Algebra Beispiele

$3 x^{4} - 5 x^{2} + 25 = 0$

Schritt 1

Setze $u = x^{2}$ in die Gleichung ein. Das macht die Quadratformel leicht anzuwenden.

$3 u^{2} - 5 u + 25 = 0$

$u = x^{2}$

Schritt 2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 3

Setze die Werte $a = 3$ , $b = - 5$ und $c = 25$ in die Quadratformel ein und löse nach $u$ auf.

$\frac{5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot 25)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Potenziere $- 5$ mit $2$ .

$u = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 3 \cdot 25}}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 3 \cdot 25$ .

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Schritt 4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$u = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 12 \cdot 25}}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.1.2.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $25$ .

$u = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 300}}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.1.3

Subtrahiere $300$ von $25$ .

$u = \frac{5 \pm \sqrt{- 275}}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.1.4

Schreibe $- 275$ als $- 1 (275)$ um.

$u = \frac{5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 275}}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (275)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{275}$ um.

$u = \frac{5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{275}}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$u = \frac{5 \pm i \cdot \sqrt{275}}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.1.7

Schreibe $275$ als $5^{2} \cdot 11$ um.

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Schritt 4.1.7.1

Faktorisiere $25$ aus $275$ heraus.

$u = \frac{5 \pm i \cdot \sqrt{25 (11)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.1.7.2

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$u = \frac{5 \pm i \cdot \sqrt{5^{2} \cdot 11}}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$u = \frac{5 \pm i \cdot (5 \sqrt{11})}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.1.9

Bringe $5$ auf die linke Seite von $i$ .

$u = \frac{5 \pm 5 i \sqrt{11}}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$u = \frac{5 \pm 5 i \sqrt{11}}{6}$

Schritt 5

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$u = \frac{5 + 5 i \sqrt{11}}{6}, \frac{5 - 5 i \sqrt{11}}{6}$

Schritt 6

Rücksubstituiere den tatsächlichen Wert von $u = x^{2}$ in die gelöste Gleichung.

$x^{2} = \frac{5 + 5 i \sqrt{11}}{6}$

${(x^{2})}^{1} = \frac{5 - 5 i \sqrt{11}}{6}$

Schritt 7

Löse die erste Gleichung nach $x$ auf.

$x^{2} = \frac{5 + 5 i \sqrt{11}}{6}$

Schritt 8

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 8.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{5 + 5 i \sqrt{11}}{6}}$

Schritt 8.2

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{5 + 5 i \sqrt{11}}{6}}$ .

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Schritt 8.2.1

Schreibe $\sqrt{\frac{5 + 5 i \sqrt{11}}{6}}$ als $\frac{\sqrt{5 + 5 i \sqrt{11}}}{\sqrt{6}}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt{5 + 5 i \sqrt{11}}}{\sqrt{6}}$

Schritt 8.2.2

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{5 + 5 i \sqrt{11}}}{\sqrt{6}}$ mit $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5 + 5 i \sqrt{11}}}{\sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$

Schritt 8.2.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{5 + 5 i \sqrt{11}}}{\sqrt{6}}$ mit $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5 + 5 i \sqrt{11}} \sqrt{6}}{\sqrt{6} \sqrt{6}}$

Schritt 8.2.3.2

Potenziere $\sqrt{6}$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5 + 5 i \sqrt{11}} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} \sqrt{6}}$

Schritt 8.2.3.3

Potenziere $\sqrt{6}$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5 + 5 i \sqrt{11}} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} {\sqrt{6}}^{1}}$

Schritt 8.2.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = \pm \frac{\sqrt{5 + 5 i \sqrt{11}} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1 + 1}}$

Schritt 8.2.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5 + 5 i \sqrt{11}} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{2}}$

Schritt 8.2.3.6

Schreibe ${\sqrt{6}}^{2}$ als $6$ um.

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Schritt 8.2.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{6}$ als $6^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = \pm \frac{\sqrt{5 + 5 i \sqrt{11}} \sqrt{6}}{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 8.2.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5 + 5 i \sqrt{11}} \sqrt{6}}{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 8.2.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5 + 5 i \sqrt{11}} \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 8.2.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.2.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \pm \frac{\sqrt{5 + 5 i \sqrt{11}} \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 8.2.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \pm \frac{\sqrt{5 + 5 i \sqrt{11}} \sqrt{6}}{6^{1}}$

Schritt 8.2.3.6.5

Berechne den Exponenten.

