Algebra Beispiele

$4 x^{3} - 9$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = 4 y^{3} - 9$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $4 y^{3} - 9 = x$ um.

$4 y^{3} - 9 = x$

Schritt 2.2

Addiere $9$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 y^{3} = x + 9$

Schritt 2.3

Teile jeden Ausdruck in $4 y^{3} = x + 9$ durch $4$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $4 y^{3} = x + 9$ durch $4$ .

$\frac{4 y^{3}}{4} = \frac{x}{4} + \frac{9}{4}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 y^{3}}{4} = \frac{x}{4} + \frac{9}{4}$

Schritt 2.3.2.1.2

Dividiere $y^{3}$ durch $1$ .

$y^{3} = \frac{x}{4} + \frac{9}{4}$

Schritt 2.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \sqrt[3]{\frac{x}{4} + \frac{9}{4}}$

Schritt 2.5

Vereinfache $\sqrt[3]{\frac{x}{4} + \frac{9}{4}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \sqrt[3]{\frac{x + 9}{4}}$

Schritt 2.5.2

Schreibe $\sqrt[3]{\frac{x + 9}{4}}$ als $\frac{\sqrt[3]{x + 9}}{\sqrt[3]{4}}$ um.

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 9}}{\sqrt[3]{4}}$

Schritt 2.5.3

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[3]{x + 9}}{\sqrt[3]{4}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 9}}{\sqrt[3]{4}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Schritt 2.5.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.4.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[3]{x + 9}}{\sqrt[3]{4}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 9} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Schritt 2.5.4.2

Potenziere $\sqrt[3]{4}$ mit $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 9} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Schritt 2.5.4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 9} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1 + 2}}$

Schritt 2.5.4.4

Addiere $1$ und $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 9} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{3}}$

Schritt 2.5.4.5

Schreibe ${\sqrt[3]{4}}^{3}$ als $4$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.4.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{4}$ als $4^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 9} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{(4^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Schritt 2.5.4.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 9} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Schritt 2.5.4.5.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 9} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

Schritt 2.5.4.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.4.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 9} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

Schritt 2.5.4.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 9} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{1}}$

Schritt 2.5.4.5.5

Berechne den Exponenten.

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 9} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4}$

Schritt 2.5.5

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.5.1

Schreibe ${\sqrt[3]{4}}^{2}$ als $\sqrt[3]{4^{2}}$ um.

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 9} \sqrt[3]{4^{2}}}{4}$

Schritt 2.5.5.2

Potenziere $4$ mit $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 9} \sqrt[3]{16}}{4}$

Schritt 2.5.5.3

Schreibe $16$ als $2^{3} \cdot 2$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.5.3.1

Faktorisiere $8$ aus $16$ heraus.

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 9} \sqrt[3]{8 (2)}}{4}$

Schritt 2.5.5.3.2

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 9} \sqrt[3]{2^{3} \cdot 2}}{4}$

Schritt 2.5.5.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 9} \cdot 2 \sqrt[3]{2}}{4}$

Schritt 2.5.5.5

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$y = \frac{2 \sqrt[3]{(x + 9) \cdot 2}}{4}$

Schritt 2.5.6

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.6.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.6.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \sqrt[3]{(x + 9) \cdot 2}$ heraus.

$y = \frac{2 (\sqrt[3]{(x + 9) \cdot 2})}{4}$

Schritt 2.5.6.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.6.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$y = \frac{2 \sqrt[3]{(x + 9) \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.5.6.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{2 \sqrt[3]{(x + 9) \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.5.6.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{\sqrt[3]{(x + 9) \cdot 2}}{2}$

Schritt 2.5.6.2

Stelle die Faktoren in $\frac{\sqrt[3]{(x + 9) \cdot 2}}{2}$ um.

$y = \frac{\sqrt[3]{2 (x + 9)}}{2}$

Schritt 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{2 (x + 9)}}{2}$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{2 (x + 9)}}{2}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = 4 x^{3} - 9$ ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (4 x^{3} - 9)$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (4 x^{3} - 9) = \frac{\sqrt[3]{2 ((4 x^{3} - 9) + 9)}}{2}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.3.1

Addiere $- 9$ und $9$ .

$f^{- 1} (4 x^{3} - 9) = \frac{\sqrt[3]{2 (4 x^{3} + 0)}}{2}$

Schritt 4.2.3.2

Addiere $4 x^{3}$ und $0$ .

$f^{- 1} (4 x^{3} - 9) = \frac{\sqrt[3]{2 \cdot (4 x^{3})}}{2}$

Schritt 4.2.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$f^{- 1} (4 x^{3} - 9) = \frac{\sqrt[3]{8 x^{3}}}{2}$

Schritt 4.2.3.4

Schreibe $8 x^{3}$ als ${(2 x)}^{3}$ um.

