Algebra Beispiele

$y = \frac{x^{2} - 4}{x - 2}$

Schritt 1

Ermittle, wo der Ausdruck $\frac{x^{2} - 4}{x - 2}$ nicht definiert ist.

$x = 2$

Schritt 2

Die vertikalen Asymptoten treten in Bereichen einer unendlichen Unstetigkeit auf.

Keine vertikalen Asymptoten

Schritt 3

Betrachte die rationale Funktion $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , wobei $n$ der Grad des Zählers und $m$ der Grad des Nenners ist.

1. Wenn $n < m$ , dann ist die x-Achse, $y = 0$ , die horizontale Asymptote.

2. Wenn $n = m$ , dann ist die horizontale Asymptote die Gerade $y = \frac{a}{b}$ .

3. Wenn $n > m$ , dann gibt es keine horizontale Asymptote (es gibt eine schiefe Asymptote).

Schritt 4

Ermittle $n$ und $m$ .

$n = 2$

$m = 1$

Schritt 5

Da $n > m$ , gibt es keine horizontale Asymptote.

Keine horizontalen Asymptoten

Schritt 6

Ermittle die schiefe Asymptote durch Polynomdivision.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.1.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{x^{2} - 2^{2}}{x - 2}$

Schritt 6.1.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

Schritt 6.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

Schritt 6.1.2.2

Dividiere $x + 2$ durch $1$ .

$x + 2$

Schritt 6.2

Die schiefe Asymptote ist der Polynomteil des Ergebnisses der schriftlichen Division.

$y = x + 2$

Schritt 7

Das ist die Menge aller Asymptoten.

Keine vertikalen Asymptoten

Keine horizontalen Asymptoten

Schiefe Asymptoten: $y = x + 2$

Schritt 8