Algebra Beispiele

$x^{3} - 11 x^{2} + 43 x - 65$

Schritt 1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 65, \pm 5, \pm 13$

$q = \pm 1$

Schritt 2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 65, \pm 5, \pm 13$

Schritt 3

Setze $5$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $5$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 3.1

Setze $5$ in das Polynom ein.

$5^{3} - 11 \cdot 5^{2} + 43 \cdot 5 - 65$

Schritt 3.2

Potenziere $5$ mit $3$ .

$125 - 11 \cdot 5^{2} + 43 \cdot 5 - 65$

Schritt 3.3

Potenziere $5$ mit $2$ .

$125 - 11 \cdot 25 + 43 \cdot 5 - 65$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $- 11$ mit $25$ .

$125 - 275 + 43 \cdot 5 - 65$

Schritt 3.5

Subtrahiere $275$ von $125$ .

$- 150 + 43 \cdot 5 - 65$

Schritt 3.6

Mutltipliziere $43$ mit $5$ .

$- 150 + 215 - 65$

Schritt 3.7

Addiere $- 150$ und $215$ .

$65 - 65$

Schritt 3.8

Subtrahiere $65$ von $65$ .

$0$

Schritt 4

Da $5$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x - 5$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{x^{3} - 11 x^{2} + 43 x - 65}{x - 5}$

Schritt 5

Dividiere $x^{3} - 11 x^{2} + 43 x - 65$ durch $x - 5$ .

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Schritt 5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$5$

$x^{3}$

$11 x^{2}$

$43 x$

$65$

Schritt 5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$43 x$	-	$65$

Schritt 5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$43 x$	-	$65$
			+	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$

Schritt 5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{3} - 5 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$43 x$	-	$65$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$

Schritt 5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$43 x$	-	$65$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$

Schritt 5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$43 x$	-	$65$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$43 x$

Schritt 5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 6 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$43 x$	-	$65$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$43 x$

Schritt 5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$43 x$	-	$65$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$43 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$30 x$

Schritt 5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 6 x^{2} + 30 x$

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$43 x$	-	$65$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$43 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$30 x$

Schritt 5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$43 x$	-	$65$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$43 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$30 x$
							+	$13 x$

Schritt 5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$43 x$	-	$65$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$43 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$30 x$
							+	$13 x$	-	$65$

Schritt 5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $13 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$13$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$43 x$	-	$65$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$43 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$30 x$
							+	$13 x$	-	$65$

Schritt 5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$13$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$43 x$	-	$65$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$43 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$30 x$
							+	$13 x$	-	$65$
							+	$13 x$	-	$65$

Schritt 5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $13 x - 65$

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$13$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$43 x$	-	$65$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$43 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$30 x$
							+	$13 x$	-	$65$
							-	$13 x$	+	$65$

Schritt 5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$13$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$43 x$	-	$65$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$43 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$30 x$
							+	$13 x$	-	$65$
							-	$13 x$	+	$65$
										$0$

Schritt 5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$x^{2} - 6 x + 13$

Schritt 6

Schreibe $x^{3} - 11 x^{2} + 43 x - 65$ als eine Menge von Faktoren.

$(x - 5) (x^{2} - 6 x + 13)$