Algebra Beispiele

${(a x + b y)}^{3}$

Schritt 1

Wende den binomischen Lehrsatz an, um jeden Term zu bestimmen. Der binomische Lehrsatz sagt ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ .

$\sum_{k = 0}^{3} \frac{3!}{(3 - k)! k!} \cdot {(a x)}^{3 - k} \cdot {(b y)}^{k}$

Schritt 2

Multipliziere die Summe aus.

$\frac{3!}{(3 - 0)! 0!} \cdot {(a x)}^{3 - 0} \cdot {(b y)}^{0} + \frac{3!}{(3 - 1)! 1!} \cdot {(a x)}^{3 - 1} \cdot {(b y)}^{1} + \frac{3!}{(3 - 2)! 2!} \cdot {(a x)}^{3 - 2} \cdot {(b y)}^{2} + \frac{3!}{(3 - 3)! 3!} \cdot {(a x)}^{3 - 3} \cdot {(b y)}^{3}$

Schritt 3

Vereinfache die Exponenten für jeden Term der Expansion.

$1 \cdot {(a x)}^{3} \cdot {(b y)}^{0} + 3 \cdot {(a x)}^{2} \cdot {(b y)}^{1} + 3 \cdot {(a x)}^{1} \cdot {(b y)}^{2} + 1 \cdot {(a x)}^{0} \cdot {(b y)}^{3}$

Schritt 4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere ${(a x)}^{3}$ mit $1$ .

${(a x)}^{3} \cdot {(b y)}^{0} + 3 \cdot {(a x)}^{2} \cdot {(b y)}^{1} + 3 \cdot {(a x)}^{1} \cdot {(b y)}^{2} + 1 \cdot {(a x)}^{0} \cdot {(b y)}^{3}$

Schritt 4.2

Wende die Produktregel auf $a x$ an.

$a^{3} x^{3} \cdot {(b y)}^{0} + 3 \cdot {(a x)}^{2} \cdot {(b y)}^{1} + 3 \cdot {(a x)}^{1} \cdot {(b y)}^{2} + 1 \cdot {(a x)}^{0} \cdot {(b y)}^{3}$

Schritt 4.3

Wende die Produktregel auf $b y$ an.

$a^{3} x^{3} \cdot (b^{0} y^{0}) + 3 \cdot {(a x)}^{2} \cdot {(b y)}^{1} + 3 \cdot {(a x)}^{1} \cdot {(b y)}^{2} + 1 \cdot {(a x)}^{0} \cdot {(b y)}^{3}$

Schritt 4.4

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$a^{3} x^{3} \cdot (1 y^{0}) + 3 \cdot {(a x)}^{2} \cdot {(b y)}^{1} + 3 \cdot {(a x)}^{1} \cdot {(b y)}^{2} + 1 \cdot {(a x)}^{0} \cdot {(b y)}^{3}$

Schritt 4.5

Mutltipliziere $y^{0}$ mit $1$ .

$a^{3} x^{3} \cdot y^{0} + 3 \cdot {(a x)}^{2} \cdot {(b y)}^{1} + 3 \cdot {(a x)}^{1} \cdot {(b y)}^{2} + 1 \cdot {(a x)}^{0} \cdot {(b y)}^{3}$

Schritt 4.6

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$a^{3} x^{3} \cdot 1 + 3 \cdot {(a x)}^{2} \cdot {(b y)}^{1} + 3 \cdot {(a x)}^{1} \cdot {(b y)}^{2} + 1 \cdot {(a x)}^{0} \cdot {(b y)}^{3}$

Schritt 4.7

Mutltipliziere $a^{3}$ mit $1$ .

$a^{3} x^{3} + 3 \cdot {(a x)}^{2} \cdot {(b y)}^{1} + 3 \cdot {(a x)}^{1} \cdot {(b y)}^{2} + 1 \cdot {(a x)}^{0} \cdot {(b y)}^{3}$

Schritt 4.8

Wende die Produktregel auf $a x$ an.

$a^{3} x^{3} + 3 \cdot (a^{2} x^{2}) \cdot {(b y)}^{1} + 3 \cdot {(a x)}^{1} \cdot {(b y)}^{2} + 1 \cdot {(a x)}^{0} \cdot {(b y)}^{3}$

Schritt 4.9

Vereinfache.

$a^{3} x^{3} + 3 a^{2} x^{2} \cdot (b y) + 3 \cdot {(a x)}^{1} \cdot {(b y)}^{2} + 1 \cdot {(a x)}^{0} \cdot {(b y)}^{3}$

Schritt 4.10

Vereinfache.

$a^{3} x^{3} + 3 a^{2} x^{2} b y + 3 \cdot (a x) \cdot {(b y)}^{2} + 1 \cdot {(a x)}^{0} \cdot {(b y)}^{3}$

Schritt 4.11

Wende die Produktregel auf $b y$ an.

$a^{3} x^{3} + 3 a^{2} x^{2} b y + 3 a x \cdot (b^{2} y^{2}) + 1 \cdot {(a x)}^{0} \cdot {(b y)}^{3}$

Schritt 4.12

Mutltipliziere ${(a x)}^{0}$ mit $1$ .

$a^{3} x^{3} + 3 a^{2} x^{2} b y + 3 a x b^{2} y^{2} + {(a x)}^{0} \cdot {(b y)}^{3}$

Schritt 4.13

Wende die Produktregel auf $a x$ an.

$a^{3} x^{3} + 3 a^{2} x^{2} b y + 3 a x b^{2} y^{2} + a^{0} x^{0} \cdot {(b y)}^{3}$

Schritt 4.14

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$a^{3} x^{3} + 3 a^{2} x^{2} b y + 3 a x b^{2} y^{2} + 1 x^{0} \cdot {(b y)}^{3}$

Schritt 4.15

Mutltipliziere $x^{0}$ mit $1$ .

$a^{3} x^{3} + 3 a^{2} x^{2} b y + 3 a x b^{2} y^{2} + x^{0} \cdot {(b y)}^{3}$

Schritt 4.16

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$a^{3} x^{3} + 3 a^{2} x^{2} b y + 3 a x b^{2} y^{2} + 1 \cdot {(b y)}^{3}$

Schritt 4.17

Mutltipliziere ${(b y)}^{3}$ mit $1$ .

$a^{3} x^{3} + 3 a^{2} x^{2} b y + 3 a x b^{2} y^{2} + {(b y)}^{3}$

Schritt 4.18

Wende die Produktregel auf $b y$ an.

$a^{3} x^{3} + 3 a^{2} x^{2} b y + 3 a x b^{2} y^{2} + b^{3} y^{3}$