Algebra Beispiele

$x^{4} + 14 x^{3} + 14 x^{2} + 14 x + 13 = 0$

Schritt 1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Gruppiere die Terme um.

$14 x^{3} + 14 x^{2} + x^{4} + 14 x + 13 = 0$

Schritt 1.2

Faktorisiere $14 x^{2}$ aus $14 x^{3} + 14 x^{2}$ heraus.

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $14 x^{2}$ aus $14 x^{3}$ heraus.

$14 x^{2} (x) + 14 x^{2} + x^{4} + 14 x + 13 = 0$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere $14 x^{2}$ aus $14 x^{2}$ heraus.

$14 x^{2} (x) + 14 x^{2} (1) + x^{4} + 14 x + 13 = 0$

Schritt 1.2.3

Faktorisiere $14 x^{2}$ aus $14 x^{2} (x) + 14 x^{2} (1)$ heraus.

$14 x^{2} (x + 1) + x^{4} + 14 x + 13 = 0$

Schritt 1.3

Faktorisiere $x^{4} + 14 x + 13$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 1.3.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 13$

$q = \pm 1$

Schritt 1.3.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 13$

Schritt 1.3.3

Setze $- 1$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $- 1$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 1.3.3.1

Setze $- 1$ in das Polynom ein.

${(- 1)}^{4} + 14 \cdot - 1 + 13$

Schritt 1.3.3.2

Potenziere $- 1$ mit $4$ .

$1 + 14 \cdot - 1 + 13$

Schritt 1.3.3.3

Mutltipliziere $14$ mit $- 1$ .

$1 - 14 + 13$

Schritt 1.3.3.4

Subtrahiere $14$ von $1$ .

$- 13 + 13$

Schritt 1.3.3.5

Addiere $- 13$ und $13$ .

$0$

Schritt 1.3.4

Da $- 1$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x + 1$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{x^{4} + 14 x + 13}{x + 1}$

Schritt 1.3.5

Dividiere $x^{4} + 14 x + 13$ durch $x + 1$ .

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Schritt 1.3.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$14 x$

$13$

Schritt 1.3.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{4}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$14 x$

$13$

Schritt 1.3.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$14 x$

$13$

$x^{4}$

$x^{3}$

Schritt 1.3.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{4} + x^{3}$

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$14 x$

$13$

$x^{4}$

$x^{3}$

Schritt 1.3.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$14 x$

$13$

$x^{4}$

$x^{3}$

Schritt 1.3.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$14 x$

$13$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

Schritt 1.3.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$14 x$

$13$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

Schritt 1.3.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$14 x$

$13$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

Schritt 1.3.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- x^{3} - x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$14 x$

$13$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

Schritt 1.3.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$14 x$

$13$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

Schritt 1.3.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$14 x$

$13$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$14 x$

Schritt 1.3.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$14 x$

$13$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$14 x$

Schritt 1.3.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$14 x$

$13$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$14 x$

$x^{2}$

$x$

Schritt 1.3.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{2} + x$

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$14 x$

$13$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$14 x$

$x^{2}$

$x$

Schritt 1.3.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$14 x$

$13$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$14 x$

$x^{2}$

$x$

$13 x$

Schritt 1.3.5.16

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$14 x$

$13$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$14 x$

$x^{2}$

$x$

$13 x$

$13$

Schritt 1.3.5.17

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $13 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$13$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$14 x$

$13$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$14 x$

$x^{2}$

$x$

$13 x$

$13$

Schritt 1.3.5.18

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$13$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$14 x$

$13$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$14 x$

$x^{2}$

$x$

$13 x$

$13$

$13 x$

$13$

Schritt 1.3.5.19

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $13 x + 13$

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$13$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$14 x$

$13$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$14 x$

$x^{2}$

$x$

$13 x$

$13$

$13 x$

$13$

Schritt 1.3.5.20

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$13$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$14 x$

$13$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$14 x$

$x^{2}$

$x$

$13 x$

$13$

$13 x$

$13$

$0$

Schritt 1.3.5.21

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$x^{3} - x^{2} + x + 13$

Schritt 1.3.6

Schreibe $x^{4} + 14 x + 13$ als eine Menge von Faktoren.

$14 x^{2} (x + 1) + (x + 1) (x^{3} - x^{2} + x + 13) = 0$

Schritt 1.4

Faktorisiere $x + 1$ aus $14 x^{2} (x + 1) + (x + 1) (x^{3} - x^{2} + x + 13)$ heraus.

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Schritt 1.4.1

Faktorisiere $x + 1$ aus $14 x^{2} (x + 1)$ heraus.

$(x + 1) (14 x^{2}) + (x + 1) (x^{3} - x^{2} + x + 13) = 0$

Schritt 1.4.2

Faktorisiere $x + 1$ aus $(x + 1) (14 x^{2}) + (x + 1) (x^{3} - x^{2} + x + 13)$ heraus.

$(x + 1) (14 x^{2} + x^{3} - x^{2} + x + 13) = 0$

Schritt 1.5

Subtrahiere $x^{2}$ von $14 x^{2}$ .

$(x + 1) (x^{3} + 13 x^{2} + x + 13) = 0$

Schritt 1.6

Faktorisiere.

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Schritt 1.6.1

Schreibe $x^{3} + 13 x^{2} + x + 13$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 1.6.1.1

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.6.1.1.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(x + 1) ((x^{3} + 13 x^{2}) + x + 13) = 0$

Schritt 1.6.1.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$(x + 1) (x^{2} (x + 13) + 1 (x + 13)) = 0$

Schritt 1.6.1.2

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $x + 13$ .

$(x + 1) ((x + 13) (x^{2} + 1)) = 0$

Schritt 1.6.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x + 1) (x + 13) (x^{2} + 1) = 0$

Schritt 2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

$x + 13 = 0$

$x^{2} + 1 = 0$

Schritt 3

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 3.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 4

Setze $x + 13$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $x + 13$ gleich $0$ .

$x + 13 = 0$

Schritt 4.2

Subtrahiere $13$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 13$

Schritt 5

Setze $x^{2} + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $x^{2} + 1$ gleich $0$ .

$x^{2} + 1 = 0$

Schritt 5.2

Löse $x^{2} + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = - 1$

Schritt 5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Schritt 5.2.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \pm i$

Schritt 5.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 5.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = i$

Schritt 5.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - i$

Schritt 5.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = i, - i$

Schritt 6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x + 1) (x + 13) (x^{2} + 1) = 0$ wahr machen.

$x = - 1, - 13, i, - i$