Algebra Beispiele

$2 x^{3} + 4 x^{2} - 2 x - 4$

Schritt 1

Schreibe $2 x^{3} + 4 x^{2} - 2 x - 4$ als Gleichung.

$y = 2 x^{3} + 4 x^{2} - 2 x - 4$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

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Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$0 = 2 x^{3} + 4 x^{2} - 2 x - 4$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Schreibe die Gleichung als $2 x^{3} + 4 x^{2} - 2 x - 4 = 0$ um.

$2 x^{3} + 4 x^{2} - 2 x - 4 = 0$

Schritt 2.2.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{3} + 4 x^{2} - 2 x - 4$ heraus.

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Schritt 2.2.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{3}$ heraus.

$2 (x^{3}) + 4 x^{2} - 2 x - 4 = 0$

Schritt 2.2.2.1.2

Faktorisiere $2$ aus $4 x^{2}$ heraus.

$2 (x^{3}) + 2 (2 x^{2}) - 2 x - 4 = 0$

Schritt 2.2.2.1.3

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x$ heraus.

$2 (x^{3}) + 2 (2 x^{2}) + 2 (- x) - 4 = 0$

Schritt 2.2.2.1.4

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$2 (x^{3}) + 2 (2 x^{2}) + 2 (- x) + 2 (- 2) = 0$

Schritt 2.2.2.1.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (x^{3}) + 2 (2 x^{2})$ heraus.

$2 (x^{3} + 2 x^{2}) + 2 (- x) + 2 (- 2) = 0$

Schritt 2.2.2.1.6

Faktorisiere $2$ aus $2 (x^{3} + 2 x^{2}) + 2 (- x)$ heraus.

$2 (x^{3} + 2 x^{2} - x) + 2 (- 2) = 0$

Schritt 2.2.2.1.7

Faktorisiere $2$ aus $2 (x^{3} + 2 x^{2} - x) + 2 (- 2)$ heraus.

$2 (x^{3} + 2 x^{2} - x - 2) = 0$

Schritt 2.2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.2.2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$2 ((x^{3} + 2 x^{2}) - x - 2) = 0$

Schritt 2.2.2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$2 (x^{2} (x + 2) - (x + 2)) = 0$

Schritt 2.2.2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $x + 2$ .

$2 ((x + 2) (x^{2} - 1)) = 0$

Schritt 2.2.2.4

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$2 ((x + 2) (x^{2} - 1^{2})) = 0$

Schritt 2.2.2.5

Faktorisiere.

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Schritt 2.2.2.5.1

Faktorisiere.

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Schritt 2.2.2.5.1.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$2 ((x + 2) ((x + 1) (x - 1))) = 0$

Schritt 2.2.2.5.1.2

Entferne unnötige Klammern.

$2 ((x + 2) (x + 1) (x - 1)) = 0$

Schritt 2.2.2.5.2

Entferne unnötige Klammern.

$2 (x + 2) (x + 1) (x - 1) = 0$

Schritt 2.2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Schritt 2.2.4

Setze $x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.4.1

Setze $x + 2$ gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

Schritt 2.2.4.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 2.2.5

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.5.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 2.2.5.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 2.2.6

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.6.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 2.2.6.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 2.2.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $2 (x + 2) (x + 1) (x - 1) = 0$ wahr machen.

$x = - 2, - 1, 1$

Schritt 2.3

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(- 2, 0), (- 1, 0), (1, 0)$

Schritt 3

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

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Schritt 3.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$y = 2 {(0)}^{3} + 4 {(0)}^{2} - 2 \cdot 0 - 4$

Schritt 3.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Entferne die Klammern.

$y = 2 \cdot 0^{3} + 4 {(0)}^{2} - 2 \cdot 0 - 4$

Schritt 3.2.2

Entferne die Klammern.

$y = 2 \cdot 0^{3} + 4 \cdot 0^{2} - 2 \cdot 0 - 4$

Schritt 3.2.3

Entferne die Klammern.

$y = 2 {(0)}^{3} + 4 {(0)}^{2} - 2 \cdot 0 - 4$

Schritt 3.2.4

Vereinfache $2 {(0)}^{3} + 4 {(0)}^{2} - 2 \cdot 0 - 4$ .

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Schritt 3.2.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.4.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = 2 \cdot 0 + 4 {(0)}^{2} - 2 \cdot 0 - 4$

Schritt 3.2.4.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$y = 0 + 4 {(0)}^{2} - 2 \cdot 0 - 4$

Schritt 3.2.4.1.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = 0 + 4 \cdot 0 - 2 \cdot 0 - 4$

Schritt 3.2.4.1.4

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$y = 0 + 0 - 2 \cdot 0 - 4$

Schritt 3.2.4.1.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 - 4$

Schritt 3.2.4.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 3.2.4.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$y = 0 + 0 - 4$

Schritt 3.2.4.2.2

Addiere $0$ und $0$ .

$y = 0 - 4$

Schritt 3.2.4.2.3

Subtrahiere $4$ von $0$ .

$y = - 4$

Schritt 3.3

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, - 4)$

Schritt 4

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(- 2, 0), (- 1, 0), (1, 0)$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, - 4)$

Schritt 5