Algebra Beispiele

$f (x) = x^{4} - 4 x^{3} - 18 x^{2} + 108 x - 135$

Schritt 1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 3, \pm 5, \pm 9, \pm 15, \pm 27, \pm 45, \pm 135$

$q = \pm 1$

Schritt 2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 3, \pm 5, \pm 9, \pm 15, \pm 27, \pm 45, \pm 135$

Schritt 3

Setze die möglichen Wurzeln eine nach der anderen in das Polynom ein, um die tatsächlichen Wurzeln zu ermitteln. Vereinfache, um zu prüfen, ob der Wert gleich $0$ ist, was bedeutet, dass er eine Wurzel ist.

${(3)}^{4} - 4 {(3)}^{3} - 18 {(3)}^{2} + 108 (3) - 135$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $x = 3$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Potenziere $3$ mit $4$ .

$81 - 4 {(3)}^{3} - 18 {(3)}^{2} + 108 (3) - 135$

Schritt 4.1.2

Potenziere $3$ mit $3$ .

$81 - 4 \cdot 27 - 18 {(3)}^{2} + 108 (3) - 135$

Schritt 4.1.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $27$ .

$81 - 108 - 18 {(3)}^{2} + 108 (3) - 135$

Schritt 4.1.4

Potenziere $3$ mit $2$ .

$81 - 108 - 18 \cdot 9 + 108 (3) - 135$

Schritt 4.1.5

Mutltipliziere $- 18$ mit $9$ .

$81 - 108 - 162 + 108 (3) - 135$

Schritt 4.1.6

Mutltipliziere $108$ mit $3$ .

$81 - 108 - 162 + 324 - 135$

Schritt 4.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $108$ von $81$ .

$- 27 - 162 + 324 - 135$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere $162$ von $- 27$ .

$- 189 + 324 - 135$

Schritt 4.2.3

Addiere $- 189$ und $324$ .

$135 - 135$

Schritt 4.2.4

Subtrahiere $135$ von $135$ .

$0$

Schritt 5

Da $3$ eine bekannte Wurzel ist, teile das Polynom durch $x - 3$ , um das Quotientenpolynom zu ermitteln. Dieses Polynom kann dann benutzt werden, um die verbleibenden Wurzeln zu finden.

$\frac{x^{4} - 4 x^{3} - 18 x^{2} + 108 x - 135}{x - 3}$

Schritt 6

Als Nächstes bestimme die Wurzeln des verbleibenden Polynoms. Der Grad des Polynoms ist um $1$ reduziert worden.

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Schritt 6.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$3$	$1$	$- 4$	$- 18$	$108$	$- 135$

Schritt 6.2

Die erste Zahl im Dividenden $(1)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$3$	$1$	$- 4$	$- 18$	$108$	$- 135$

	$1$

Schritt 6.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(1)$ mit dem Divisor $(3)$ und schreibe das Ergebnis von $(3)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 4)$ .

$3$	$1$	$- 4$	$- 18$	$108$	$- 135$
		$3$
	$1$

Schritt 6.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$3$	$1$	$- 4$	$- 18$	$108$	$- 135$
		$3$
	$1$	$- 1$

Schritt 6.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 1)$ mit dem Divisor $(3)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 3)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 18)$ .

$3$	$1$	$- 4$	$- 18$	$108$	$- 135$
		$3$	$- 3$
	$1$	$- 1$

Schritt 6.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$3$	$1$	$- 4$	$- 18$	$108$	$- 135$
		$3$	$- 3$
	$1$	$- 1$	$- 21$

Schritt 6.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 21)$ mit dem Divisor $(3)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 63)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(108)$ .

$3$	$1$	$- 4$	$- 18$	$108$	$- 135$
		$3$	$- 3$	$- 63$
	$1$	$- 1$	$- 21$

Schritt 6.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$3$	$1$	$- 4$	$- 18$	$108$	$- 135$
		$3$	$- 3$	$- 63$
	$1$	$- 1$	$- 21$	$45$

Schritt 6.9

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(45)$ mit dem Divisor $(3)$ und schreibe das Ergebnis von $(135)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 135)$ .

$3$	$1$	$- 4$	$- 18$	$108$	$- 135$
		$3$	$- 3$	$- 63$	$135$
	$1$	$- 1$	$- 21$	$45$

Schritt 6.10

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$3$	$1$	$- 4$	$- 18$	$108$	$- 135$
		$3$	$- 3$	$- 63$	$135$
	$1$	$- 1$	$- 21$	$45$	$0$

Schritt 6.11

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$1 x^{3} + - 1 x^{2} + (- 21) x + 45$

Schritt 6.12

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$x^{3} - x^{2} - 21 x + 45$

Schritt 7

Löse die Gleichung, um sämtliche verbleibenden Wurzeln zu ermitteln.

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Schritt 7.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 7.1.1

Faktorisiere $x^{3} - x^{2} - 21 x + 45$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 7.1.1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 45, \pm 3, \pm 15, \pm 5, \pm 9$

$q = \pm 1$

Schritt 7.1.1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 45, \pm 3, \pm 15, \pm 5, \pm 9$

Schritt 7.1.1.3

Setze $3$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $3$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 7.1.1.3.1

Setze $3$ in das Polynom ein.

