Algebra Beispiele

$f (x) = x^{4} + 12 x^{3} - 15 x^{2} - 24 x + 26$

Schritt 1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 13, \pm 26$

$q = \pm 1$

Schritt 2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 2, \pm 13, \pm 26$

Schritt 3

Setze die möglichen Wurzeln eine nach der anderen in das Polynom ein, um die tatsächlichen Wurzeln zu ermitteln. Vereinfache, um zu prüfen, ob der Wert gleich $0$ ist, was bedeutet, dass er eine Wurzel ist.

${(1)}^{4} + 12 {(1)}^{3} - 15 {(1)}^{2} - 24 \cdot 1 + 26$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $x = 1$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$1 + 12 {(1)}^{3} - 15 {(1)}^{2} - 24 \cdot 1 + 26$

Schritt 4.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$1 + 12 \cdot 1 - 15 {(1)}^{2} - 24 \cdot 1 + 26$

Schritt 4.1.3

Mutltipliziere $12$ mit $1$ .

$1 + 12 - 15 {(1)}^{2} - 24 \cdot 1 + 26$

Schritt 4.1.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$1 + 12 - 15 \cdot 1 - 24 \cdot 1 + 26$

Schritt 4.1.5

Mutltipliziere $- 15$ mit $1$ .

$1 + 12 - 15 - 24 \cdot 1 + 26$

Schritt 4.1.6

Mutltipliziere $- 24$ mit $1$ .

$1 + 12 - 15 - 24 + 26$

Schritt 4.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 4.2.1

Addiere $1$ und $12$ .

$13 - 15 - 24 + 26$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere $15$ von $13$ .

$- 2 - 24 + 26$

Schritt 4.2.3

Subtrahiere $24$ von $- 2$ .

$- 26 + 26$

Schritt 4.2.4

Addiere $- 26$ und $26$ .

$0$

Schritt 5

Da $1$ eine bekannte Wurzel ist, teile das Polynom durch $x - 1$ , um das Quotientenpolynom zu ermitteln. Dieses Polynom kann dann benutzt werden, um die verbleibenden Wurzeln zu finden.

$\frac{x^{4} + 12 x^{3} - 15 x^{2} - 24 x + 26}{x - 1}$

Schritt 6

Als Nächstes bestimme die Wurzeln des verbleibenden Polynoms. Der Grad des Polynoms ist um $1$ reduziert worden.

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Schritt 6.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$1$	$1$	$12$	$- 15$	$- 24$	$26$

Schritt 6.2

Die erste Zahl im Dividenden $(1)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$1$	$1$	$12$	$- 15$	$- 24$	$26$

	$1$

Schritt 6.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(1)$ mit dem Divisor $(1)$ und schreibe das Ergebnis von $(1)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(12)$ .

$1$	$1$	$12$	$- 15$	$- 24$	$26$
		$1$
	$1$

Schritt 6.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$1$	$1$	$12$	$- 15$	$- 24$	$26$
		$1$
	$1$	$13$

Schritt 6.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(13)$ mit dem Divisor $(1)$ und schreibe das Ergebnis von $(13)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 15)$ .

$1$	$1$	$12$	$- 15$	$- 24$	$26$
		$1$	$13$
	$1$	$13$

Schritt 6.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$1$	$1$	$12$	$- 15$	$- 24$	$26$
		$1$	$13$
	$1$	$13$	$- 2$

Schritt 6.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 2)$ mit dem Divisor $(1)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 2)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 24)$ .

$1$	$1$	$12$	$- 15$	$- 24$	$26$
		$1$	$13$	$- 2$
	$1$	$13$	$- 2$

Schritt 6.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$1$	$1$	$12$	$- 15$	$- 24$	$26$
		$1$	$13$	$- 2$
	$1$	$13$	$- 2$	$- 26$

Schritt 6.9

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 26)$ mit dem Divisor $(1)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 26)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(26)$ .

$1$	$1$	$12$	$- 15$	$- 24$	$26$
		$1$	$13$	$- 2$	$- 26$
	$1$	$13$	$- 2$	$- 26$

Schritt 6.10

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$1$	$1$	$12$	$- 15$	$- 24$	$26$
		$1$	$13$	$- 2$	$- 26$
	$1$	$13$	$- 2$	$- 26$	$0$

Schritt 6.11

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$1 x^{3} + 13 x^{2} + (- 2) x - 26$

Schritt 6.12

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$x^{3} + 13 x^{2} - 2 x - 26$

Schritt 7

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 7.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(x - 1) (x^{3} + 13 x^{2}) - 2 x - 26$

Schritt 7.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$(x - 1) + x^{2} (x + 13) - 2 (x + 13)$

$(x - 1) x^{2} (x + 13) - 2 (x + 13)$

Schritt 8

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $x + 13$ .

