Algebra Beispiele

$\frac{2 x}{x + 7}$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{2 y}{y + 7}$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{2 y}{y + 7} = x$ um.

$\frac{2 y}{y + 7} = x$

Schritt 2.2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$y + 7, 1$

Schritt 2.2.2

Entferne die Klammern.

$y + 7, 1$

Schritt 2.2.3

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$y + 7$

Schritt 2.3

Multipliziere jeden Term in $\frac{2 y}{y + 7} = x$ mit $y + 7$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 2.3.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{2 y}{y + 7} = x$ mit $y + 7$ .

$\frac{2 y}{y + 7} (y + 7) = x (y + 7)$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y + 7$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y}{y + 7} (y + 7) = x (y + 7)$

Schritt 2.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$2 y = x (y + 7)$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 y = x y + x \cdot 7$

Schritt 2.3.3.2

Bringe $7$ auf die linke Seite von $x$ .

$2 y = x y + 7 x$

Schritt 2.4

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.4.1

Subtrahiere $x y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 y - x y = 7 x$

Schritt 2.4.2

Faktorisiere $y$ aus $2 y - x y$ heraus.

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Schritt 2.4.2.1

Faktorisiere $y$ aus $2 y$ heraus.

$y \cdot 2 - x y = 7 x$

Schritt 2.4.2.2

Faktorisiere $y$ aus $- x y$ heraus.

$y \cdot 2 + y (- x) = 7 x$

Schritt 2.4.2.3

Faktorisiere $y$ aus $y \cdot 2 + y (- x)$ heraus.

$y (2 - x) = 7 x$

Schritt 2.4.3

Teile jeden Ausdruck in $y (2 - x) = 7 x$ durch $2 - x$ und vereinfache.

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Schritt 2.4.3.1

Teile jeden Ausdruck in $y (2 - x) = 7 x$ durch $2 - x$ .

$\frac{y (2 - x)}{2 - x} = \frac{7 x}{2 - x}$

Schritt 2.4.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 - x$ .

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Schritt 2.4.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y (2 - x)}{2 - x} = \frac{7 x}{2 - x}$

Schritt 2.4.3.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{7 x}{2 - x}$

Schritt 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{7 x}{2 - x}$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{7 x}{2 - x}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{2 x}{x + 7}$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{2 x}{x + 7})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x + 7}) = \frac{7 (\frac{2 x}{x + 7})}{2 - (\frac{2 x}{x + 7})}$

Schritt 4.2.3

Kombiniere $7$ und $\frac{2 x}{x + 7}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x + 7}) = \frac{\frac{7 (2 x)}{x + 7}}{2 - \frac{2 x}{x + 7}}$

Schritt 4.2.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.2.4.1

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x + 7}{x + 7}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x + 7}) = \frac{\frac{7 (2 x)}{x + 7}}{\frac{2 (x + 7)}{x + 7} - \frac{2 x}{x + 7}}$

Schritt 4.2.4.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x + 7}) = \frac{\frac{7 (2 x)}{x + 7}}{\frac{2 (x + 7) - 2 x}{x + 7}}$

Schritt 4.2.4.3

Stelle die Terme um.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x + 7}) = \frac{\frac{7 (2 x)}{x + 7}}{\frac{- 2 x + 2 (x + 7)}{x + 7}}$

Schritt 4.2.4.4

Schreibe $\frac{- 2 x + 2 (x + 7)}{x + 7}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 4.2.4.4.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x + 2 (x + 7)$ heraus.

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Schritt 4.2.4.4.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x + 7}) = \frac{\frac{7 (2 x)}{x + 7}}{\frac{2 (- x) + 2 (x + 7)}{x + 7}}$

Schritt 4.2.4.4.1.2

Faktorisiere $2$ aus $2 (- x) + 2 (x + 7)$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x + 7}) = \frac{\frac{7 (2 x)}{x + 7}}{\frac{2 (- x + x + 7)}{x + 7}}$

Schritt 4.2.4.4.2

Addiere $- x$ und $x$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x + 7}) = \frac{\frac{7 (2 x)}{x + 7}}{\frac{2 (0 + 7)}{x + 7}}$

Schritt 4.2.4.4.3

Addiere $0$ und $7$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x + 7}) = \frac{\frac{7 (2 x)}{x + 7}}{\frac{2 \cdot 7}{x + 7}}$

Schritt 4.2.4.5

Mutltipliziere $2$ mit $7$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x + 7}) = \frac{\frac{7 (2 x)}{x + 7}}{\frac{14}{x + 7}}$

Schritt 4.2.5

Mutltipliziere $7$ mit $2$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x + 7}) = \frac{\frac{14 x}{x + 7}}{\frac{14}{x + 7}}$

Schritt 4.2.6

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x + 7}) = \frac{14 x}{x + 7} \cdot \frac{x + 7}{14}$

Schritt 4.2.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $14$ .

