Algebra Beispiele

$\frac{6}{5 + x}$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{6}{5 + y}$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{6}{5 + y} = x$ um.

$\frac{6}{5 + y} = x$

Schritt 2.2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$5 + y, 1$

Schritt 2.2.2

Entferne die Klammern.

$5 + y, 1$

Schritt 2.2.3

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$5 + y$

Schritt 2.3

Multipliziere jeden Term in $\frac{6}{5 + y} = x$ mit $5 + y$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 2.3.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{6}{5 + y} = x$ mit $5 + y$ .

$\frac{6}{5 + y} (5 + y) = x (5 + y)$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5 + y$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6}{5 + y} (5 + y) = x (5 + y)$

Schritt 2.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$6 = x (5 + y)$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$6 = x \cdot 5 + x y$

Schritt 2.3.3.2

Bringe $5$ auf die linke Seite von $x$ .

$6 = 5 x + x y$

Schritt 2.4

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.4.1

Schreibe die Gleichung als $5 x + x y = 6$ um.

$5 x + x y = 6$

Schritt 2.4.2

Subtrahiere $5 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x y = 6 - 5 x$

Schritt 2.4.3

Teile jeden Ausdruck in $x y = 6 - 5 x$ durch $x$ und vereinfache.

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Schritt 2.4.3.1

Teile jeden Ausdruck in $x y = 6 - 5 x$ durch $x$ .

$\frac{x y}{x} = \frac{6}{x} + \frac{- 5 x}{x}$

Schritt 2.4.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 2.4.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x y}{x} = \frac{6}{x} + \frac{- 5 x}{x}$

Schritt 2.4.3.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{6}{x} + \frac{- 5 x}{x}$

Schritt 2.4.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 2.4.3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{6}{x} + \frac{- 5 x}{x}$

Schritt 2.4.3.3.1.2

Dividiere $- 5$ durch $1$ .

$y = \frac{6}{x} - 5$

Schritt 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{6}{x} - 5$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{6}{x} - 5$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{6}{5 + x}$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{6}{5 + x})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{6}{5 + x}) = \frac{6}{\frac{6}{5 + x}} - 5$

Schritt 4.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f^{- 1} (\frac{6}{5 + x}) = 6 (\frac{5 + x}{6}) - 5$

Schritt 4.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 4.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{6}{5 + x}) = 6 (\frac{5 + x}{6}) - 5$

Schritt 4.2.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{6}{5 + x}) = 5 + x - 5$

Schritt 4.2.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $5 + x - 5$ .

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Schritt 4.2.4.1

Subtrahiere $5$ von $5$ .

$f^{- 1} (\frac{6}{5 + x}) = x + 0$

Schritt 4.2.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\frac{6}{5 + x}) = x$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (\frac{6}{x} - 5)$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{6}{x} - 5) = \frac{6}{5 + \frac{6}{x} - 5}$

Schritt 4.3.3

Entferne die Klammern.

$f (\frac{6}{x} - 5) = \frac{6}{5 + \frac{6}{x} - 5}$

Schritt 4.3.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.3.4.1

Subtrahiere $5$ von $5$ .

$f (\frac{6}{x} - 5) = \frac{6}{\frac{6}{x} + 0}$

Schritt 4.3.4.2

Addiere $\frac{6}{x}$ und $0$ .

$f (\frac{6}{x} - 5) = \frac{6}{\frac{6}{x}}$

Schritt 4.3.5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f (\frac{6}{x} - 5) = 6 (\frac{x}{6})$

Schritt 4.3.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 4.3.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{6}{x} - 5) = 6 (\frac{x}{6})$

Schritt 4.3.6.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{6}{x} - 5) = x$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{6}{x} - 5$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{6}{5 + x}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{6}{x} - 5$