteln. Vereinfache, um zu prüfen, ob der Wert gleich $0$ ist, was bedeutet, dass er eine Wurzel ist.

${(1)}^{6} - 2 {(1)}^{4} - 5 {(1)}^{2} + 6$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $x = 1$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$1 - 2 {(1)}^{4} - 5 {(1)}^{2} + 6$

Schritt 4.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$1 - 2 \cdot 1 - 5 {(1)}^{2} + 6$

Schritt 4.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$1 - 2 - 5 {(1)}^{2} + 6$

Schritt 4.1.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$1 - 2 - 5 \cdot 1 + 6$

Schritt 4.1.5

Mutltipliziere $- 5$ mit $1$ .

$1 - 2 - 5 + 6$

Schritt 4.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$- 1 - 5 + 6$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere $5$ von $- 1$ .

$- 6 + 6$

Schritt 4.2.3

Addiere $- 6$ und $6$ .

$0$

Schritt 5

Da $1$ eine bekannte Wurzel ist, teile das Polynom durch $x - 1$ , um das Quotientenpolynom zu ermitteln. Dieses Polynom kann dann benutzt werden, um die verbleibenden Wurzeln zu finden.

$\frac{x^{6} - 2 x^{4} - 5 x^{2} + 6}{x - 1}$

Schritt 6

Als Nächstes bestimme die Wurzeln des verbleibenden Polynoms. Der Grad des Polynoms ist um $1$ reduziert worden.

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Schritt 6.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$1$	$1$	$0$	$- 2$	$0$	$- 5$	$0$	$6$

Schritt 6.2

Die erste Zahl im Dividenden $(1)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$1$	$1$	$0$	$- 2$	$0$	$- 5$	$0$	$6$

	$1$

Schritt 6.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(1)$ mit dem Divisor $(1)$ und schreibe das Ergebnis von $(1)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(0)$ .

$1$	$1$	$0$	$- 2$	$0$	$- 5$	$0$	$6$
		$1$
	$1$

Schritt 6.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$1$	$1$	$0$	$- 2$	$0$	$- 5$	$0$	$6$
		$1$
	$1$	$1$

Schritt 6.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(1)$ mit dem Divisor $(1)$ und schreibe das Ergebnis von $(1)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 2)$ .

$1$	$1$	$0$	$- 2$	$0$	$- 5$	$0$	$6$
		$1$	$1$
	$1$	$1$

Schritt 6.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$1$	$1$	$0$	$- 2$	$0$	$- 5$	$0$	$6$
		$1$	$1$
	$1$	$1$	$- 1$

Schritt 6.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 1)$ mit dem Divisor $(1)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 1)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(0)$ .

$1$	$1$	$0$	$- 2$	$0$	$- 5$	$0$	$6$
		$1$	$1$	$- 1$
	$1$	$1$	$- 1$

Schritt 6.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$1$	$1$	$0$	$- 2$	$0$	$- 5$	$0$	$6$
		$1$	$1$	$- 1$
	$1$	$1$	$- 1$	$- 1$

Schritt 6.9

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 1)$ mit dem Divisor $(1)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 1)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 5)$ .

$1$	$1$	$0$	$- 2$	$0$	$- 5$	$0$	$6$
		$1$	$1$	$- 1$	$- 1$
	$1$	$1$	$- 1$	$- 1$

Schritt 6.10

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$1$	$1$	$0$	$- 2$	$0$	$- 5$	$0$	$6$
		$1$	$1$	$- 1$	$- 1$
	$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$- 6$

Schritt 6.11

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 6)$ mit dem Divisor $(1)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 6)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(0)$ .

$1$	$1$	$0$	$- 2$	$0$	$- 5$	$0$	$6$
		$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$- 6$
	$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$- 6$

Schritt 6.12

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$1$	$1$	$0$	$- 2$	$0$	$- 5$	$0$	$6$
		$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$- 6$
	$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$- 6$	$- 6$

Schritt 6.13

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 6)$ mit dem Divisor $(1)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 6)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(6)$ .

$1$	$1$	$0$	$- 2$	$0$	$- 5$	$0$	$6$
		$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$- 6$	$- 6$
	$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$- 6$	$- 6$

Schritt 6.14

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$1$	$1$	$0$	$- 2$	$0$	$- 5$	$0$	$6$
		$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$- 6$	$- 6$
	$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$- 6$	$- 6$	$0$

Schritt 6.15

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$1 x^{5} + 1 x^{4} - 1 x^{3} + - 1 x^{2} + (- 6) x - 6$

Schritt 6.16

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$x^{5} + x^{4} - x^{3} - x^{2} - 6 x - 6$

Schritt 7

Löse die Gleichung, um sämtliche verbleibenden Wurzeln zu ermitteln.

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Schritt 7.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 7.1.1

Gruppiere die Terme um.

$x^{5} - x^{3} - 6 x + x^{4} - x^{2} - 6 = 0$

Schritt 7.1.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{5} - x^{3} - 6 x$ heraus.

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Schritt 7.1.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{5}$ heraus.

$x \cdot x^{4} - x^{3} - 6 x + x^{4} - x^{2} - 6 = 0$

Schritt 7.1.2.2

Faktorisiere $x$ aus $- x^{3}$ heraus.

$x \cdot x^{4} + x (- x^{2}) - 6 x + x^{4} - x^{2} - 6 = 0$

Schritt 7.1.2.3

Faktorisiere $x$ aus $- 6 x$ heraus.

