Algebra Beispiele

$f (x) = 4 x^{2}$ , $x \geq 0$

Schritt 1

Ermittele den Wertebereich der gegebenen Funktion.

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Schritt 1.1

Der Wertebereich ist die Menge aller gültigen $y$ -Werte. Ermittle den Wertebereich mithilfe des Graphen.

$[0, \infty)$

Schritt 1.2

Wandle $[0, \infty)$ in eine Ungleichung um.

$y \geq 0$

Schritt 2

Ermittle die Umkehrfunktion.

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Schritt 2.1

Vertausche die Variablen.

$x = 4 y^{2}$

Schritt 2.2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.2.1

Schreibe die Gleichung als $4 y^{2} = x$ um.

$4 y^{2} = x$

Schritt 2.2.2

Teile jeden Ausdruck in $4 y^{2} = x$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 y^{2} = x$ durch $4$ .

$\frac{4 y^{2}}{4} = \frac{x}{4}$

Schritt 2.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 y^{2}}{4} = \frac{x}{4}$

Schritt 2.2.2.2.1.2

Dividiere $y^{2}$ durch $1$ .

$y^{2} = \frac{x}{4}$

Schritt 2.2.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \pm \sqrt{\frac{x}{4}}$

Schritt 2.2.4

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{x}{4}}$ .

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Schritt 2.2.4.1

Schreibe $\frac{x}{4}$ als ${(\frac{1}{2})}^{2} x$ um.

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Schritt 2.2.4.1.1

Faktorisiere die perfekte Potenz $1^{2}$ aus $x$ heraus.

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} x}{4}}$

Schritt 2.2.4.1.2

Faktorisiere die perfekte Potenz $2^{2}$ aus $4$ heraus.

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} x}{2^{2} \cdot 1}}$

Schritt 2.2.4.1.3

Ordne den Bruch $\frac{1^{2} x}{2^{2} \cdot 1}$ um.

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} x}$

Schritt 2.2.4.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \pm \frac{1}{2} \sqrt{x}$

Schritt 2.2.4.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\sqrt{x}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x}}{2}$

Schritt 2.2.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.2.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = \frac{\sqrt{x}}{2}$

Schritt 2.2.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - \frac{\sqrt{x}}{2}$

Schritt 2.2.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \frac{\sqrt{x}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{x}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{x}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{x}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{x}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{x}}{2}$

Schritt 2.3

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x}}{2}, - \frac{\sqrt{x}}{2}$

Schritt 3

Ermittele die Inverse mithilfe des Definitions- und Wertebereichs der ursprünglichen Funktion.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x}}{2}, x \geq 0$

Schritt 4