$f^{- 1} (4 x^{3} - 9) = \frac{\sqrt[3]{{(2 x)}^{3}}}{2}$

Schritt 4.2.3.5

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$f^{- 1} (4 x^{3} - 9) = \frac{2 x}{2}$

Schritt 4.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (4 x^{3} - 9) = \frac{2 x}{2}$

Schritt 4.2.4.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f^{- 1} (4 x^{3} - 9) = x$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (\frac{\sqrt[3]{2 (x + 9)}}{2})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{2 (x + 9)}}{2}) = 4 {(\frac{\sqrt[3]{2 (x + 9)}}{2})}^{3} - 9$

Schritt 4.3.3

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.3.1

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt[3]{2 (x + 9)}}{2}$ an.

$f (\frac{\sqrt[3]{2 (x + 9)}}{2}) = 4 (\frac{{\sqrt[3]{2 (x + 9)}}^{3}}{2^{3}}) - 9$

Schritt 4.3.3.2

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.3.2.1

Schreibe ${\sqrt[3]{2 (x + 9)}}^{3}$ als $2 (x + 9)$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.3.2.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{2 (x + 9)}$ als ${(2 (x + 9))}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$f (\frac{\sqrt[3]{2 (x + 9)}}{2}) = 4 (\frac{{({(2 (x + 9))}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{2^{3}}) - 9$

Schritt 4.3.3.2.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{2 (x + 9)}}{2}) = 4 (\frac{{(2 (x + 9))}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{2^{3}}) - 9$

Schritt 4.3.3.2.1.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{2 (x + 9)}}{2}) = 4 (\frac{{(2 (x + 9))}^{\frac{3}{3}}}{2^{3}}) - 9$

Schritt 4.3.3.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.3.2.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\sqrt[3]{2 (x + 9)}}{2}) = 4 (\frac{{(2 (x + 9))}^{\frac{3}{3}}}{2^{3}}) - 9$

Schritt 4.3.3.2.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\sqrt[3]{2 (x + 9)}}{2}) = 4 (\frac{2 (x + 9)}{2^{3}}) - 9$

Schritt 4.3.3.2.1.5

Vereinfache.

$f (\frac{\sqrt[3]{2 (x + 9)}}{2}) = 4 (\frac{2 (x + 9)}{2^{3}}) - 9$

Schritt 4.3.3.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{\sqrt[3]{2 (x + 9)}}{2}) = 4 (\frac{2 x + 2 \cdot 9}{2^{3}}) - 9$

Schritt 4.3.3.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{2 (x + 9)}}{2}) = 4 (\frac{2 x + 18}{2^{3}}) - 9$

Schritt 4.3.3.2.4

Faktorisiere $2$ aus $2 x + 18$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.3.2.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$f (\frac{\sqrt[3]{2 (x + 9)}}{2}) = 4 (\frac{2 (x) + 18}{2^{3}}) - 9$

Schritt 4.3.3.2.4.2

Faktorisiere $2$ aus $18$ heraus.

$f (\frac{\sqrt[3]{2 (x + 9)}}{2}) = 4 (\frac{2 x + 2 \cdot 9}{2^{3}}) - 9$

Schritt 4.3.3.2.4.3

Faktorisiere $2$ aus $2 x + 2 \cdot 9$ heraus.

$f (\frac{\sqrt[3]{2 (x + 9)}}{2}) = 4 (\frac{2 (x + 9)}{2^{3}}) - 9$

Schritt 4.3.3.3

Potenziere $2$ mit $3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{2 (x + 9)}}{2}) = 4 (\frac{2 (x + 9)}{8}) - 9$

Schritt 4.3.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.3.4.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$f (\frac{\sqrt[3]{2 (x + 9)}}{2}) = 4 (\frac{2 (x + 9)}{4 (2)}) - 9$

Schritt 4.3.3.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\sqrt[3]{2 (x + 9)}}{2}) = 4 (\frac{2 (x + 9)}{4 \cdot 2}) - 9$

Schritt 4.3.3.4.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\sqrt[3]{2 (x + 9)}}{2}) = \frac{2 (x + 9)}{2} - 9$

Schritt 4.3.3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.3.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\sqrt[3]{2 (x + 9)}}{2}) = \frac{2 (x + 9)}{2} - 9$

Schritt 4.3.3.5.2

Dividiere $x + 9$ durch $1$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{2 (x + 9)}}{2}) = x + 9 - 9$

Schritt 4.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x + 9 - 9$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.4.1

Subtrahiere $9$ von $9$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{2 (x + 9)}}{2}) = x + 0$

Schritt 4.3.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{2 (x + 9)}}{2}) = x$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{2 (x + 9)}}{2}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = 4 x^{3} - 9$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{2 (x + 9)}}{2}$