$(x - 1) (x + 13) (x^{2} - 2)$

Schritt 9

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 9.1

Gruppiere die Terme um.

$12 x^{3} - 24 x + x^{4} - 15 x^{2} + 26 = 0$

Schritt 9.2

Faktorisiere $12 x$ aus $12 x^{3} - 24 x$ heraus.

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Schritt 9.2.1

Faktorisiere $12 x$ aus $12 x^{3}$ heraus.

$12 x (x^{2}) - 24 x + x^{4} - 15 x^{2} + 26 = 0$

Schritt 9.2.2

Faktorisiere $12 x$ aus $- 24 x$ heraus.

$12 x (x^{2}) + 12 x (- 2) + x^{4} - 15 x^{2} + 26 = 0$

Schritt 9.2.3

Faktorisiere $12 x$ aus $12 x (x^{2}) + 12 x (- 2)$ heraus.

$12 x (x^{2} - 2) + x^{4} - 15 x^{2} + 26 = 0$

Schritt 9.3

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$12 x (x^{2} - 2) + {(x^{2})}^{2} - 15 x^{2} + 26 = 0$

Schritt 9.4

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$12 x (x^{2} - 2) + u^{2} - 15 u + 26 = 0$

Schritt 9.5

Faktorisiere $u^{2} - 15 u + 26$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 9.5.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $26$ und deren Summe $- 15$ ist.

$- 13, - 2$

Schritt 9.5.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$12 x (x^{2} - 2) + (u - 13) (u - 2) = 0$

Schritt 9.6

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$12 x (x^{2} - 2) + (x^{2} - 13) (x^{2} - 2) = 0$

Schritt 9.7

Faktorisiere $x^{2} - 2$ aus $12 x (x^{2} - 2) + (x^{2} - 13) (x^{2} - 2)$ heraus.

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Schritt 9.7.1

Faktorisiere $x^{2} - 2$ aus $12 x (x^{2} - 2)$ heraus.

$(x^{2} - 2) (12 x) + (x^{2} - 13) (x^{2} - 2) = 0$

Schritt 9.7.2

Faktorisiere $x^{2} - 2$ aus $(x^{2} - 13) (x^{2} - 2)$ heraus.

$(x^{2} - 2) (12 x) + (x^{2} - 2) (x^{2} - 13) = 0$

Schritt 9.7.3

Faktorisiere $x^{2} - 2$ aus $(x^{2} - 2) (12 x) + (x^{2} - 2) (x^{2} - 13)$ heraus.

$(x^{2} - 2) (12 x + x^{2} - 13) = 0$

Schritt 9.8

Es sei $u = x$ . Ersetze $u$ für alle $x$ .

$(x^{2} - 2) (12 u + u^{2} - 13) = 0$

Schritt 9.9

Faktorisiere $12 u + u^{2} - 13$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 9.9.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 13$ und deren Summe $12$ ist.

$- 1, 13$

Schritt 9.9.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x^{2} - 2) ((u - 1) (u + 13)) = 0$

Schritt 9.10

Faktorisiere.

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Schritt 9.10.1

Ersetze alle $u$ durch $x$ .

$(x^{2} - 2) ((x - 1) (x + 13)) = 0$

Schritt 9.10.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x^{2} - 2) (x - 1) (x + 13) = 0$

Schritt 10

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{2} - 2 = 0$

$x - 1 = 0$

$x + 13 = 0$

Schritt 11

Setze $x^{2} - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 11.1

Setze $x^{2} - 2$ gleich $0$ .

$x^{2} - 2 = 0$

Schritt 11.2

Löse $x^{2} - 2 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 11.2.1

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = 2$

Schritt 11.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{2}$

Schritt 11.2.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 11.2.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \sqrt{2}$

Schritt 11.2.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \sqrt{2}$

Schritt 11.2.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Schritt 12

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 12.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 12.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 13

Setze $x + 13$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 13.1

Setze $x + 13$ gleich $0$ .

$x + 13 = 0$

Schritt 13.2

Subtrahiere $13$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 13$

Schritt 14

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x^{2} - 2) (x - 1) (x + 13) = 0$ wahr machen.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}, 1, - 13$

Schritt 15

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}, 1, - 13$

Dezimalform:

$x = 1.41421356 \dots, - 1.41421356 \dots, 1, - 13$

Schritt 16