Algebra Beispiele

$x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 25$

Schritt 1

Subtrahiere $x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

${(y - 1)}^{2} = 25 - x^{2}$

Schritt 2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y - 1 = \pm \sqrt{25 - x^{2}}$

Schritt 3

Vereinfache $\pm \sqrt{25 - x^{2}}$ .

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Schritt 3.1

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$y - 1 = \pm \sqrt{5^{2} - x^{2}}$

Schritt 3.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 5$ und $b = x$ .

$y - 1 = \pm \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

Schritt 4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y - 1 = \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

Schritt 4.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = \sqrt{(5 + x) (5 - x)} + 1$

Schritt 4.3

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y - 1 = - \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

Schritt 4.4

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = - \sqrt{(5 + x) (5 - x)} + 1$

Schritt 4.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \sqrt{(5 + x) (5 - x)} + 1$

$y = - \sqrt{(5 + x) (5 - x)} + 1$

$y = \sqrt{(5 + x) (5 - x)} + 1$

$y = - \sqrt{(5 + x) (5 - x)} + 1$

Schritt 5

Setze den Radikanden in $\sqrt{(5 + x) (5 - x)}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$(5 + x) (5 - x) \geq 0$

Schritt 6

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$5 + x = 0$

$5 - x = 0$

Schritt 6.2

Setze $5 + x$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.2.1

Setze $5 + x$ gleich $0$ .

$5 + x = 0$

Schritt 6.2.2

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 5$

Schritt 6.3

Setze $5 - x$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.3.1

Setze $5 - x$ gleich $0$ .

$5 - x = 0$

Schritt 6.3.2

Löse $5 - x = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.3.2.1

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = - 5$

Schritt 6.3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 5$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 6.3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 5$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 5}{- 1}$

Schritt 6.3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- 5}{- 1}$

Schritt 6.3.2.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 5}{- 1}$

Schritt 6.3.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.2.2.3.1

Dividiere $- 5$ durch $- 1$ .

$x = 5$

Schritt 6.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(5 + x) (5 - x) \geq 0$ wahr machen.

$x = - 5, 5$

Schritt 6.5

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 5$

$- 5 < x < 5$

$x > 5$

Schritt 6.6

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 6.6.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 5$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 6.6.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 5$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 8$

Schritt 6.6.1.2

Ersetze $x$ durch $- 8$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$(5 - 8) (5 - (- 8)) \geq 0$

Schritt 6.6.1.3

Die linke Seite $- 39$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 6.6.2

Teste einen Wert im Intervall $- 5 < x < 5$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 6.6.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 5 < x < 5$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 6.6.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$(5 + 0) (5 - (0)) \geq 0$

Schritt 6.6.2.3

Die linke Seite $25$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 6.6.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 5$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 6.6.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 5$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 8$

Schritt 6.6.3.2

Ersetze $x$ durch $8$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$(5 + 8) (5 - (8)) \geq 0$

Schritt 6.6.3.3

Die linke Seite $- 39$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 6.6.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 5$ Falsch

$- 5 < x < 5$ Wahr

$x > 5$ Falsch

$x < - 5$ Falsch

$- 5 < x < 5$ Wahr

$x > 5$ Falsch

Schritt 6.7

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$- 5 \leq x \leq 5$

Schritt 7

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$[- 5, 5]$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | - 5 \leq x \leq 5}$

Schritt 8