Algebra Beispiele

$4 a + 7 b = - 51$ , $8 a + 3 b = - 20$ , $6 b + 3 c = 18$

Schritt 1

Wähle zwei Gleichungen und eliminiere eine Variable. In diesem Fall eliminiere $a$ .

$4 a + 7 b = - 51$

$8 a + 3 b = - 20$

Schritt 2

Eliminiere $a$ aus dem System.

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Schritt 2.1

Multipliziere jede Gleichung mit dem Wert, der das Vorzeichen der Koeffizienten von $a$ umkehrt.

$(- 2) \cdot (4 a + 7 b) = (- 2) (- 51)$

$8 a + 3 b = - 20$

Schritt 2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1.1

Vereinfache $(- 2) \cdot (4 a + 7 b)$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 2 (4 a) - 2 (7 b) = (- 2) (- 51)$

$8 a + 3 b = - 20$

Schritt 2.2.1.1.2

Multipliziere.

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Schritt 2.2.1.1.2.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 2$ .

$- 8 a - 2 (7 b) = (- 2) (- 51)$

$8 a + 3 b = - 20$

Schritt 2.2.1.1.2.2

Mutltipliziere $7$ mit $- 2$ .

$- 8 a - 14 b = (- 2) (- 51)$

$8 a + 3 b = - 20$

$- 8 a - 14 b = (- 2) (- 51)$

$8 a + 3 b = - 20$

$- 8 a - 14 b = (- 2) (- 51)$

$8 a + 3 b = - 20$

$- 8 a - 14 b = (- 2) (- 51)$

$8 a + 3 b = - 20$

Schritt 2.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.2.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 51$ .

$- 8 a - 14 b = 102$

$8 a + 3 b = - 20$

$- 8 a - 14 b = 102$

$8 a + 3 b = - 20$

$- 8 a - 14 b = 102$

$8 a + 3 b = - 20$

Schritt 2.3

Addiere die beiden Gleichungen, um $a$ aus dem System zu beseitigen.

	$-$	$8$	$a$	$-$	$1$	$4$	$b$	$=$	$1$	$0$	$2$
$+$		$8$	$a$	$+$		$3$	$b$	$=$	$-$	$2$	$0$
				$-$	$1$	$1$	$b$	$=$		$8$	$2$

Schritt 2.4

In der resultierenden Gleichung ist $a$ eliminiert.

$- 11 b = 82$

Schritt 3

Nimm die resultierende Gleichung und die dritte ursprüngliche Gleichung und eliminiere eine weitere Variable. Eliminiere in diesem Fall $b$ .

$- 11 b = 82$

$6 b + 3 c = 18$

Schritt 4

Eliminiere $b$ aus dem System.

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Schritt 4.1

Multipliziere jede Gleichung mit dem Wert, der das Vorzeichen der Koeffizienten von $b$ umkehrt.

$(6) \cdot (- 11 b) = (6) (82)$

$(11) \cdot (6 b + 3 c) = (11) (18)$

Schritt 4.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1.1

Mutltipliziere $- 11$ mit $6$ .

$- 66 b = (6) (82)$

$(11) \cdot (6 b + 3 c) = (11) (18)$

$- 66 b = (6) (82)$

$(11) \cdot (6 b + 3 c) = (11) (18)$

Schritt 4.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.2.1

Mutltipliziere $6$ mit $82$ .

$- 66 b = 492$

$(11) \cdot (6 b + 3 c) = (11) (18)$

$- 66 b = 492$

$(11) \cdot (6 b + 3 c) = (11) (18)$

Schritt 4.2.3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.3.1

Vereinfache $(11) \cdot (6 b + 3 c)$ .

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Schritt 4.2.3.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 66 b = 492$

$11 (6 b) + 11 (3 c) = (11) (18)$

Schritt 4.2.3.1.2

Multipliziere.

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Schritt 4.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $6$ mit $11$ .

$- 66 b = 492$

$66 b + 11 (3 c) = (11) (18)$

Schritt 4.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $11$ .

$- 66 b = 492$

$66 b + 33 c = (11) (18)$

$- 66 b = 492$

$66 b + 33 c = (11) (18)$

$- 66 b = 492$

$66 b + 33 c = (11) (18)$

$- 66 b = 492$

$66 b + 33 c = (11) (18)$

Schritt 4.2.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.4.1

Mutltipliziere $11$ mit $18$ .

$- 66 b = 492$

$66 b + 33 c = 198$

$- 66 b = 492$

$66 b + 33 c = 198$

$- 66 b = 492$

$66 b + 33 c = 198$

Schritt 4.3

Addiere die beiden Gleichungen, um $b$ aus dem System zu beseitigen.

			$-$	$6$	$6$	$b$	$=$	$4$	$9$	$2$
		$+$		$6$	$6$	$b$	$=$	$1$	$9$	$8$
$3$	$3$	$c$					$=$	$6$	$9$	$0$

Schritt 4.4

In der resultierenden Gleichung ist $b$ eliminiert.

$33 c = 690$

Schritt 4.5

Teile jeden Ausdruck in $33 c = 690$ durch $33$ und vereinfache.

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Schritt 4.5.1

Teile jeden Ausdruck in $33 c = 690$ durch $33$ .

$\frac{33 c}{33} = \frac{690}{33}$

Schritt 4.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $33$ .

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Schritt 4.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{33 c}{33} = \frac{690}{33}$

Schritt 4.5.2.1.2

Dividiere $c$ durch $1$ .

$c = \frac{690}{33}$

Schritt 4.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.5.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $690$ und $33$ .

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Schritt 4.5.3.1.1

Faktorisiere $3$ aus $690$ heraus.

