Algebra Beispiele

${(x - 2)}^{2} = 10 (y - 3)$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 1.1

Isoliere $y$ auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1.1

Schreibe die Gleichung als $10 (y - 3) = {(x - 2)}^{2}$ um.

$10 (y - 3) = {(x - 2)}^{2}$

Schritt 1.1.2

Teile jeden Ausdruck in $10 (y - 3) = {(x - 2)}^{2}$ durch $10$ und vereinfache.

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Schritt 1.1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $10 (y - 3) = {(x - 2)}^{2}$ durch $10$ .

$\frac{10 (y - 3)}{10} = \frac{{(x - 2)}^{2}}{10}$

Schritt 1.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $10$ .

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Schritt 1.1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{10 (y - 3)}{10} = \frac{{(x - 2)}^{2}}{10}$

Schritt 1.1.2.2.1.2

Dividiere $y - 3$ durch $1$ .

$y - 3 = \frac{{(x - 2)}^{2}}{10}$

Schritt 1.1.3

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = \frac{{(x - 2)}^{2}}{10} + 3$

Schritt 1.1.4

Stelle die Terme um.

$y = \frac{1}{10} \cdot {(x - 2)}^{2} + 3$

Schritt 1.2

Wende die quadratische Ergänzung auf $\frac{1}{10} \cdot {(x - 2)}^{2} + 3$ an.

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Schritt 1.2.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.1.1.1

Schreibe ${(x - 2)}^{2}$ als $(x - 2) (x - 2)$ um.

$\frac{1}{10} \cdot ((x - 2) (x - 2)) + 3$

Schritt 1.2.1.1.2

Multipliziere $(x - 2) (x - 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.2.1.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{10} \cdot (x (x - 2) - 2 (x - 2)) + 3$

Schritt 1.2.1.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{10} \cdot (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2)) + 3$

Schritt 1.2.1.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{10} \cdot (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) + 3$

Schritt 1.2.1.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.2.1.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.1.1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{1}{10} \cdot (x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) + 3$

Schritt 1.2.1.1.3.1.2

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{1}{10} \cdot (x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2) + 3$

Schritt 1.2.1.1.3.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$\frac{1}{10} \cdot (x^{2} - 2 x - 2 x + 4) + 3$

Schritt 1.2.1.1.3.2

Subtrahiere $2 x$ von $- 2 x$ .

$\frac{1}{10} \cdot (x^{2} - 4 x + 4) + 3$

Schritt 1.2.1.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{10} x^{2} + \frac{1}{10} (- 4 x) + \frac{1}{10} \cdot 4 + 3$

Schritt 1.2.1.1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.2.1.1.5.1

Kombiniere $\frac{1}{10}$ und $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{10} + \frac{1}{10} (- 4 x) + \frac{1}{10} \cdot 4 + 3$

Schritt 1.2.1.1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.1.1.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $10$ heraus.

$\frac{x^{2}}{10} + \frac{1}{2 (5)} (- 4 x) + \frac{1}{10} \cdot 4 + 3$

Schritt 1.2.1.1.5.2.2

Faktorisiere $2$ aus $- 4 x$ heraus.

$\frac{x^{2}}{10} + \frac{1}{2 (5)} (2 (- 2 x)) + \frac{1}{10} \cdot 4 + 3$

Schritt 1.2.1.1.5.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{2}}{10} + \frac{1}{2 \cdot 5} (2 (- 2 x)) + \frac{1}{10} \cdot 4 + 3$

Schritt 1.2.1.1.5.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x^{2}}{10} + \frac{1}{5} (- 2 x) + \frac{1}{10} \cdot 4 + 3$

Schritt 1.2.1.1.5.3

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{5}$ .

$\frac{x^{2}}{10} + \frac{- 2}{5} x + \frac{1}{10} \cdot 4 + 3$

Schritt 1.2.1.1.5.4

Kombiniere $\frac{- 2}{5}$ und $x$ .

$\frac{x^{2}}{10} + \frac{- 2 x}{5} + \frac{1}{10} \cdot 4 + 3$

Schritt 1.2.1.1.5.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.1.1.5.5.1

Faktorisiere $2$ aus $10$ heraus.

