Algebra Beispiele

$6^{\frac{1}{3}} \cdot 6^{\frac{1}{4}} = 6^{\frac{x}{y}}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $6^{\frac{x}{y}} = 6^{\frac{1}{3}} \cdot 6^{\frac{1}{4}}$ um.

$6^{\frac{x}{y}} = 6^{\frac{1}{3}} \cdot 6^{\frac{1}{4}}$

Schritt 2

Multipliziere $6^{\frac{1}{3}}$ mit $6^{\frac{1}{4}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$6^{\frac{x}{y}} = 6^{\frac{1}{3} + \frac{1}{4}}$

Schritt 2.2

Um $\frac{1}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$6^{\frac{x}{y}} = 6^{\frac{1}{3} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{4}}$

Schritt 2.3

Um $\frac{1}{4}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$6^{\frac{x}{y}} = 6^{\frac{1}{3} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{3}}$

Schritt 2.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $12$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$6^{\frac{x}{y}} = 6^{\frac{4}{3 \cdot 4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{3}}$

Schritt 2.4.2

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$6^{\frac{x}{y}} = 6^{\frac{4}{12} + \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{3}}$

Schritt 2.4.3

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$6^{\frac{x}{y}} = 6^{\frac{4}{12} + \frac{3}{4 \cdot 3}}$

Schritt 2.4.4

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$6^{\frac{x}{y}} = 6^{\frac{4}{12} + \frac{3}{12}}$

Schritt 2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$6^{\frac{x}{y}} = 6^{\frac{4 + 3}{12}}$

Schritt 2.6

Addiere $4$ und $3$ .

$6^{\frac{x}{y}} = 6^{\frac{7}{12}}$

Schritt 3

Da die Basen gleich sind, sind zwei Ausdrücke nur dann gleich, wenn die Exponenten auch gleich sind.

$\frac{x}{y} = \frac{7}{12}$

Schritt 4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 4.1

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 4.1.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$y, 12$

Schritt 4.1.2

Since $y, 12$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 12$ then find LCM for the variable part $y^{1}$ .

Schritt 4.1.3

Das kgV ist die kleinste positive Zahl, die von all den Zahlen ohne Rest geteilt wird.

1. Notiere die Primfaktoren für jede Zahl.

2. Multipliziere jeden Faktor so oft, wie er maximal in einer der Zahlen vorkommt.

Schritt 4.1.4

Die Zahl $1$ ist keine Primzahl, da sie nur einen positiven Teiler hat, sich selbst.

Nicht prim

Schritt 4.1.5

Die Primfaktoren von $12$ sind $2 \cdot 2 \cdot 3$ .

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Schritt 4.1.5.1

$12$ hat Faktoren von $2$ und $6$ .

$2 \cdot 6$

Schritt 4.1.5.2

$6$ hat Faktoren von $2$ und $3$ .

$2 \cdot 2 \cdot 3$

Schritt 4.1.6

Multipliziere $2 \cdot 2 \cdot 3$ .

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Schritt 4.1.6.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 \cdot 3$

Schritt 4.1.6.2

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$12$

Schritt 4.1.7

Der Teiler von $y^{1}$ ist $y$ selbst.

$y^{1} = y$

$y$ occurs $1$ time.

Schritt 4.1.8

Das kgV von $y^{1}$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einem der Terme vorkommen.

$y$

Schritt 4.1.9

Das kgV von $y, 12$ ist der numerische Teil $12$ multipliziert mit dem variablen Teil.

$12 y$

Schritt 4.2

Multipliziere jeden Term in $\frac{x}{y} = \frac{7}{12}$ mit $12 y$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 4.2.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{x}{y} = \frac{7}{12}$ mit $12 y$ .

$\frac{x}{y} (12 y) = \frac{7}{12} (12 y)$

Schritt 4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$12 \frac{x}{y} y = \frac{7}{12} (12 y)$

Schritt 4.2.2.2

Kombiniere $12$ und $\frac{x}{y}$ .

$\frac{12 x}{y} y = \frac{7}{12} (12 y)$

Schritt 4.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 4.2.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{12 x}{y} y = \frac{7}{12} (12 y)$

Schritt 4.2.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$12 x = \frac{7}{12} (12 y)$

Schritt 4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $12$ .

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Schritt 4.2.3.1.1

Faktorisiere $12$ aus $12 y$ heraus.

$12 x = \frac{7}{12} (12 (y))$

Schritt 4.2.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$12 x = \frac{7}{12} (12 y)$

Schritt 4.2.3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$12 x = 7 y$

Schritt 4.3

Löse die Gleichung.

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Schritt 4.3.1

Schreibe die Gleichung als $7 y = 12 x$ um.

$7 y = 12 x$

Schritt 4.3.2

Teile jeden Ausdruck in $7 y = 12 x$ durch $7$ und vereinfache.

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Schritt 4.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $7 y = 12 x$ durch $7$ .

$\frac{7 y}{7} = \frac{12 x}{7}$

Schritt 4.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 4.3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{7 y}{7} = \frac{12 x}{7}$

Schritt 4.3.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{12 x}{7}$

Schritt 5

Um als Funktion von $x$ neu zu schreiben, schreibe die Gleichung so, dass $y$ für sich auf einer Seite des Gleichheitszeichens ist und ein Ausdruck, der nur $x$ enthält, auf der anderen Seite ist.

$f (x) = \frac{12 x}{7}$