Algebra Beispiele

$f (x) = 5 x^{2} (3 x + 2) (x - 5)$

Schritt 1

Identifiziere den Grad der Funktion.

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Schritt 1.1

Vereinfache und ordne das Polynom neu an.

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Schritt 1.1.1

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(5 x^{2} (3 x) + 5 x^{2} \cdot 2) (x - 5)$

Schritt 1.1.1.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.1.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$(5 \cdot 3 x^{2} x + 5 x^{2} \cdot 2) (x - 5)$

Schritt 1.1.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$(5 \cdot 3 x^{2} x + 10 x^{2}) (x - 5)$

Schritt 1.1.1.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1.3.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.1.3.1.1

Bewege $x$ .

$(5 \cdot 3 (x \cdot x^{2}) + 10 x^{2}) (x - 5)$

Schritt 1.1.1.3.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 1.1.1.3.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$(5 \cdot 3 (x^{1} x^{2}) + 10 x^{2}) (x - 5)$

Schritt 1.1.1.3.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(5 \cdot 3 x^{1 + 2} + 10 x^{2}) (x - 5)$

Schritt 1.1.1.3.1.3

Addiere $1$ und $2$ .

$(5 \cdot 3 x^{3} + 10 x^{2}) (x - 5)$

Schritt 1.1.1.3.2

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$(15 x^{3} + 10 x^{2}) (x - 5)$

Schritt 1.1.2

Multipliziere $(15 x^{3} + 10 x^{2}) (x - 5)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$15 x^{3} (x - 5) + 10 x^{2} (x - 5)$

Schritt 1.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$15 x^{3} x + 15 x^{3} \cdot - 5 + 10 x^{2} (x - 5)$

Schritt 1.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$15 x^{3} x + 15 x^{3} \cdot - 5 + 10 x^{2} x + 10 x^{2} \cdot - 5$

Schritt 1.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.3.1.1

Multipliziere $x^{3}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.3.1.1.1

Bewege $x$ .

$15 (x \cdot x^{3}) + 15 x^{3} \cdot - 5 + 10 x^{2} x + 10 x^{2} \cdot - 5$

Schritt 1.1.3.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{3}$ .

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Schritt 1.1.3.1.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$15 (x^{1} x^{3}) + 15 x^{3} \cdot - 5 + 10 x^{2} x + 10 x^{2} \cdot - 5$

Schritt 1.1.3.1.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$15 x^{1 + 3} + 15 x^{3} \cdot - 5 + 10 x^{2} x + 10 x^{2} \cdot - 5$

Schritt 1.1.3.1.1.3

Addiere $1$ und $3$ .

$15 x^{4} + 15 x^{3} \cdot - 5 + 10 x^{2} x + 10 x^{2} \cdot - 5$

Schritt 1.1.3.1.2

Mutltipliziere $- 5$ mit $15$ .

$15 x^{4} - 75 x^{3} + 10 x^{2} x + 10 x^{2} \cdot - 5$

Schritt 1.1.3.1.3

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.3.1.3.1

Bewege $x$ .

$15 x^{4} - 75 x^{3} + 10 (x \cdot x^{2}) + 10 x^{2} \cdot - 5$

Schritt 1.1.3.1.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 1.1.3.1.3.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$15 x^{4} - 75 x^{3} + 10 (x^{1} x^{2}) + 10 x^{2} \cdot - 5$

Schritt 1.1.3.1.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$15 x^{4} - 75 x^{3} + 10 x^{1 + 2} + 10 x^{2} \cdot - 5$

Schritt 1.1.3.1.3.3

Addiere $1$ und $2$ .

$15 x^{4} - 75 x^{3} + 10 x^{3} + 10 x^{2} \cdot - 5$

Schritt 1.1.3.1.4

Mutltipliziere $- 5$ mit $10$ .

$15 x^{4} - 75 x^{3} + 10 x^{3} - 50 x^{2}$

Schritt 1.1.3.2

Addiere $- 75 x^{3}$ und $10 x^{3}$ .

$15 x^{4} - 65 x^{3} - 50 x^{2}$

Schritt 1.2

Der größte Exponent ist der Grad des Polynoms.

$4$

Schritt 2

Da der Grad gerade ist, werden die Enden der Funktion in die gleiche Richtung zeigen.

Gerade

Schritt 3

Identifiziere den Leitkoeffizienten.

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Schritt 3.1

Vereinfache das Polynom, dann ordne es von links nach rechts neu an, beginnend mit dem Term höchsten Grades.

