Algebra Beispiele

$x^{2} - 6 x + 5 y = - 34$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 1.1

Isoliere $y$ auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1.1

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1.1.1

Subtrahiere $x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 6 x + 5 y = - 34 - x^{2}$

Schritt 1.1.1.2

Addiere $6 x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$5 y = - 34 - x^{2} + 6 x$

Schritt 1.1.2

Teile jeden Ausdruck in $5 y = - 34 - x^{2} + 6 x$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 1.1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $5 y = - 34 - x^{2} + 6 x$ durch $5$ .

$\frac{5 y}{5} = \frac{- 34}{5} + \frac{- x^{2}}{5} + \frac{6 x}{5}$

Schritt 1.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 1.1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 y}{5} = \frac{- 34}{5} + \frac{- x^{2}}{5} + \frac{6 x}{5}$

Schritt 1.1.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{- 34}{5} + \frac{- x^{2}}{5} + \frac{6 x}{5}$

Schritt 1.1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.3.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{34}{5} + \frac{- x^{2}}{5} + \frac{6 x}{5}$

Schritt 1.1.2.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{34}{5} - \frac{x^{2}}{5} + \frac{6 x}{5}$

Schritt 1.2

Wende die quadratische Ergänzung auf $- \frac{34}{5} - \frac{x^{2}}{5} + \frac{6 x}{5}$ an.

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Schritt 1.2.1

Bewege $- \frac{34}{5}$ .

$- \frac{x^{2}}{5} + \frac{6 x}{5} - \frac{34}{5}$

Schritt 1.2.2

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = - \frac{1}{5}$

$b = \frac{6}{5}$

$c = - \frac{34}{5}$

Schritt 1.2.3

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.2.4

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.2.4.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{\frac{6}{5}}{2 (- \frac{1}{5})}$

Schritt 1.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.2.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$d = \frac{6}{5} \cdot \frac{1}{2 (- \frac{1}{5})}$

Schritt 1.2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.4.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$d = \frac{2 (3)}{5} \cdot \frac{1}{2 (- \frac{1}{5})}$

Schritt 1.2.4.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot 3}{5} \cdot \frac{1}{2 (- \frac{1}{5})}$

Schritt 1.2.4.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{- \frac{1}{5}}$

Schritt 1.2.4.2.3

Mutltipliziere $\frac{3}{5}$ mit $\frac{1}{- \frac{1}{5}}$ .

$d = \frac{3}{5 (- \frac{1}{5})}$

Schritt 1.2.4.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$d = \frac{3}{- 5 (\frac{1}{5})}$

Schritt 1.2.4.2.5

Kombiniere $- 5$ und $\frac{1}{5}$ .

$d = \frac{3}{\frac{- 5}{5}}$

Schritt 1.2.4.2.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 5$ und $5$ .

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Schritt 1.2.4.2.6.1

Faktorisiere $5$ aus $- 5$ heraus.

$d = \frac{3}{\frac{5 \cdot - 1}{5}}$

Schritt 1.2.4.2.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.4.2.6.2.1

Faktorisiere $5$ aus $5$ heraus.

$d = \frac{3}{\frac{5 \cdot - 1}{5 (1)}}$

Schritt 1.2.4.2.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{3}{\frac{5 \cdot - 1}{5 \cdot 1}}$

Schritt 1.2.4.2.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{3}{\frac{- 1}{1}}$

Schritt 1.2.4.2.6.2.4

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$d = \frac{3}{- 1}$

Schritt 1.2.4.2.7

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{3}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 3$

Schritt 1.2.4.2.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$d = - 3$

Schritt 1.2.5

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.2.5.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = - \frac{34}{5} - \frac{{(\frac{6}{5})}^{2}}{4 (- \frac{1}{5})}$

Schritt 1.2.5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.5.2.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.5.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{6}{5}$ an.

$e = - \frac{34}{5} - \frac{\frac{6^{2}}{5^{2}}}{4 (- \frac{1}{5})}$

Schritt 1.2.5.2.1.1.2

Potenziere $6$ mit $2$ .

$e = - \frac{34}{5} - \frac{\frac{36}{5^{2}}}{4 (- \frac{1}{5})}$

Schritt 1.2.5.2.1.1.3

Potenziere $5$ mit $2$ .

$e = - \frac{34}{5} - \frac{\frac{36}{25}}{4 (- \frac{1}{5})}$

Schritt 1.2.5.2.1.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.2.5.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$e = - \frac{34}{5} - \frac{\frac{36}{25}}{- 4 (\frac{1}{5})}$

Schritt 1.2.5.2.1.2.2

Kombiniere $- 4$ und $\frac{1}{5}$ .