$x \cdot x^{4} + x (- x^{2}) + x \cdot - 6 + x^{4} - x^{2} - 6 = 0$

Schritt 7.1.2.4

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x^{4} + x (- x^{2})$ heraus.

$x (x^{4} - x^{2}) + x \cdot - 6 + x^{4} - x^{2} - 6 = 0$

Schritt 7.1.2.5

Faktorisiere $x$ aus $x (x^{4} - x^{2}) + x \cdot - 6$ heraus.

$x (x^{4} - x^{2} - 6) + x^{4} - x^{2} - 6 = 0$

Schritt 7.1.3

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$x ({(x^{2})}^{2} - x^{2} - 6) + x^{4} - x^{2} - 6 = 0$

Schritt 7.1.4

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$x (u^{2} - u - 6) + x^{4} - x^{2} - 6 = 0$

Schritt 7.1.5

Faktorisiere $u^{2} - u - 6$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 7.1.5.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 6$ und deren Summe $- 1$ ist.

$- 3, 2$

Schritt 7.1.5.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$x ((u - 3) (u + 2)) + x^{4} - x^{2} - 6 = 0$

Schritt 7.1.6

Faktorisiere.

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Schritt 7.1.6.1

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$x ((x^{2} - 3) (x^{2} + 2)) + x^{4} - x^{2} - 6 = 0$

Schritt 7.1.6.2

Entferne unnötige Klammern.

$x (x^{2} - 3) (x^{2} + 2) + x^{4} - x^{2} - 6 = 0$

Schritt 7.1.7

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$x (x^{2} - 3) (x^{2} + 2) + {(x^{2})}^{2} - x^{2} - 6 = 0$

Schritt 7.1.8

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$x (x^{2} - 3) (x^{2} + 2) + u^{2} - u - 6 = 0$

Schritt 7.1.9

Faktorisiere $u^{2} - u - 6$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 7.1.9.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 6$ und deren Summe $- 1$ ist.

$- 3, 2$

Schritt 7.1.9.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$x (x^{2} - 3) (x^{2} + 2) + (u - 3) (u + 2) = 0$

Schritt 7.1.10

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$x (x^{2} - 3) (x^{2} + 2) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 2) = 0$

Schritt 7.1.11

Faktorisiere $(x^{2} - 3) (x^{2} + 2)$ aus $x (x^{2} - 3) (x^{2} + 2) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 2)$ heraus.

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Schritt 7.1.11.1

Faktorisiere $(x^{2} - 3) (x^{2} + 2)$ aus $x (x^{2} - 3) (x^{2} + 2)$ heraus.

$(x^{2} - 3) (x^{2} + 2) (x) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 2) = 0$

Schritt 7.1.11.2

Faktorisiere $(x^{2} - 3) (x^{2} + 2)$ aus $(x^{2} - 3) (x^{2} + 2)$ heraus.

$(x^{2} - 3) (x^{2} + 2) (x) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 2) (1) = 0$

Schritt 7.1.11.3

Faktorisiere $(x^{2} - 3) (x^{2} + 2)$ aus $(x^{2} - 3) (x^{2} + 2) (x) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 2) (1)$ heraus.

$(x^{2} - 3) (x^{2} + 2) (x + 1) = 0$

Schritt 7.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{2} - 3 = 0$

$x^{2} + 2 = 0$

$x + 1 = 0$

Schritt 7.3

Setze $x^{2} - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.3.1

Setze $x^{2} - 3$ gleich $0$ .

$x^{2} - 3 = 0$

Schritt 7.3.2

Löse $x^{2} - 3 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 7.3.2.1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = 3$

Schritt 7.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{3}$

Schritt 7.3.2.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 7.3.2.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \sqrt{3}$

Schritt 7.3.2.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \sqrt{3}$

Schritt 7.3.2.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Schritt 7.4

Setze $x^{2} + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.4.1

Setze $x^{2} + 2$ gleich $0$ .

$x^{2} + 2 = 0$

Schritt 7.4.2

Löse $x^{2} + 2 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 7.4.2.1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = - 2$

Schritt 7.4.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 2}$

Schritt 7.4.2.3

Vereinfache $\pm \sqrt{- 2}$ .

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Schritt 7.4.2.3.1

Schreibe $- 2$ als $- 1 (2)$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1 (2)}$

Schritt 7.4.2.3.2

Schreibe $\sqrt{- 1 (2)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$

Schritt 7.4.2.3.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \pm i \sqrt{2}$

Schritt 7.4.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 7.4.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = i \sqrt{2}$

Schritt 7.4.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - i \sqrt{2}$

Schritt 7.4.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

Schritt 7.5

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.5.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 7.5.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 7.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x^{2} - 3) (x^{2} + 2) (x + 1) = 0$ wahr machen.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}, i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}, - 1$

Schritt 8

Das Polynom kann als ein Satz Linearfaktoren geschrieben werden.

$(x - 1) (x - \sqrt{3}) (x + \sqrt{3}) (x - i \sqrt{2}) (x + \sqrt{2} i) (x + 1)$

Schritt 9

Das sind die Wurzeln des Polynoms $x^{6} - 2 x^{4} - 5 x^{2} + 6$ .

$x = 1, \sqrt{3}, - \sqrt{3}, i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}, - 1$

Schritt 10