$c = \frac{3 (230)}{33}$

Schritt 4.5.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.5.3.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $33$ heraus.

$c = \frac{3 \cdot 230}{3 \cdot 11}$

Schritt 4.5.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$c = \frac{3 \cdot 230}{3 \cdot 11}$

Schritt 4.5.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$c = \frac{230}{11}$

Schritt 5

Setze den Wert von $c$ in eine Gleichung ein, aus der $a$ bereits eliminiert wurde und löse nach der verbleibenden Variablen auf.

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Schritt 5.1

Setze den Wert von $c$ in eine Gleichung ein, aus der $a$ bereits eliminiert wurde.

$- 11 b = 82$

Schritt 5.2

Teile jeden Ausdruck in $- 11 b = 82$ durch $- 11$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 11 b = 82$ durch $- 11$ .

$\frac{- 11 b}{- 11} = \frac{82}{- 11}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 11$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 11 b}{- 11} = \frac{82}{- 11}$

Schritt 5.2.2.1.2

Dividiere $b$ durch $1$ .

$b = \frac{82}{- 11}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$b = - \frac{82}{11}$

Schritt 6

Setze den Wert jeder bekannten Variablen in eine der initialen Gleichungen ein und löse nach der letzten Variablen auf.

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Schritt 6.1

Setze den Wert jeder bekannten Variablen in eine der initialen Gleichungen ein.

$4 a + 7 (- \frac{82}{11}) = - 51$

Schritt 6.2

Löse nach $a$ auf.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Multipliziere $7 (- \frac{82}{11})$ .

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Schritt 6.2.1.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $7$ .

$4 a - 7 (\frac{82}{11}) = - 51$

Schritt 6.2.1.1.2

Kombiniere $- 7$ und $\frac{82}{11}$ .

$4 a + \frac{- 7 \cdot 82}{11} = - 51$

Schritt 6.2.1.1.3

Mutltipliziere $- 7$ mit $82$ .

$4 a + \frac{- 574}{11} = - 51$

Schritt 6.2.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$4 a - \frac{574}{11} = - 51$

Schritt 6.2.2

Bringe alle Terme, die nicht $a$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 6.2.2.1

Addiere $\frac{574}{11}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 a = - 51 + \frac{574}{11}$

Schritt 6.2.2.2

Um $- 51$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{11}{11}$ .

$4 a = - 51 \cdot \frac{11}{11} + \frac{574}{11}$

Schritt 6.2.2.3

Kombiniere $- 51$ und $\frac{11}{11}$ .

$4 a = \frac{- 51 \cdot 11}{11} + \frac{574}{11}$

Schritt 6.2.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$4 a = \frac{- 51 \cdot 11 + 574}{11}$

Schritt 6.2.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.2.5.1

Mutltipliziere $- 51$ mit $11$ .

$4 a = \frac{- 561 + 574}{11}$

Schritt 6.2.2.5.2

Addiere $- 561$ und $574$ .

$4 a = \frac{13}{11}$

Schritt 6.2.3

Teile jeden Ausdruck in $4 a = \frac{13}{11}$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 6.2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $4 a = \frac{13}{11}$ durch $4$ .

$\frac{4 a}{4} = \frac{\frac{13}{11}}{4}$

Schritt 6.2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 6.2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 a}{4} = \frac{\frac{13}{11}}{4}$

Schritt 6.2.3.2.1.2

Dividiere $a$ durch $1$ .

$a = \frac{\frac{13}{11}}{4}$

Schritt 6.2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.3.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$a = \frac{13}{11} \cdot \frac{1}{4}$

Schritt 6.2.3.3.2

Multipliziere $\frac{13}{11} \cdot \frac{1}{4}$ .

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Schritt 6.2.3.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{13}{11}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$a = \frac{13}{11 \cdot 4}$

Schritt 6.2.3.3.2.2

Mutltipliziere $11$ mit $4$ .

$a = \frac{13}{44}$

Schritt 7

Das ist die endgültige Lösung des Gleichungssystems.

$c = \frac{230}{11}$

$b = - \frac{82}{11}$

$a = \frac{13}{44}$

	$-$	$8$	$a$	$-$	$1$	$4$	$b$	$=$	$1$	$0$	$2$
$+$		$8$	$a$	$+$		$3$	$b$	$=$	$-$	$2$	$0$
				$-$	$1$	$1$	$b$	$=$		$8$	$2$

			$-$	$6$	$6$	$b$	$=$	$4$	$9$	$2$
		$+$		$6$	$6$	$b$	$=$	$1$	$9$	$8$
$3$	$3$	$c$					$=$	$6$	$9$	$0$

	$-$	$8$	$a$	$-$	$1$	$4$	$b$	$=$	$1$	$0$	$2$
$+$		$8$	$a$	$+$		$3$	$b$	$=$	$-$	$2$	$0$
				$-$	$1$	$1$	$b$	$=$		$8$	$2$

			$-$	$6$	$6$	$b$	$=$	$4$	$9$	$2$
		$+$		$6$	$6$	$b$	$=$	$1$	$9$	$8$
$3$	$3$	$c$					$=$	$6$	$9$	$0$

	$-$	$8$	$a$	$-$	$1$	$4$	$b$	$=$	$1$	$0$	$2$
$+$		$8$	$a$	$+$		$3$	$b$	$=$	$-$	$2$	$0$
				$-$	$1$	$1$	$b$	$=$		$8$	$2$

			$-$	$6$	$6$	$b$	$=$	$4$	$9$	$2$
		$+$		$6$	$6$	$b$	$=$	$1$	$9$	$8$
$3$	$3$	$c$					$=$	$6$	$9$	$0$