$\frac{x^{2}}{10} + \frac{- 2 x}{5} + \frac{1}{2 (5)} \cdot 4 + 3$

Schritt 1.2.1.1.5.5.2

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{x^{2}}{10} + \frac{- 2 x}{5} + \frac{1}{2 \cdot 5} \cdot (2 \cdot 2) + 3$

Schritt 1.2.1.1.5.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{2}}{10} + \frac{- 2 x}{5} + \frac{1}{2 \cdot 5} \cdot (2 \cdot 2) + 3$

Schritt 1.2.1.1.5.5.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x^{2}}{10} + \frac{- 2 x}{5} + \frac{1}{5} \cdot 2 + 3$

Schritt 1.2.1.1.5.6

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $2$ .

$\frac{x^{2}}{10} + \frac{- 2 x}{5} + \frac{2}{5} + 3$

Schritt 1.2.1.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{x^{2}}{10} - \frac{2 x}{5} + \frac{2}{5} + 3$

Schritt 1.2.1.2

Um $3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$\frac{x^{2}}{10} - \frac{2 x}{5} + \frac{2}{5} + 3 \cdot \frac{5}{5}$

Schritt 1.2.1.3

Kombiniere $3$ und $\frac{5}{5}$ .

$\frac{x^{2}}{10} - \frac{2 x}{5} + \frac{2}{5} + \frac{3 \cdot 5}{5}$

Schritt 1.2.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x^{2}}{10} - \frac{2 x}{5} + \frac{2 + 3 \cdot 5}{5}$

Schritt 1.2.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.1.5.1

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$\frac{x^{2}}{10} - \frac{2 x}{5} + \frac{2 + 15}{5}$

Schritt 1.2.1.5.2

Addiere $2$ und $15$ .

$\frac{x^{2}}{10} - \frac{2 x}{5} + \frac{17}{5}$

Schritt 1.2.2

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = \frac{1}{10}$

$b = - \frac{2}{5}$

$c = \frac{17}{5}$

Schritt 1.2.3

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.2.4

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.2.4.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- \frac{2}{5}}{2 (\frac{1}{10})}$

Schritt 1.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.2.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$d = - \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{10})}$

Schritt 1.2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.4.2.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{2}{5}$ in den Zähler.

$d = \frac{- 2}{5} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{10})}$

Schritt 1.2.4.2.2.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$d = \frac{2 (- 1)}{5} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{10})}$

Schritt 1.2.4.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{5} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{10})}$

Schritt 1.2.4.2.2.4

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 1}{5} \cdot \frac{1}{\frac{1}{10}}$

Schritt 1.2.4.2.3

Mutltipliziere $\frac{- 1}{5}$ mit $\frac{1}{\frac{1}{10}}$ .

$d = \frac{- 1}{5 (\frac{1}{10})}$

Schritt 1.2.4.2.4

Kombiniere $5$ und $\frac{1}{10}$ .

$d = \frac{- 1}{\frac{5}{10}}$

Schritt 1.2.4.2.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $5$ und $10$ .

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Schritt 1.2.4.2.5.1

Faktorisiere $5$ aus $5$ heraus.

$d = \frac{- 1}{\frac{5 (1)}{10}}$

Schritt 1.2.4.2.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.4.2.5.2.1

Faktorisiere $5$ aus $10$ heraus.

$d = \frac{- 1}{\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 2}}$

Schritt 1.2.4.2.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{- 1}{\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 2}}$

Schritt 1.2.4.2.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 1}{\frac{1}{2}}$

Schritt 1.2.4.2.6

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$d = - 1 \cdot 2$

Schritt 1.2.4.2.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$d = - 2$

Schritt 1.2.5

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.2.5.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = \frac{17}{5} - \frac{{(- \frac{2}{5})}^{2}}{4 (\frac{1}{10})}$

Schritt 1.2.5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.5.2.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.5.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{2}{5}$ an.

$e = \frac{17}{5} - \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{2}{5})}^{2}}{4 (\frac{1}{10})}$

Schritt 1.2.5.2.1.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$e = \frac{17}{5} - \frac{1 {(\frac{2}{5})}^{2}}{4 (\frac{1}{10})}$

Schritt 1.2.5.2.1.1.3

Wende die Produktregel auf $\frac{2}{5}$ an.

$e = \frac{17}{5} - \frac{1 \frac{2^{2}}{5^{2}}}{4 (\frac{1}{10})}$

Schritt 1.2.5.2.1.1.4

Potenziere $2$ mit $2$ .