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Schritt 3.1.1

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(5 x^{2} (3 x) + 5 x^{2} \cdot 2) (x - 5)$

Schritt 3.1.1.2

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$(5 \cdot 3 x^{2} x + 5 x^{2} \cdot 2) (x - 5)$

Schritt 3.1.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$(5 \cdot 3 x^{2} x + 10 x^{2}) (x - 5)$

Schritt 3.1.1.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1.3.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.1.1.3.1.1

Bewege $x$ .

$(5 \cdot 3 (x \cdot x^{2}) + 10 x^{2}) (x - 5)$

Schritt 3.1.1.3.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 3.1.1.3.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$(5 \cdot 3 (x^{1} x^{2}) + 10 x^{2}) (x - 5)$

Schritt 3.1.1.3.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(5 \cdot 3 x^{1 + 2} + 10 x^{2}) (x - 5)$

Schritt 3.1.1.3.1.3

Addiere $1$ und $2$ .

$(5 \cdot 3 x^{3} + 10 x^{2}) (x - 5)$

Schritt 3.1.1.3.2

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$(15 x^{3} + 10 x^{2}) (x - 5)$

Schritt 3.1.2

Multipliziere $(15 x^{3} + 10 x^{2}) (x - 5)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$15 x^{3} (x - 5) + 10 x^{2} (x - 5)$

Schritt 3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$15 x^{3} x + 15 x^{3} \cdot - 5 + 10 x^{2} (x - 5)$

Schritt 3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$15 x^{3} x + 15 x^{3} \cdot - 5 + 10 x^{2} x + 10 x^{2} \cdot - 5$

Schritt 3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.3.1.1

Multipliziere $x^{3}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.1.3.1.1.1

Bewege $x$ .

$15 (x \cdot x^{3}) + 15 x^{3} \cdot - 5 + 10 x^{2} x + 10 x^{2} \cdot - 5$

Schritt 3.1.3.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{3}$ .

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Schritt 3.1.3.1.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$15 (x^{1} x^{3}) + 15 x^{3} \cdot - 5 + 10 x^{2} x + 10 x^{2} \cdot - 5$

Schritt 3.1.3.1.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$15 x^{1 + 3} + 15 x^{3} \cdot - 5 + 10 x^{2} x + 10 x^{2} \cdot - 5$

Schritt 3.1.3.1.1.3

Addiere $1$ und $3$ .

$15 x^{4} + 15 x^{3} \cdot - 5 + 10 x^{2} x + 10 x^{2} \cdot - 5$

Schritt 3.1.3.1.2

Mutltipliziere $- 5$ mit $15$ .

$15 x^{4} - 75 x^{3} + 10 x^{2} x + 10 x^{2} \cdot - 5$

Schritt 3.1.3.1.3

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.3.1.3.1

Bewege $x$ .

$15 x^{4} - 75 x^{3} + 10 (x \cdot x^{2}) + 10 x^{2} \cdot - 5$

Schritt 3.1.3.1.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 3.1.3.1.3.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$15 x^{4} - 75 x^{3} + 10 (x^{1} x^{2}) + 10 x^{2} \cdot - 5$

Schritt 3.1.3.1.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$15 x^{4} - 75 x^{3} + 10 x^{1 + 2} + 10 x^{2} \cdot - 5$

Schritt 3.1.3.1.3.3

Addiere $1$ und $2$ .

$15 x^{4} - 75 x^{3} + 10 x^{3} + 10 x^{2} \cdot - 5$

Schritt 3.1.3.1.4

Mutltipliziere $- 5$ mit $10$ .

$15 x^{4} - 75 x^{3} + 10 x^{3} - 50 x^{2}$

Schritt 3.1.3.2

Addiere $- 75 x^{3}$ und $10 x^{3}$ .

$15 x^{4} - 65 x^{3} - 50 x^{2}$

Schritt 3.2

Der Führungsterm in einem Polynom ist der Term mit dem höchsten Grad.

$15 x^{4}$

Schritt 3.3

Der Leitkoeffizient in einem Polynom ist der Koeffizient des Führungsterms.

$15$

Schritt 4

Da der Leitkoeffizient positiv ist, steigt der Graph nach rechts an.

Positive

Schritt 5

Benutze den Grad der Funktion sowie das Vorzeichen des Leitkoeffizienten, um das Verhalten zu bestimmen.

1. Gerade und Positiv: Steigt nach links und rechts an.

2. Gerade und Negativ: Fällt nach links und nach rechts ab.

3. Ungerade und Positiv: Fällt nach links ab und steigt nach rechts an.

4. Ungerade und Negativ: Steigt nach links an und fällt nach rechts ab

Schritt 6

Bestimme das Verhalten.

Steigt nach links und nach rechts an

Schritt 7