Algebra Beispiele

$y = \log_{12} (\frac{1}{x})$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = \log_{12} (\frac{1}{y})$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $\log_{12} (\frac{1}{y}) = x$ um.

$\log_{12} (\frac{1}{y}) = x$

Schritt 2.2

Schreibe $\log_{12} (\frac{1}{y}) = x$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$12^{x} = \frac{1}{y}$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{1}{y} = 12^{x}$ um.

$\frac{1}{y} = 12^{x}$

Schritt 2.3.2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 2.3.2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$y, 1$

Schritt 2.3.2.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$y$

Schritt 2.3.3

Multipliziere jeden Term in $\frac{1}{y} = 12^{x}$ mit $y$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 2.3.3.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{1}{y} = 12^{x}$ mit $y$ .

$\frac{1}{y} y = 12^{x} y$

Schritt 2.3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 2.3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{y} y = 12^{x} y$

Schritt 2.3.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$1 = 12^{x} y$

Schritt 2.3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.3.3.1

Stelle die Faktoren in $12^{x} y$ um.

$1 = y \cdot 12^{x}$

Schritt 2.3.4

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.3.4.1

Schreibe die Gleichung als $y \cdot 12^{x} = 1$ um.

$y \cdot 12^{x} = 1$

Schritt 2.3.4.2

Teile jeden Ausdruck in $y \cdot 12^{x} = 1$ durch $12^{x}$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $y \cdot 12^{x} = 1$ durch $12^{x}$ .

$\frac{y \cdot 12^{x}}{12^{x}} = \frac{1}{12^{x}}$

Schritt 2.3.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $12^{x}$ .

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Schritt 2.3.4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y \cdot 12^{x}}{12^{x}} = \frac{1}{12^{x}}$

Schritt 2.3.4.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{1}{12^{x}}$

Schritt 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{1}{12^{x}}$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{1}{12^{x}}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \log_{12} (\frac{1}{x})$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (\log_{12} (\frac{1}{x}))$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\log_{12} (\frac{1}{x})) = \frac{1}{12^{\log_{12} (\frac{1}{x})}}$

Schritt 4.2.3

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$f^{- 1} (\log_{12} (\frac{1}{x})) = \frac{1}{\frac{1}{x}}$

Schritt 4.2.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f^{- 1} (\log_{12} (\frac{1}{x})) = 1 x$

Schritt 4.2.5

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f^{- 1} (\log_{12} (\frac{1}{x})) = x$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (\frac{1}{12^{x}})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{1}{12^{x}}) = \log_{12} (\frac{1}{\frac{1}{12^{x}}})$

Schritt 4.3.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f (\frac{1}{12^{x}}) = \log_{12} (1 \cdot 12^{x})$

Schritt 4.3.4

Schreibe $\log_{12} (1 \cdot 12^{x})$ als $\log_{12} (1) + \log_{12} (12^{x})$ um.

$f (\frac{1}{12^{x}}) = \log_{12} (1) + \log_{12} (12^{x})$

Schritt 4.3.5

Benutze die Rechenregeln für Logarithmen, um $x$ aus dem Exponenten zu ziehen.

$f (\frac{1}{12^{x}}) = \log_{12} (1) + x \log_{12} (12)$

Schritt 4.3.6

Die logarithmische Basis $12$ von $12$ ist $1$ .

$f (\frac{1}{12^{x}}) = \log_{12} (1) + x \cdot 1$

Schritt 4.3.7

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f (\frac{1}{12^{x}}) = \log_{12} (1) + x$

Schritt 4.3.8

Die logarithmische Basis $12$ von $1$ ist $0$ .

$f (\frac{1}{12^{x}}) = 0 + x$

Schritt 4.3.9

Addiere $0$ und $x$ .

$f (\frac{1}{12^{x}}) = x$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{1}{12^{x}}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \log_{12} (\frac{1}{x})$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{1}{12^{x}}$