Algebra Beispiele

$x^{4} + 170 x^{2} + 169$

Schritt 1

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

${(x^{2})}^{2} + 170 x^{2} + 169$

Schritt 2

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$u^{2} + 170 u + 169$

Schritt 3

Faktorisiere $u^{2} + 170 u + 169$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.1

Betrachte die Form $x^{2} + i x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $i$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $169$ und deren Summe $170$ ist.

$1, 169$

Schritt 3.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(u + 1) (u + 169)$

Schritt 4

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$(x^{2} + 1) (x^{2} + 169)$

Schritt 5

Multipliziere die Konstante im Polynom $x^{2} + 1$ mit $- i^{2}$ , wobei $i^{2}$ gleich $- 1$ ist.

$(x^{2} - 1 i^{2}) (x^{2} + 169)$

Schritt 6

Multipliziere die Konstante im Polynom $x^{2} + 169$ mit $- i^{2}$ , wobei $i^{2}$ gleich $- 1$ ist.

$(x^{2} - 1 i^{2}) (x^{2} - 169 i^{2})$

Schritt 7

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - i^{2} = (a + i) (a - i)$ , mit $a = x$ und $i = i$ .

$(x + i) (x - i) (x^{2} - 169 i^{2})$

Schritt 8

Schreibe $169 i^{2}$ als ${(13 i)}^{2}$ um.

$(x + i) (x - i) (x^{2} - {(13 i)}^{2})$

Schritt 9

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - i^{2} = (a + i) (a - i)$ , mit $a = x$ und $i = 13 i$ .

$(x + i) (x - i) ((x + 13 i) (x - (13 i)))$

Schritt 10

Faktorisiere.

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Schritt 10.1

Mutltipliziere $13$ mit $- 1$ .

$(x + i) (x - i) ((x + 13 i) (x - 13 i))$

Schritt 10.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x + i) (x - i) (x + 13 i) (x - 13 i)$