$x = \pm \frac{\sqrt{5 + 5 i \sqrt{11}} \sqrt{6}}{6}$

Schritt 8.2.4

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$x = \pm \frac{\sqrt{(5 + 5 i \sqrt{11}) \cdot 6}}{6}$

Schritt 8.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 8.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \frac{\sqrt{(5 + 5 i \sqrt{11}) \cdot 6}}{6}$

Schritt 8.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \frac{\sqrt{(5 + 5 i \sqrt{11}) \cdot 6}}{6}$

Schritt 8.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{\sqrt{(5 + 5 i \sqrt{11}) \cdot 6}}{6}, - \frac{\sqrt{(5 + 5 i \sqrt{11}) \cdot 6}}{6}$

Schritt 9

Löse die zweite Gleichung nach $x$ auf.

${(x^{2})}^{1} = \frac{5 - 5 i \sqrt{11}}{6}$

Schritt 10

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 10.1

Entferne die Klammern.

$x^{2} = \frac{5 - 5 i \sqrt{11}}{6}$

Schritt 10.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{5 - 5 i \sqrt{11}}{6}}$

Schritt 10.3

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{5 - 5 i \sqrt{11}}{6}}$ .

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Schritt 10.3.1

Schreibe $\sqrt{\frac{5 - 5 i \sqrt{11}}{6}}$ als $\frac{\sqrt{5 - 5 i \sqrt{11}}}{\sqrt{6}}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt{5 - 5 i \sqrt{11}}}{\sqrt{6}}$

Schritt 10.3.2

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{5 - 5 i \sqrt{11}}}{\sqrt{6}}$ mit $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5 - 5 i \sqrt{11}}}{\sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$

Schritt 10.3.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 10.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{5 - 5 i \sqrt{11}}}{\sqrt{6}}$ mit $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5 - 5 i \sqrt{11}} \sqrt{6}}{\sqrt{6} \sqrt{6}}$

Schritt 10.3.3.2

Potenziere $\sqrt{6}$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5 - 5 i \sqrt{11}} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} \sqrt{6}}$

Schritt 10.3.3.3

Potenziere $\sqrt{6}$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5 - 5 i \sqrt{11}} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} {\sqrt{6}}^{1}}$

Schritt 10.3.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = \pm \frac{\sqrt{5 - 5 i \sqrt{11}} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1 + 1}}$

Schritt 10.3.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5 - 5 i \sqrt{11}} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{2}}$

Schritt 10.3.3.6

Schreibe ${\sqrt{6}}^{2}$ als $6$ um.

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Schritt 10.3.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{6}$ als $6^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = \pm \frac{\sqrt{5 - 5 i \sqrt{11}} \sqrt{6}}{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 10.3.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5 - 5 i \sqrt{11}} \sqrt{6}}{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 10.3.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5 - 5 i \sqrt{11}} \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 10.3.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 10.3.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \pm \frac{\sqrt{5 - 5 i \sqrt{11}} \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 10.3.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \pm \frac{\sqrt{5 - 5 i \sqrt{11}} \sqrt{6}}{6^{1}}$

Schritt 10.3.3.6.5

Berechne den Exponenten.

$x = \pm \frac{\sqrt{5 - 5 i \sqrt{11}} \sqrt{6}}{6}$

Schritt 10.3.4

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$x = \pm \frac{\sqrt{(5 - 5 i \sqrt{11}) \cdot 6}}{6}$

Schritt 10.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 10.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \frac{\sqrt{(5 - 5 i \sqrt{11}) \cdot 6}}{6}$

Schritt 10.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \frac{\sqrt{(5 - 5 i \sqrt{11}) \cdot 6}}{6}$

Schritt 10.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{\sqrt{(5 - 5 i \sqrt{11}) \cdot 6}}{6}, - \frac{\sqrt{(5 - 5 i \sqrt{11}) \cdot 6}}{6}$

Schritt 11

Die Lösung von $3 x^{4} - 5 x^{2} + 25 = 0$ ist $x = \frac{\sqrt{(5 + 5 i \sqrt{11}) \cdot 6}}{6}, - \frac{\sqrt{(5 + 5 i \sqrt{11}) \cdot 6}}{6}, \frac{\sqrt{(5 - 5 i \sqrt{11}) \cdot 6}}{6}, - \frac{\sqrt{(5 - 5 i \sqrt{11}) \cdot 6}}{6}$ .

$x = \frac{\sqrt{(5 + 5 i \sqrt{11}) \cdot 6}}{6}, - \frac{\sqrt{(5 + 5 i \sqrt{11}) \cdot 6}}{6}, \frac{\sqrt{(5 - 5 i \sqrt{11}) \cdot 6}}{6}, - \frac{\sqrt{(5 - 5 i \sqrt{11}) \cdot 6}}{6}$

Schritt 12