$e = - \frac{34}{5} - \frac{\frac{36}{25}}{\frac{- 4}{5}}$

Schritt 1.2.5.2.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e = - \frac{34}{5} - \frac{\frac{36}{25}}{- \frac{4}{5}}$

Schritt 1.2.5.2.1.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$e = - \frac{34}{5} - (\frac{36}{25} (- \frac{5}{4}))$

Schritt 1.2.5.2.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 1.2.5.2.1.5.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{5}{4}$ in den Zähler.

$e = - \frac{34}{5} - (\frac{36}{25} \cdot \frac{- 5}{4})$

Schritt 1.2.5.2.1.5.2

Faktorisiere $4$ aus $36$ heraus.

$e = - \frac{34}{5} - (\frac{4 (9)}{25} \cdot \frac{- 5}{4})$

Schritt 1.2.5.2.1.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = - \frac{34}{5} - (\frac{4 \cdot 9}{25} \cdot \frac{- 5}{4})$

Schritt 1.2.5.2.1.5.4

Forme den Ausdruck um.

$e = - \frac{34}{5} - (\frac{9}{25} \cdot - 5)$

Schritt 1.2.5.2.1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 1.2.5.2.1.6.1

Faktorisiere $5$ aus $25$ heraus.

$e = - \frac{34}{5} - (\frac{9}{5 (5)} \cdot - 5)$

Schritt 1.2.5.2.1.6.2

Faktorisiere $5$ aus $- 5$ heraus.

$e = - \frac{34}{5} - (\frac{9}{5 \cdot 5} \cdot (5 \cdot - 1))$

Schritt 1.2.5.2.1.6.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = - \frac{34}{5} - (\frac{9}{5 \cdot 5} \cdot (5 \cdot - 1))$

Schritt 1.2.5.2.1.6.4

Forme den Ausdruck um.

$e = - \frac{34}{5} - (\frac{9}{5} \cdot - 1)$

Schritt 1.2.5.2.1.7

Kombiniere $\frac{9}{5}$ und $- 1$ .

$e = - \frac{34}{5} - \frac{9 \cdot - 1}{5}$

Schritt 1.2.5.2.1.8

Mutltipliziere $9$ mit $- 1$ .

$e = - \frac{34}{5} - \frac{- 9}{5}$

Schritt 1.2.5.2.1.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e = - \frac{34}{5} - - \frac{9}{5}$

Schritt 1.2.5.2.1.10

Multipliziere $- - \frac{9}{5}$ .

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Schritt 1.2.5.2.1.10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$e = - \frac{34}{5} + 1 (\frac{9}{5})$

Schritt 1.2.5.2.1.10.2

Mutltipliziere $\frac{9}{5}$ mit $1$ .

$e = - \frac{34}{5} + \frac{9}{5}$

Schritt 1.2.5.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$e = \frac{- 34 + 9}{5}$

Schritt 1.2.5.2.3

Addiere $- 34$ und $9$ .

$e = \frac{- 25}{5}$

Schritt 1.2.5.2.4

Dividiere $- 25$ durch $5$ .

$e = - 5$

Schritt 1.2.6

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $- \frac{1}{5} {(x - 3)}^{2} - 5$ ein.

$- \frac{1}{5} {(x - 3)}^{2} - 5$

Schritt 1.3

Setze $y$ gleich der neuen rechten Seite.

$y = - \frac{1}{5} \cdot {(x - 3)}^{2} - 5$

Schritt 2

Benutze die Scheitelpunktform, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = - \frac{1}{5}$

$h = 3$

$k = - 5$

Schritt 3

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(3, - 5)$

Schritt 4

Berechne $p$ , den Abstand vom Scheitelpunkt zum Brennpunkt.

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Schritt 4.1

Ermittle den Abstand vom Scheitelpunkt zu einem Brennpunkt der Parabel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\frac{1}{4 a}$

Schritt 4.2

Setze den Wert von $a$ in die Formel ein.

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{1}{5})}$

Schritt 4.3

Vereinfache.

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Schritt 4.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1$ und $- 1$ .

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Schritt 4.3.1.1

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{1}{5})}$

Schritt 4.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{4 (\frac{1}{5})}$

Schritt 4.3.2

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{5}$ .

$- \frac{1}{\frac{4}{5}}$

Schritt 4.3.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$- (1 (\frac{5}{4}))$

Schritt 4.3.4

Mutltipliziere $\frac{5}{4}$ mit $1$ .

$- \frac{5}{4}$

Schritt 5

Ermittle den Brennpunkt.

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Schritt 5.1

Der Brennpunkt einer Parabel kann durch Addieren von $p$ zur y-Koordinate $k$ ermittelt werden, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$(h, k + p)$

Schritt 5.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(3, - \frac{25}{4})$

Schritt 6