Algebra Beispiele

$x^{4} + 4 x^{3} + 7 x^{2} + 16 x + 12 = 0$

Schritt 1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Gruppiere die Terme um.

$4 x^{3} + 16 x + x^{4} + 7 x^{2} + 12 = 0$

Schritt 1.2

Faktorisiere $4 x$ aus $4 x^{3} + 16 x$ heraus.

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $4 x$ aus $4 x^{3}$ heraus.

$4 x (x^{2}) + 16 x + x^{4} + 7 x^{2} + 12 = 0$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere $4 x$ aus $16 x$ heraus.

$4 x (x^{2}) + 4 x (4) + x^{4} + 7 x^{2} + 12 = 0$

Schritt 1.2.3

Faktorisiere $4 x$ aus $4 x (x^{2}) + 4 x (4)$ heraus.

$4 x (x^{2} + 4) + x^{4} + 7 x^{2} + 12 = 0$

Schritt 1.3

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$4 x (x^{2} + 4) + {(x^{2})}^{2} + 7 x^{2} + 12 = 0$

Schritt 1.4

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$4 x (x^{2} + 4) + u^{2} + 7 u + 12 = 0$

Schritt 1.5

Faktorisiere $u^{2} + 7 u + 12$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.5.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $12$ und deren Summe $7$ ist.

$3, 4$

Schritt 1.5.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$4 x (x^{2} + 4) + (u + 3) (u + 4) = 0$

Schritt 1.6

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$4 x (x^{2} + 4) + (x^{2} + 3) (x^{2} + 4) = 0$

Schritt 1.7

Faktorisiere $x^{2} + 4$ aus $4 x (x^{2} + 4) + (x^{2} + 3) (x^{2} + 4)$ heraus.

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Schritt 1.7.1

Faktorisiere $x^{2} + 4$ aus $4 x (x^{2} + 4)$ heraus.

$(x^{2} + 4) (4 x) + (x^{2} + 3) (x^{2} + 4) = 0$

Schritt 1.7.2

Faktorisiere $x^{2} + 4$ aus $(x^{2} + 3) (x^{2} + 4)$ heraus.

$(x^{2} + 4) (4 x) + (x^{2} + 4) (x^{2} + 3) = 0$

Schritt 1.7.3

Faktorisiere $x^{2} + 4$ aus $(x^{2} + 4) (4 x) + (x^{2} + 4) (x^{2} + 3)$ heraus.

$(x^{2} + 4) (4 x + x^{2} + 3) = 0$

Schritt 1.8

Es sei $u = x$ . Ersetze $u$ für alle $x$ .

$(x^{2} + 4) (4 u + u^{2} + 3) = 0$

Schritt 1.9

Faktorisiere $4 u + u^{2} + 3$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.9.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $3$ und deren Summe $4$ ist.

$1, 3$

Schritt 1.9.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x^{2} + 4) ((u + 1) (u + 3)) = 0$

Schritt 1.10

Faktorisiere.

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Schritt 1.10.1

Ersetze alle $u$ durch $x$ .

$(x^{2} + 4) ((x + 1) (x + 3)) = 0$

Schritt 1.10.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x^{2} + 4) (x + 1) (x + 3) = 0$

Schritt 2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{2} + 4 = 0$

$x + 1 = 0$

$x + 3 = 0$

Schritt 3

Setze $x^{2} + 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Setze $x^{2} + 4$ gleich $0$ .

$x^{2} + 4 = 0$

Schritt 3.2

Löse $x^{2} + 4 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = - 4$

Schritt 3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 4}$

Schritt 3.2.3

Vereinfache $\pm \sqrt{- 4}$ .

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Schritt 3.2.3.1

Schreibe $- 4$ als $- 1 (4)$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1 (4)}$

Schritt 3.2.3.2

Schreibe $\sqrt{- 1 (4)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$

Schritt 3.2.3.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \pm i \cdot \sqrt{4}$

Schritt 3.2.3.4

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}$

Schritt 3.2.3.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm i \cdot 2$

Schritt 3.2.3.6

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \pm 2 i$

Schritt 3.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 2 i$

Schritt 3.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 2 i$

Schritt 3.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 2 i, - 2 i$

Schritt 4

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 4.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 5

Setze $x + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $x + 3$ gleich $0$ .

$x + 3 = 0$

Schritt 5.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x^{2} + 4) (x + 1) (x + 3) = 0$ wahr machen.

$x = 2 i, - 2 i, - 1, - 3$

Schritt 7