Algebra Beispiele

$x^{4} - 48 x^{2} - 49$

Schritt 1

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ .

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Schritt 1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 7, \pm 49$

$q = \pm 1$

Schritt 1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 7, \pm 49$

Schritt 2

Wende die synthetische Division auf $\frac{x^{4} - 48 x^{2} - 49}{x - 7}$ an mit $x = 7$ .

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Schritt 2.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$7$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$

Schritt 2.2

Die erste Zahl im Dividenden $(1)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$7$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$

	$1$

Schritt 2.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(1)$ mit dem Divisor $(7)$ und schreibe das Ergebnis von $(7)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(0)$ .

$7$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$7$
	$1$

Schritt 2.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$7$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$7$
	$1$	$7$

Schritt 2.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(7)$ mit dem Divisor $(7)$ und schreibe das Ergebnis von $(49)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 48)$ .

$7$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$7$	$49$
	$1$	$7$

Schritt 2.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$7$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$7$	$49$
	$1$	$7$	$1$

Schritt 2.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(1)$ mit dem Divisor $(7)$ und schreibe das Ergebnis von $(7)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(0)$ .

$7$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$7$	$49$	$7$
	$1$	$7$	$1$

Schritt 2.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$7$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$7$	$49$	$7$
	$1$	$7$	$1$	$7$

Schritt 2.9

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(7)$ mit dem Divisor $(7)$ und schreibe das Ergebnis von $(49)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 49)$ .

$7$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$7$	$49$	$7$	$49$
	$1$	$7$	$1$	$7$

Schritt 2.10

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$7$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$7$	$49$	$7$	$49$
	$1$	$7$	$1$	$7$	$0$

Schritt 2.11

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$1 x^{3} + 7 x^{2} + (1) x + 7$

Schritt 2.12

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$x^{3} + 7 x^{2} + x + 7$

Schritt 3

Da $7 > 0$ und alle Vorzeichen in der unteren Zeile der synthetischen Division positiv sind, ist $7$ eine obere Schranke für die reellen Wurzeln der Funktion.

Obere Schranke: $7$

Schritt 4

Wende die synthetische Division auf $\frac{x^{4} - 48 x^{2} - 49}{x + 7}$ an mit $x = - 7$ .

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Schritt 4.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$- 7$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$

Schritt 4.2

Die erste Zahl im Dividenden $(1)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$- 7$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$

	$1$

Schritt 4.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(1)$ mit dem Divisor $(- 7)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 7)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(0)$ .

$- 7$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$- 7$
	$1$

Schritt 4.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 7$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$- 7$
	$1$	$- 7$

Schritt 4.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 7)$ mit dem Divisor $(- 7)$ und schreibe das Ergebnis von $(49)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 48)$ .

$- 7$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$- 7$	$49$
	$1$	$- 7$

Schritt 4.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 7$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$- 7$	$49$
	$1$	$- 7$	$1$

Schritt 4.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(1)$ mit dem Divisor $(- 7)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 7)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(0)$ .

$- 7$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$- 7$	$49$	$- 7$
	$1$	$- 7$	$1$

Schritt 4.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 7$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$- 7$	$49$	$- 7$
	$1$	$- 7$	$1$	$- 7$

Schritt 4.9

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 7)$ mit dem Divisor $(- 7)$ und schreibe das Ergebnis von $(49)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 49)$ .

$- 7$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$- 7$	$49$	$- 7$	$49$
	$1$	$- 7$	$1$	$- 7$

Schritt 4.10

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 7$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$- 7$	$49$	$- 7$	$49$
	$1$	$- 7$	$1$	$- 7$	$0$

Schritt 4.11

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$1 x^{3} + - 7 x^{2} + (1) x - 7$

Schritt 4.12

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$x^{3} - 7 x^{2} + x - 7$

Schritt 5

Da $- 7 < 0$ und die Vorzeichen in der unteren Zeile der synthetischen Division alternieren, ist $- 7$ eine untere Schranke für die reellen Wurzeln der Funktion.

Untere Schranke: $- 7$

Schritt 6

Wende die synthetische Division auf $\frac{x^{4} - 48 x^{2} - 49}{x - 49}$ an mit $x = 49$ .