$3^{3} - 3^{2} - 21 \cdot 3 + 45$

Schritt 7.1.1.3.2

Potenziere $3$ mit $3$ .

$27 - 3^{2} - 21 \cdot 3 + 45$

Schritt 7.1.1.3.3

Potenziere $3$ mit $2$ .

$27 - 1 \cdot 9 - 21 \cdot 3 + 45$

Schritt 7.1.1.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$27 - 9 - 21 \cdot 3 + 45$

Schritt 7.1.1.3.5

Subtrahiere $9$ von $27$ .

$18 - 21 \cdot 3 + 45$

Schritt 7.1.1.3.6

Mutltipliziere $- 21$ mit $3$ .

$18 - 63 + 45$

Schritt 7.1.1.3.7

Subtrahiere $63$ von $18$ .

$- 45 + 45$

Schritt 7.1.1.3.8

Addiere $- 45$ und $45$ .

$0$

Schritt 7.1.1.4

Da $3$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x - 3$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{x^{3} - x^{2} - 21 x + 45}{x - 3}$

Schritt 7.1.1.5

Dividiere $x^{3} - x^{2} - 21 x + 45$ durch $x - 3$ .

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Schritt 7.1.1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$3$

$x^{3}$

$x^{2}$

$21 x$

$45$

Schritt 7.1.1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$21 x$	+	$45$

Schritt 7.1.1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$21 x$	+	$45$
			+	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$

Schritt 7.1.1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{3} - 3 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$21 x$	+	$45$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$

Schritt 7.1.1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$21 x$	+	$45$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$

Schritt 7.1.1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$21 x$	+	$45$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$21 x$

Schritt 7.1.1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $2 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$21 x$	+	$45$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$21 x$

Schritt 7.1.1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$21 x$	+	$45$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$21 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$6 x$

Schritt 7.1.1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $2 x^{2} - 6 x$

				$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$21 x$	+	$45$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$21 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$6 x$

Schritt 7.1.1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$21 x$	+	$45$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$21 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$6 x$
							-	$15 x$

Schritt 7.1.1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$21 x$	+	$45$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$21 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$6 x$
							-	$15 x$	+	$45$

Schritt 7.1.1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 15 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	+	$2 x$	-	$15$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$21 x$	+	$45$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$21 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$6 x$
							-	$15 x$	+	$45$

Schritt 7.1.1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	+	$2 x$	-	$15$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$21 x$	+	$45$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$21 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$6 x$
							-	$15 x$	+	$45$
							-	$15 x$	+	$45$

Schritt 7.1.1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 15 x + 45$

				$x^{2}$	+	$2 x$	-	$15$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$21 x$	+	$45$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$21 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$6 x$
							-	$15 x$	+	$45$
							+	$15 x$	-	$45$

Schritt 7.1.1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	+	$2 x$	-	$15$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$21 x$	+	$45$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$21 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$6 x$
							-	$15 x$	+	$45$
							+	$15 x$	-	$45$
										$0$

Schritt 7.1.1.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$x^{2} + 2 x - 15$

Schritt 7.1.1.6

Schreibe $x^{3} - x^{2} - 21 x + 45$ als eine Menge von Faktoren.

$(x - 3) (x^{2} + 2 x - 15) = 0$

Schritt 7.1.2

Faktorisiere $x^{2} + 2 x - 15$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 7.1.2.1

Faktorisiere $x^{2} + 2 x - 15$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 7.1.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 15$ und deren Summe $2$ ist.

$- 3, 5$

Schritt 7.1.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x - 3) ((x - 3) (x + 5)) = 0$

Schritt 7.1.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x - 3) (x - 3) (x + 5) = 0$

Schritt 7.1.3

Fasse gleichartig Faktoren zusammen.

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Schritt 7.1.3.1

Potenziere $x - 3$ mit $1$ .

$(x - 3) (x - 3) (x + 5) = 0$

Schritt 7.1.3.2

Potenziere $x - 3$ mit $1$ .

$(x - 3) (x - 3) (x + 5) = 0$

Schritt 7.1.3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

${(x - 3)}^{1 + 1} (x + 5) = 0$

Schritt 7.1.3.4

Addiere $1$ und $1$ .

${(x - 3)}^{2} (x + 5) = 0$

Schritt 7.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

${(x - 3)}^{2} = 0$

$x + 5 = 0$

Schritt 7.3

Setze ${(x - 3)}^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.3.1

Setze ${(x - 3)}^{2}$ gleich $0$ .

${(x - 3)}^{2} = 0$

Schritt 7.3.2

Löse ${(x - 3)}^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 7.3.2.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 7.3.2.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 7.4

Setze $x + 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.4.1

Setze $x + 5$ gleich $0$ .

$x + 5 = 0$

Schritt 7.4.2

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 5$

Schritt 7.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die ${(x - 3)}^{2} (x + 5) = 0$ wahr machen.

$x = 3, - 5$

Schritt 8

Das Polynom kann als ein Satz Linearfaktoren geschrieben werden.

$(x - 3) (x + 5)$

Schritt 9

Das sind die Wurzeln des Polynoms $x^{4} - 4 x^{3} - 18 x^{2} + 108 x - 135$ .

$x = 3, - 5$

Schritt 10