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Schritt 4.2.7.1

Faktorisiere $14$ aus $14 x$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x + 7}) = \frac{14 (x)}{x + 7} \cdot \frac{x + 7}{14}$

Schritt 4.2.7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x + 7}) = \frac{14 x}{x + 7} \cdot \frac{x + 7}{14}$

Schritt 4.2.7.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x + 7}) = \frac{x}{x + 7} \cdot (x + 7)$

Schritt 4.2.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 7$ .

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Schritt 4.2.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x + 7}) = \frac{x}{x + 7} \cdot (x + 7)$

Schritt 4.2.8.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x + 7}) = x$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (\frac{7 x}{2 - x})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{7 x}{2 - x}) = \frac{2 (\frac{7 x}{2 - x})}{(\frac{7 x}{2 - x}) + 7}$

Schritt 4.3.3

Kombiniere $2$ und $\frac{7 x}{2 - x}$ .

$f (\frac{7 x}{2 - x}) = \frac{\frac{2 (7 x)}{2 - x}}{\frac{7 x}{2 - x} + 7}$

Schritt 4.3.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.3.4.1

Um $7$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2 - x}{2 - x}$ .

$f (\frac{7 x}{2 - x}) = \frac{\frac{2 (7 x)}{2 - x}}{\frac{7 x}{2 - x} + \frac{7 (2 - x)}{2 - x}}$

Schritt 4.3.4.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{7 x}{2 - x}) = \frac{\frac{2 (7 x)}{2 - x}}{\frac{7 x + 7 (2 - x)}{2 - x}}$

Schritt 4.3.4.3

Stelle die Terme um.

$f (\frac{7 x}{2 - x}) = \frac{\frac{2 (7 x)}{2 - x}}{\frac{7 x + 7 (2 - x)}{- x + 2}}$

Schritt 4.3.4.4

Schreibe $\frac{7 x + 7 (2 - x)}{- x + 2}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 4.3.4.4.1

Faktorisiere $7$ aus $7 x + 7 (2 - x)$ heraus.

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Schritt 4.3.4.4.1.1

Faktorisiere $7$ aus $7 x$ heraus.

$f (\frac{7 x}{2 - x}) = \frac{\frac{2 (7 x)}{2 - x}}{\frac{7 (x) + 7 (2 - x)}{- x + 2}}$

Schritt 4.3.4.4.1.2

Faktorisiere $7$ aus $7 (x) + 7 (2 - x)$ heraus.

$f (\frac{7 x}{2 - x}) = \frac{\frac{2 (7 x)}{2 - x}}{\frac{7 (x + 2 - x)}{- x + 2}}$

Schritt 4.3.4.4.2

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$f (\frac{7 x}{2 - x}) = \frac{\frac{2 (7 x)}{2 - x}}{\frac{7 (0 + 2)}{- x + 2}}$

Schritt 4.3.4.4.3

Addiere $0$ und $2$ .

$f (\frac{7 x}{2 - x}) = \frac{\frac{2 (7 x)}{2 - x}}{\frac{7 \cdot 2}{- x + 2}}$

Schritt 4.3.4.5

Mutltipliziere $7$ mit $2$ .

$f (\frac{7 x}{2 - x}) = \frac{\frac{2 (7 x)}{2 - x}}{\frac{14}{- x + 2}}$

Schritt 4.3.5

Mutltipliziere $2$ mit $7$ .

$f (\frac{7 x}{2 - x}) = \frac{\frac{14 x}{2 - x}}{\frac{14}{- x + 2}}$

Schritt 4.3.6

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f (\frac{7 x}{2 - x}) = \frac{14 x}{2 - x} \cdot \frac{- x + 2}{14}$

Schritt 4.3.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $14$ .

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Schritt 4.3.7.1

Faktorisiere $14$ aus $14 x$ heraus.

$f (\frac{7 x}{2 - x}) = \frac{14 (x)}{2 - x} \cdot \frac{- x + 2}{14}$

Schritt 4.3.7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{7 x}{2 - x}) = \frac{14 x}{2 - x} \cdot \frac{- x + 2}{14}$

Schritt 4.3.7.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{7 x}{2 - x}) = \frac{x}{2 - x} \cdot (- x + 2)$

Schritt 4.3.8

Mutltipliziere $\frac{x}{2 - x}$ mit $- x + 2$ .

$f (\frac{7 x}{2 - x}) = \frac{x (- x + 2)}{2 - x}$

Schritt 4.3.9

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- x + 2$ und $2 - x$ .

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Schritt 4.3.9.1

Stelle die Terme um.

$f (\frac{7 x}{2 - x}) = \frac{x (- x + 2)}{- x + 2}$

Schritt 4.3.9.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{7 x}{2 - x}) = \frac{x (- x + 2)}{- x + 2}$

Schritt 4.3.9.3

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f (\frac{7 x}{2 - x}) = x$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{7 x}{2 - x}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{2 x}{x + 7}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{7 x}{2 - x}$