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Schritt 6.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$49$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$

Schritt 6.2

Die erste Zahl im Dividenden $(1)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$49$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$

	$1$

Schritt 6.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(1)$ mit dem Divisor $(49)$ und schreibe das Ergebnis von $(49)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(0)$ .

$49$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$49$
	$1$

Schritt 6.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$49$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$49$
	$1$	$49$

Schritt 6.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(49)$ mit dem Divisor $(49)$ und schreibe das Ergebnis von $(2401)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 48)$ .

$49$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$49$	$2401$
	$1$	$49$

Schritt 6.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$49$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$49$	$2401$
	$1$	$49$	$2353$

Schritt 6.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(2353)$ mit dem Divisor $(49)$ und schreibe das Ergebnis von $(115297)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(0)$ .

$49$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$49$	$2401$	$115297$
	$1$	$49$	$2353$

Schritt 6.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$49$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$49$	$2401$	$115297$
	$1$	$49$	$2353$	$115297$

Schritt 6.9

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(115297)$ mit dem Divisor $(49)$ und schreibe das Ergebnis von $(5649553)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 49)$ .

$49$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$49$	$2401$	$115297$	$5649553$
	$1$	$49$	$2353$	$115297$

Schritt 6.10

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$49$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$49$	$2401$	$115297$	$5649553$
	$1$	$49$	$2353$	$115297$	$5649504$

Schritt 6.11

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$1 x^{3} + 49 x^{2} + (2353) x + 115297 + \frac{5649504}{x - 49}$

Schritt 6.12

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$x^{3} + 49 x^{2} + 2353 x + 115297 + \frac{5649504}{x - 49}$

Schritt 7

Da $49 > 0$ und alle Vorzeichen in der unteren Zeile der synthetischen Division positiv sind, ist $49$ eine obere Schranke für die reellen Wurzeln der Funktion.

Obere Schranke: $49$

Schritt 8

Wende die synthetische Division auf $\frac{x^{4} - 48 x^{2} - 49}{x + 49}$ an mit $x = - 49$ .

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Schritt 8.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$- 49$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$

Schritt 8.2

Die erste Zahl im Dividenden $(1)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$- 49$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$

	$1$

Schritt 8.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(1)$ mit dem Divisor $(- 49)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 49)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(0)$ .

$- 49$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$- 49$
	$1$

Schritt 8.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 49$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$- 49$
	$1$	$- 49$

Schritt 8.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 49)$ mit dem Divisor $(- 49)$ und schreibe das Ergebnis von $(2401)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 48)$ .

$- 49$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$- 49$	$2401$
	$1$	$- 49$

Schritt 8.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 49$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$- 49$	$2401$
	$1$	$- 49$	$2353$

Schritt 8.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(2353)$ mit dem Divisor $(- 49)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 115297)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(0)$ .

$- 49$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$- 49$	$2401$	$- 115297$
	$1$	$- 49$	$2353$

Schritt 8.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 49$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$- 49$	$2401$	$- 115297$
	$1$	$- 49$	$2353$	$- 115297$

Schritt 8.9

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 115297)$ mit dem Divisor $(- 49)$ und schreibe das Ergebnis von $(5649553)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 49)$ .

$- 49$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$- 49$	$2401$	$- 115297$	$5649553$
	$1$	$- 49$	$2353$	$- 115297$

Schritt 8.10

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 49$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$- 49$	$2401$	$- 115297$	$5649553$
	$1$	$- 49$	$2353$	$- 115297$	$5649504$

Schritt 8.11

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$1 x^{3} + - 49 x^{2} + (2353) x - 115297 + \frac{5649504}{x + 49}$

Schritt 8.12

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$x^{3} - 49 x^{2} + 2353 x - 115297 + \frac{5649504}{x + 49}$

Schritt 9

Da $- 49 < 0$ und die Vorzeichen in der unteren Zeile der synthetischen Division alternieren, ist $- 49$ eine untere Schranke für die reellen Wurzeln der Funktion.

Untere Schranke: $- 49$

Schritt 10

Bestimme die oberen und unteren Grenzen.

Obere Schranken: $7, 49$

Untere Schranken: $- 7, - 49$

Schritt 11