Algebra Beispiele

$f (x) = 3 x^{4} - 2 x^{3} + 74 x^{2} - 50 x - 25$

Schritt 1

Gruppiere die Terme um.

$f (x) = - 2 x^{3} - 50 x + 3 x^{4} + 74 x^{2} - 25$

Schritt 2

Faktorisiere $- 2 x$ aus $- 2 x^{3} - 50 x$ heraus.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $- 2 x$ aus $- 2 x^{3}$ heraus.

$f (x) = - 2 x \cdot x^{2} - 50 x + 3 x^{4} + 74 x^{2} - 25$

Schritt 2.2

Faktorisiere $- 2 x$ aus $- 50 x$ heraus.

$f (x) = - 2 x \cdot x^{2} - 2 x \cdot 25 + 3 x^{4} + 74 x^{2} - 25$

Schritt 2.3

Faktorisiere $- 2 x$ aus $- 2 x (x^{2}) - 2 x (25)$ heraus.

$f (x) = - 2 x (x^{2} + 25) + 3 x^{4} + 74 x^{2} - 25$

Schritt 3

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$f (x) = - 2 x (x^{2} + 25) + 3 {(x^{2})}^{2} + 74 x^{2} - 25$

Schritt 4

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$f (x) = - 2 x (x^{2} + 25) + 3 u^{2} + 74 u - 25$

Schritt 5

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 5.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + i x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 3 \cdot - 25 = - 75$ und deren Summe gleich $i = 74$ ist.

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Schritt 5.1.1

Faktorisiere $74$ aus $74 u$ heraus.

$f (x) = - 2 x (x^{2} + 25) + 3 u^{2} + 74 (u) - 25$

Schritt 5.1.2

Schreibe $74$ um als $- 1$ plus $75$

$f (x) = - 2 x (x^{2} + 25) + 3 u^{2} + (- 1 + 75) u - 25$

Schritt 5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x) = - 2 x (x^{2} + 25) + 3 u^{2} - 1 u + 75 u - 25$

Schritt 5.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 5.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$f (x) = - 2 x (x^{2} + 25) + 3 u^{2} - 1 u + 75 u - 25$

Schritt 5.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$f (x) = - 2 x (x^{2} + 25) + u (3 u - 1) + 25 (3 u - 1)$

Schritt 5.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $3 u - 1$ .

$f (x) = - 2 x (x^{2} + 25) + (3 u - 1) (u + 25)$

Schritt 6

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$f (x) = - 2 x (x^{2} + 25) + (3 x^{2} - 1) (x^{2} + 25)$

Schritt 7

Faktorisiere $x^{2} + 25$ aus $- 2 x (x^{2} + 25) + (3 x^{2} - 1) (x^{2} + 25)$ heraus.

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Schritt 7.1

Faktorisiere $x^{2} + 25$ aus $- 2 x (x^{2} + 25)$ heraus.

$f (x) = (x^{2} + 25) (- 2 x) + (3 x^{2} - 1) (x^{2} + 25)$

Schritt 7.2

Faktorisiere $x^{2} + 25$ aus $(3 x^{2} - 1) (x^{2} + 25)$ heraus.

$f (x) = (x^{2} + 25) (- 2 x) + (x^{2} + 25) (3 x^{2} - 1)$

Schritt 7.3

Faktorisiere $x^{2} + 25$ aus $(x^{2} + 25) (- 2 x) + (x^{2} + 25) (3 x^{2} - 1)$ heraus.

$f (x) = (x^{2} + 25) (- 2 x + 3 x^{2} - 1)$

Schritt 8

Es sei $u = x$ . Ersetze $u$ für alle $x$ .

$f (x) = (x^{2} + 25) (- 2 u + 3 u^{2} - 1)$

Schritt 9

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 9.1

Stelle die Terme um.

$f (x) = (x^{2} + 25) (3 u^{2} - 2 u - 1)$

Schritt 9.2

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + i x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 3 \cdot - 1 = - 3$ und deren Summe gleich $i = - 2$ ist.

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Schritt 9.2.1

Faktorisiere $- 2$ aus $- 2 u$ heraus.

$f (x) = (x^{2} + 25) (3 u^{2} - 2 u - 1)$

Schritt 9.2.2

Schreibe $- 2$ um als $1$ plus $- 3$

$f (x) = (x^{2} + 25) (3 u^{2} + (1 - 3) u - 1)$

Schritt 9.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x) = (x^{2} + 25) (3 u^{2} + 1 u - 3 u - 1)$

Schritt 9.2.4

Mutltipliziere $u$ mit $1$ .

$f (x) = (x^{2} + 25) (3 u^{2} + u - 3 u - 1)$

Schritt 9.3

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 9.3.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$f (x) = (x^{2} + 25) ((3 u^{2} + u) - 3 u - 1)$

Schritt 9.3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$f (x) = (x^{2} + 25) (u (3 u + 1) - (3 u + 1))$

Schritt 9.4

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $3 u + 1$ .

$f (x) = (x^{2} + 25) ((3 u + 1) (u - 1))$

Schritt 10

Faktorisiere.

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Schritt 10.1

Ersetze alle $u$ durch $x$ .

$f (x) = (x^{2} + 25) ((3 x + 1) (x - 1))$

Schritt 10.2

Entferne unnötige Klammern.

$f (x) = (x^{2} + 25) (3 x + 1) (x - 1)$