$e = \frac{17}{5} - \frac{1 \frac{4}{5^{2}}}{4 (\frac{1}{10})}$

Schritt 1.2.5.2.1.1.5

Potenziere $5$ mit $2$ .

$e = \frac{17}{5} - \frac{1 (\frac{4}{25})}{4 (\frac{1}{10})}$

Schritt 1.2.5.2.1.1.6

Mutltipliziere $\frac{4}{25}$ mit $1$ .

$e = \frac{17}{5} - \frac{\frac{4}{25}}{4 (\frac{1}{10})}$

Schritt 1.2.5.2.1.2

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{10}$ .

$e = \frac{17}{5} - \frac{\frac{4}{25}}{\frac{4}{10}}$

Schritt 1.2.5.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $10$ .

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Schritt 1.2.5.2.1.3.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$e = \frac{17}{5} - \frac{\frac{4}{25}}{\frac{2 (2)}{10}}$

Schritt 1.2.5.2.1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.5.2.1.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $10$ heraus.

$e = \frac{17}{5} - \frac{\frac{4}{25}}{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 5}}$

Schritt 1.2.5.2.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = \frac{17}{5} - \frac{\frac{4}{25}}{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 5}}$

Schritt 1.2.5.2.1.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$e = \frac{17}{5} - \frac{\frac{4}{25}}{\frac{2}{5}}$

Schritt 1.2.5.2.1.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$e = \frac{17}{5} - (\frac{4}{25} \cdot \frac{5}{2})$

Schritt 1.2.5.2.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.5.2.1.5.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$e = \frac{17}{5} - (\frac{2 (2)}{25} \cdot \frac{5}{2})$

Schritt 1.2.5.2.1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = \frac{17}{5} - (\frac{2 \cdot 2}{25} \cdot \frac{5}{2})$

Schritt 1.2.5.2.1.5.3

Forme den Ausdruck um.

$e = \frac{17}{5} - (\frac{2}{25} \cdot 5)$

Schritt 1.2.5.2.1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 1.2.5.2.1.6.1

Faktorisiere $5$ aus $25$ heraus.

$e = \frac{17}{5} - (\frac{2}{5 (5)} \cdot 5)$

Schritt 1.2.5.2.1.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = \frac{17}{5} - (\frac{2}{5 \cdot 5} \cdot 5)$

Schritt 1.2.5.2.1.6.3

Forme den Ausdruck um.

$e = \frac{17}{5} - \frac{2}{5}$

Schritt 1.2.5.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$e = \frac{17 - 2}{5}$

Schritt 1.2.5.2.3

Subtrahiere $2$ von $17$ .

$e = \frac{15}{5}$

Schritt 1.2.5.2.4

Dividiere $15$ durch $5$ .

$e = 3$

Schritt 1.2.6

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $\frac{1}{10} {(x - 2)}^{2} + 3$ ein.

$\frac{1}{10} {(x - 2)}^{2} + 3$

Schritt 1.3

Setze $y$ gleich der neuen rechten Seite.

$y = \frac{1}{10} \cdot {(x - 2)}^{2} + 3$

Schritt 2

Benutze die Scheitelpunktform, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = \frac{1}{10}$

$h = 2$

$k = 3$

Schritt 3

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(2, 3)$

Schritt 4

Berechne $p$ , den Abstand vom Scheitelpunkt zum Brennpunkt.

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Schritt 4.1

Ermittle den Abstand vom Scheitelpunkt zu einem Brennpunkt der Parabel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\frac{1}{4 a}$

Schritt 4.2

Setze den Wert von $a$ in die Formel ein.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{10}}$

Schritt 4.3

Vereinfache.

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Schritt 4.3.1

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{10}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{10}}$

Schritt 4.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $10$ .

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Schritt 4.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{1}{\frac{2 (2)}{10}}$

Schritt 4.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $10$ heraus.

$\frac{1}{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 5}}$

Schritt 4.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 5}}$

Schritt 4.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{\frac{2}{5}}$

Schritt 4.3.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$1 (\frac{5}{2})$

Schritt 4.3.4

Mutltipliziere $\frac{5}{2}$ mit $1$ .

$\frac{5}{2}$

Schritt 5

Ermittle den Brennpunkt.

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Schritt 5.1

Der Brennpunkt einer Parabel kann durch Addieren von $p$ zur y-Koordinate $k$ ermittelt werden, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$(h, k + p)$

Schritt 5.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(2, \frac{11}{2})$

Schritt 6