Algebra Beispiele

$f (x) = \log (\frac{x + 5}{x - 1})$

Schritt 1

Setze das Argument in $\log (\frac{x + 5}{x - 1})$ größer als $0$ , um zu ermitteln. wo der Ausdruck definiert ist.

$\frac{x + 5}{x - 1} > 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

$x + 5 = 0$

$x - 1 = 0$

Schritt 2.2

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 5$

Schritt 2.3

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 2.4

Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.

$x = - 5$

$x = 1$

Schritt 2.5

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = - 5, 1$

Schritt 2.6

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{x + 5}{x - 1}$ .

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Schritt 2.6.1

Setze den Nenner in $\frac{x + 5}{x - 1}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x - 1 = 0$

Schritt 2.6.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 2.6.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Schritt 2.7

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 5$

$- 5 < x < 1$

$x > 1$

Schritt 2.8

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 2.8.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 5$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.8.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 5$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 8$

Schritt 2.8.1.2

Ersetze $x$ durch $- 8$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{(- 8) + 5}{(- 8) - 1} > 0$

Schritt 2.8.1.3

Die linke Seite $0.\overline{3}$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 2.8.2

Teste einen Wert im Intervall $- 5 < x < 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.8.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 5 < x < 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 2.8.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{(0) + 5}{(0) - 1} > 0$

Schritt 2.8.2.3

Die linke Seite $- 5$ ist nicht größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 2.8.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.8.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 4$

Schritt 2.8.3.2

Ersetze $x$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{(4) + 5}{(4) - 1} > 0$

Schritt 2.8.3.3

Die linke Seite $3$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 2.8.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 5$ Wahr

$- 5 < x < 1$ Falsch

$x > 1$ Wahr

$x < - 5$ Wahr

$- 5 < x < 1$ Falsch

$x > 1$ Wahr

Schritt 2.9

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x < - 5$ oder $x > 1$

Schritt 3

Setze den Nenner in $\frac{x + 5}{x - 1}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x - 1 = 0$

Schritt 4

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 5

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 5) \cup (1, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x < - 5, x > 1}$

Schritt 6